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人教A版高中数学必修三《1.3算法案例(一)》课件

1、1.3 算法案例(一),第一章 算法初步,学习目标 1.了解辗转相除法与更相减损术中的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析. 2.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质. 3.对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 求两个数的最大公约数的算法,思考 注意到8 2516 10512 146,那么8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系? 答案 显然8 251与6 105的公约数也必是2 146的约数,同样6 105与2 146的公约数也必是8 251的约数,所以8 251与6 105的最大

2、公约数也是6 105与2 146的最大公约数.,梳理 求两个数的最大公约数有2种算法: (1)辗转相除法 辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的_ 的古老而有效的算法. 辗转相除法的算法步骤 第一步,给定 . 第二步,计算 . 第三步, . 第四步,若r0,则m,n的最大公约数等于 ; 否则,返回 .,最大公约数,两个正整数m,n,m除以n所得的余数r,mn,nr,m,第二步,(2)更相减损术的运算步骤 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是 .若是,用_ 约简;若不是,执行 . 第二步,以 的数减去 的数,接着把所得的差与 的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的

3、数 为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.,偶数,2,第二步,较大,较小,较小,相等,求n次多项式的值的算法,有一种比较好的算法叫秦九韶算法. 秦九韶算法的一般步骤: 把一个n次多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0改写成如下形式: (anxan1)xan2)xa1)xa0,求多项式的值时,首先计算 一次多项式的值,即v1 ,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2 , v3 ,,知识点二 求n次多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0的值的算法,最内层括号内,anxan1,v1xan2,v2xan3, vn , 这样,求n次多项式f(x)的值就转化

4、为求 的值.,vn1xa0,n个一次多项式,思考辨析 判断正误 1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( ) 2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外,没有其他方法.( ) 3.编写辗转相除法的程序时,要用到循环语句.( ),题型探究,例1 试用辗转相除法求325,130,270的最大公约数. 解 325130265,130652, 325与130的最大公约数是65. 27065410,651065,1052, 65与270的最大公约数是5, 故325,130,270这三个数的最大公约数为5.,类型一 辗转相除法,解答,反思与感悟 辗转相除法的实质:对于给定的两个正整数,用较大的数除

5、以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小的数构成一对新数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时的小数就是原来两个正整数的最大公约数.,跟踪训练1 用辗转相除法求204与85的最大公约数时,需要做除法的次数是 . 解析 用辗转相除法可得20485234,8534217,34172, 此时可以判断204与85的最大公约数是17, 做了3次除法得出结果.,解析,答案,3,类型二 更相减损术,例2 试用更相减损术求612,396的最大公约数. 解 方法一 6122306,3962198,3062153,198299, 1539954,995445,54459,45936,36927,27918,

6、1899. 612,396的最大公约数为92236. 方法二 612396216,396216180,21618036,18036144,14436108,1083672,723636. 故36为612,396的最大公约数.,解答,反思与感悟 用更相减损术的算法步骤 第一步,给定两个正整数m,n,不妨设mn. 第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使它们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为m,n. 第三步,dmn. 第四步,判断“dn”是否成立,若是,则将n,d中的较大者记为m,较小者记为n,返回第三步;否则,2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.,跟踪训练2 用更相减损术求26

7、1和319的最大公约数. 解 31926158, 26158203, 20358145, 1455887, 875829, 582929, 319与261的最大公约数为29.,解答,类型三 秦九韶算法的应用,例3 用秦九韶算法求多项式f(x)x55x410x310x25x1当x2时的值. 解 f(x)x55x410x310x25x1(x5)x10)x10)x5)x1. 当x2时,有v01; v1v0xa41(2)53; v2v1xa33(2)104; v3v2xa24(2)102; v4v3xa12(2)51; v5v4xa01(2)11. 故f(2)1.,解答,反思与感悟 (1)先将多项式写

8、成一次多项式的形式,然后运算时从里到外,一步一步地做乘法和加法即可.这样比直接将x2代入原式大大减少了计算量.若用计算机计算,则可提高运算效率. (2)注意:当多项式中n次项不存在时,可将第n次项看作0xn.,跟踪训练3 用秦九韶算法计算多项式f(x)x612x560x4160x3240x2192x64当x2时的值.,解答,解 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)(x12)x60)x160)x240)x192)x64. 由内向外依次计算一次多项式当x2时的值:v01; v1121210; v21026040; v340216080; v480224080; v580219232;

9、 v6322640. 所以当x2时,多项式的值为0.,达标检测,答案,解析,1.1 337与382的最大公约数是 A.3 B.382 C.191 D.201 解析 1 3373823191,3821912, 所以1 337与382的最大公约数是191.,1,2,3,4,5,答案,解析,2.用秦九韶算法计算多项式f(x)6x65x54x43x32x2x7在x0.4时的值时,需做加法和乘法的次数的和为 A.10 B.9 C.12 D.8 解析 f(x)(6x5)x4)x3)x2)x1)x7, 做加法6次,乘法6次,6612(次),故选C.,1,2,3,4,5,3.用更相减损术求36与134的最大公

10、约数,第一步应为_. 解析 36与134都是偶数, 第一步应为先除以2, 得到18与67.,1,2,3,4,5,解析,答案,先除以2,得到,18与67,答案,解析,4.已知a333,b24,则使得abqr(q,r均为自然数,且0rb)成立的q和r的值分别为 . 解析 用333除以24,商即为q,余数就是r.333241321.,1,2,3,4,5,13,21,1,2,3,4,5,5.用辗转相除法求85与51的最大公约数时,需要做除法的次数为 . 解析 8551134, 5134117, 341720.,3,答案,解析,1.辗转相除法,就是对于给定的两个正整数,用较大的数除 以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽为止,这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数. 2.更相减损术,就是对于给定的两个正整数,用较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成新的一对数,继续上面的减法,直到差和较小的数相等,此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数. 3.用秦九韶算法求多项式f(x)当xx0的值的思路为(1)改写;(2)计算(3)结论f(x0)vn.,规律与方法,