1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示,第二章 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示,学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 3.掌握三点共线的判断方法.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点 平面向量共线的坐标表示,上面几组向量中，a，b有什么关系？,答案,答案 (1)(2)中b2a，(3)中b3a，(4)中ba.,已知下列几组向量： (1)a(0，3)，b(0，6)； (2)a(2，3)，b(4，6)； (3)a(1，4)，b(3，12)；,思考2,以上几组向量中，a，b共线吗？,答案,答案 共线.,思考3,
2、当ab时，a，b的坐标成比例吗？,答案 坐标不为0时成正比例.,思考4,如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？,答案,答案 能.将b写成a形式，0时，b与a同向，0时，b与a反向.,(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线，当且仅当存在实数，使ab. (2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当_ 时，向量a，b(b0)共线. 注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.,梳理,x1y2x2y10,题型探究,类型一 向量共线的判定
3、与证明,例1 (1)下列各组向量中，共线的是 A.a(2，3)，b(4，6) B.a(2，3)，b(3，2) C.a(1，2)，b(7，14) D.a(3，2)，b(6，4),答案,解析,解析 A选项，(2)634240，a与b不平行； B选项，22334950，a与b不平行； C选项，114(2)7280，a与b不平行； D选项，(3)(4)2612120，ab，故选D.,解答,(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3).判断 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？,方法一 (2)(6)340且(2)40，,反思与感悟,此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标
4、的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.,证明,证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2).,例2 已知a(1，2)，b(3，2)，当k为何值时，kab与a3b平行？,类型二 利用向量共线求参数,解答,解 方法一 kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)， a3b(1，2)3(3，2)(10，4)， 当kab与a3b平行时，存在唯一实数， 使kab(a3b). 由(k3，2k2)(10，4).,方法二 由方法一知kab(k3，2k2)， a3b(10，4)， kab与a3b平行，,引申探究 1.若例2条件不变，判断当kab与a3b平行时，它们是同向还是
5、反向？,解答,kab与a3b反向.,2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与3ab平行？”，又如何求k的值？,解答,解 akb(1，2)k(3，2)(13k，22k)， 3ab3(1，2)(3，2)(6，4)， akb与3ab平行， (13k)4(22k)60，,反思与感悟,根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理ab(b0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解.,跟踪训练2 设向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_. 解析 ab(1，2)(2，3)(2，23)， ab与c共线， (2)(
6、7)(23)(4)20， 2.,答案,解析,2,类型三 三点共线问题,解答,(4k)(k12)7(10k)，解得k2或11，,当k2或11时，A，B，C三点共线.,反思与感悟,(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点. (2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.,证明,A，B，C三点共线.,当堂训练,1.已知a(1，2)，b(2，y)，若ab，则y的值是 A.1 B.1 C.4 D.4 解析 ab，(1)y220，y4.,答案,2
7、,3,4,5,1,解析,2.与a(12，5)平行的单位向量为,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 设与a平行的单位向量为e(x，y)，,3.已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为_.,答案,解析,6,即(1，2)(2，m2)(2，m2).,2,3,4,5,1,即m6时，A，B，C三点共线.,4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，1)，(1，2)，(1，1)，(3，5).求证：四边形ABCD是梯形.,证明,2,3,4,5,1,证明 A(3，1)，B(1，2)，C(1，1)，D(3，5).,ABCD，且ABCD，四边形ABCD是梯形.,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,规律与方法,1.两个向量共线条件的表示方法 已知a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1)当b0，ab. (2)x1y2x2y10. (3)当x2y20时， ，即两向量的相应坐标成比例.,2.向量共线的坐标表示的应用 (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.,本课结束,