1、2019 年北京市海淀区首都师大附中中考数学一模试卷一、选择题1在实数|3|，2，0， 中，最小的数是（ ）A|3| B2 C0 D2下列各式的变形中，正确的是（ ）A（xy）（x+y ）x 2y 2 B xCx 2 4x+3（ x2） 2+1 Dx（x 2+x） +13某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失 10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得 20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ）A40% B33.4% C33.3% D30%4如图，等边ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 ABC 的方向运动，到
2、达点 C 时停止，设运动时间为 x（s），yPC 2，则 y 关于 x 的函数的图象大致为（ ）A BC D5下列命题正确的个数是（ ）若代数式 有意义，则 x 的取值范围为 x1 且 x0我市生态旅游初步形成规模，2012 年全年生态旅游收入为 302 600 000 元，保留三个有效数字用科学记数法表示为 3.03108 元若反比例函数 （m 为常数），当 x0 时，y 随 x 增大而增大，则一次函数 y2x+m 的图象一定不经过第一象限若函数的图象关于 y 轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y3，y2x+1，yx 2 中偶函数的个数为 2 个A1 B2 C3 D46下列图形中，阴影
3、部分面积最大的是（ ）A BC D7如图是一个由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A B C D8为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A报纸B电视C网络，D身边的人E 其他 ”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷先随机抽取 50 名中学生进行该问卷调查根据调查的结果绘制条形图如图该调查的方式是（ ），图中的 a 的值是（ ）A全面调查，26 B全面调查，24C抽样调查，26 D抽样调查， 249正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）A B C
4、D10定义新运算：ab 例如：45 ，4（5） 则函数y2x（x 0）的图象大致是（ ）A BC D二、填空题11计算（ ） 0（1） 2018 的值是 12若关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，则关于 a、b 的二元一次方程组的解是 13将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 adbc，上述记号就叫做 2 阶行列式若 ，则 x 14如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：升）与时间
5、x（单位：分）之间的部分关系那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完15如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45和 30若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 米（结果保留根号）16一块直角三角形板 ABC，ACB 90，BC 12cm，AC 8cm ，测得 BC 边的中心投影 B1C1长为 24cm，则 A1B1 长为 cm三、解答题17先化简，再求值（2x+3）（2x 3）4x （x1）+（x2） 2，其中 x18山西特产专卖店销售核桃，其进价为每
6、千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？19如图，矩形 ABCD 的两边 AD、AB 的长分别为 3、8，E 是 DC 的中点，反比例函数 y 的图象经过点 E，与 AB 交于点 F（1）若点 B 坐标为（6，0），求 m 的值及图象经过 A、E 两点的一次函数的表达式；（2）若 AFAE2，求反比例函数的表达
7、式20某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，ABBD ， BAD18，C 在 BD 上，BC0.5m 根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入小明认为 CD 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以 CE 的长作为限制的高度小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果（参考数据：sin180.31，cos180.95，tan180.325）（结果精确到 0.1m）21某校七年级共有 500 名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童
8、威随机抽取 m 名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图学生读书数量统计表阅读量/本 学生人数1 152 a3 b4 5（1）直接写出 m、a、b 的值；（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？22如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB13，BD 24，在菱形 ABCD 的外部以 AB 为边作等边三角形 ABE点 F 是对角线 BD 上一动点（点 F 不与点 B 重合），将线段 AF 绕点 A 顺时针方向旋转 60得到线段 AM，连接 FM（1）求 AO 的长；（2）如图 2，当点 F 在线段 BO
9、 上，且点 M，F，C 三点在同一条直线上时，求证：AC AM；（3）连接 EM，若AEM 的面积为 40，请直接写出AFM 的周长23在平面直角坐标系中 xOy 中，正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2，按如图的方式放置点 A1，A 2，A 3、A n 和点 C1，C 2，C 3、 n 分别落在直线 yx+1 和 x 轴上抛物线 L1 过点 A1、B 1，且顶点在直线 yx +1 上，抛物线 L2 过点 A2、B 2，且顶点在直线 yx+1 上，按此规律，抛物线 Ln 过点 An、B n，且顶点也在直线 yx+1 上，其中抛物线 L1 交正方形 A1B1C1O的边
10、A1B1 于点 D1，抛物线 L2 交正方形 A2B2C2C1 的边 A2B2 于点 D2，抛物线 Ln 交正方形AnBnnCn1 的边 AnBn 于点 Dn（其中 n2 且 n 为正整数）（1）直接写出下列点的坐标：B 1 ，B 2 ，B 3 ；（2）写出抛物线 L2，、L 3 的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线 Ln 的顶点坐标 ；（3） 设 A1D1k D1B1，A 2D2k 2D2B2，试判断 k1 与 k2 的数量关系并说明理由；点 D1、D 2、 ，D n 是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线 yx+1 的交点坐标；若不是，请说明理由2019 年北京市
11、海淀区首都师大附中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1在实数|3|，2，0， 中，最小的数是（ ）A|3| B2 C0 D【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案【解答】解：在实数|3| ， 2，0， 中，|3|3 ，则 20|3| ，故最小的数是：2故选：B【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键2下列各式的变形中，正确的是（ ）A（xy）（x+y ）x 2y 2 B xCx 2 4x+3（ x2） 2+1 Dx（x 2+x） +1【分析】根据平方差公式和分式的加减以及整式的除法计算即可【解答】解：A、（x y ）（ x+
12、y）x 2y 2，正确；B、 ，错误；C、x 2 4x+3（ x2） 21，错误；D、x（x 2+x） ，错误；故选：A【点评】此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法，关键是根据法则计算3某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失 10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得 20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ）A40% B33.4% C33.3% D30%【分析】缺少质量和进价，应设购进这种水果 a 千克，进价为 y 元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高 x，则售价为（1+x）y 元/千克，根据题意得：购进这批水果用去 ay 元，但在售
13、出时，只剩下（110%） a 千克，售货款为（110%）a（1+x）y 元，根据公式100%利润率可列出不等式，解不等式即可【解答】解：设购进这种水果 a 千克，进价为 y 元/ 千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高 x，则售价为（1+x ）y 元/千克，由题意得：100%20%，解得：x 33.4%，经检验，x 是原不等式的解超市要想至少获得 20%的利润，这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 33.4%故选：B【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，设出必要的未知数，表示出售价，售货款，进货款，利润注意在解出结果后，要考虑实际问题，利用收尾法，不能用四舍五入4如图
14、，等边ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 ABC 的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（s），yPC 2，则 y 关于 x 的函数的图象大致为（ ）A BC D【分析】需要分类讨论：当 0x3，即点 P 在线段 AB 上时，根据余弦定理知 cosA，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得 y 与 x 的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象当 3x6，即点 P 在线段 BC 上时，y 与 x 的函数关系式是 y（6x） 2（x 6） 2（3x6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象【解答】解：正ABC 的边长为 3cm，AB
15、C60，AC3cm当 0 x3 时，即点 P 在线段 AB 上时，APxcm（0x3）；根据余弦定理知 cosA ，即 ，解得，yx 23x +9（0x3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过 C 作 CDAB，则 AD1.5cm，CD cm，点 P 在 AB 上时， APxcm，PD|1.5x|cm，yPC 2（ ） 2+（1.5x ） 2x 23x+9（0x3）该函数图象是开口向上的抛物线；当 3 x6 时，即点 P 在线段 BC 上时，PC （6x）cm（3x6）；则 y（6x） 2（x 6） 2（3x6），该函数的图象是在 3x6 上的抛物线；故选：C【点评】本题考查了动点问题的
16、函数图象解答该题时，需要对点 P 的位置进行分类讨论，以防错选5下列命题正确的个数是（ ）若代数式 有意义，则 x 的取值范围为 x1 且 x0我市生态旅游初步形成规模，2012 年全年生态旅游收入为 302 600 000 元，保留三个有效数字用科学记数法表示为 3.03108 元若反比例函数 （m 为常数），当 x0 时，y 随 x 增大而增大，则一次函数 y2x+m 的图象一定不经过第一象限若函数的图象关于 y 轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y3，y2x+1，yx 2 中偶函数的个数为 2 个A1 B2 C3 D4【分析】根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案【解答】解：若代
17、数式 有意义，则 x 的取值范围为 x1 且 x0，原命题错误；我市生态旅游初步形成规模，2012 年全年生态旅游收入为 302 600 000 元，保留三个有效数字用科学记数法表示为 3.03108 元正确根据反比例函数 （m 为常数）的增减性得出 m0 ，故一次函数 y2x+m 的图象一定不经过第一象限，此选项正确；若函数的图象关于 y 轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中有 y3，yx 2 是偶函数，原命题正确，故选：C【点评】本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例6下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）A BC D【分析】分别根据反比例函数系数 k 的几何意
18、义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可【解答】解：A、根据反比例函数系数 k 的几何意义，阴影部分面积和为：xy 3，B、根据反比例函数系数 k 的几何意义，阴影部分面积和为：3，C、根据反比例函数系数 k 的几何意义，以及梯形面积求法可得出：阴影部分面积为：3+ （1+3）2 4，D、根据 M，N 点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为： 163，阴影部分面积最大的是 4故选：C【点评】此题主要考查了反比例函数系数 k 的几何意义以及三角形面积求法等知识，将图形正确分割得出阴影部分面积是解题关键7如图是一个由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A B C
19、 D【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图8为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A报纸B电视C网络，D身边的人E 其他 ”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷先随机抽取 50 名中学生进行该问卷调查根据调查的结果绘制条形图如图该调查的方式是（ ），图中的 a 的值是（ ）A全面调查，26 B全面调查，24C抽样调查，26 D抽样调查， 24【分析】根据题意得到此调查为抽样调查，由样本容量求出 a 的值即可【解答】解：根
20、据题意得：该调查的方式是抽样调查，a50（6+10+6+4）24，故选：D【点评】此题考查了条形统计图，以及全面调查与抽样调查，弄清题意是解本题的关键9正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）A B C D【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率【解答】解：如图，连接 PA、PB、OP；则 S 半圆 O ，S ABP 211，由题意得：图中阴影部分的面积4（S 半圆 OS ABP ）4（ 1）2 4，米粒落在阴影部分的概率为 ，故选：A【点评】本题考查了几何概率的知
21、识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大10定义新运算：ab 例如：45 ，4（5） 则函数y2x（x 0）的图象大致是（ ）A BC D【分析】根据题意可得 y2 x ，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案【解答】解：由题意得：y2 x ，当 x0 时，反比例函数 y 在第一象限，当 x0 时，反比例函数 y 在第二象限，又因为反比例函数图象是双曲线，因此 D 选项符合故选：D【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线二、填空题11计算（ ） 0（1） 2018 的值是 0 【分析】根据零指数幂的意义以及实数的运算法则即可求出答案
22、【解答】解：原式110，故答案为：0【点评】本题考查实数的运算，解题的关键熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型12若关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，则关于 a、b 的二元一次方程组的解是 【分析】利用关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 可得 m、n 的数值，代入关于a、b 的方程组即可求解，利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更好【解答】解：方法一：关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，将解 代入方程组可得 m1，n2关于 a、b 的二元一次方程组 可整理为：解得：方法二：关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，由关于 a、b 的二元一次方程组 可知解得：故
23、答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显13将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 adbc，上述记号就叫做 2 阶行列式若 ，则 x 2 【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为 x 的值【解答】解：根据题意化简 8，得：（x+1） 2（1x ） 28，整理得：x 2+2x+1（12x +x2）80，即 4x8，解得：x2故答案为：2【点评】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化
24、为普通方程是解本题的关键14如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的部分关系那么，从关闭进水管起 8 分钟该容器内的水恰好放完【分析】先根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论【解答】解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：2045 升设出水管每分钟的出水量为 a 升，由函数图象，得20+8（5a）30，解得：a ，故关闭进水管后出水管放完水的时间为：30 8
25、 分钟故答案为：8【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决15如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45和 30若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 1200（ 1） 米（结果保留根号）【分析】在 RtACH 和 Rt HCB 中，利用锐角三角函数，用 CH 表示出 AH、BH 的长，然后计算出 AB 的长【解答】解：由于 CDH
26、B，CAHACD45，BBCD30在 Rt ACH 中， CAH 45AHCH1200 米，在 Rt HCB， tanBHB 1200 （米）ABHB HA1200 12001200（ 1）米故答案为：1200（ 1）【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出 AH 和 BH16一块直角三角形板 ABC，ACB 90，BC 12cm，AC 8cm ，测得 BC 边的中心投影 B1C1长为 24cm，则 A1B1 长为 cm 【分析】由题意易得ABCA 1B1C1，根据相似比求 A1B1 即可【解答】解：ACB90，BC 12cm，AC 8
27、cm，AB4 ，ABC A1B1C1，A 1B1：ABB 1C1：BC2： 1，即 A1B18 cm【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段三、解答题17先化简，再求值（2x+3）（2x 3）4x （x1）+（x2） 2，其中 x【分析】利用平方差公式、单项式乘多项式及完全平方公式去括号，再合并同类项化简后，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式4x 294x 2+4x+x24x+4x 25，当 x 时，原式（ ） 25352【点评】本题主要考查整式的混合运算化简求值，解
28、题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则18山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【分析】（1）设每千克核桃降价 x 元，利用销售量每件利润2240 元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降 6 元，求出此时的销售单价即可确定几折【解答】（1）解：设每千克核桃
29、应降价 x 元 1 分根据题意，得 （60x40）（100+ 20） 2240 4 分化简，得 x210x+240 解得 x14，x 266 分答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元 7 分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元 此时，售价为：60654（元），设按原售价的 m 折出售，则有： 60 54，解得 m9答：该店应按原售价的九折出售【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程19如图，矩形 ABCD 的两边 AD、AB 的长分别为 3、8，E 是 DC 的中点，反比例函数 y 的
30、图象经过点 E，与 AB 交于点 F（1）若点 B 坐标为（6，0），求 m 的值及图象经过 A、E 两点的一次函数的表达式；（2）若 AFAE2，求反比例函数的表达式【分析】（1）根据矩形的性质，可得 A，E 点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据勾股定理，可得 AE 的长，根据线段的和差，可得 FB，可得 F 点坐标，根据待定系数法，可得 m 的值，可得答案【解答】解：（1）点 B 坐标为（6，0），AD3，AB 8，E 为 CD 的中点，点 A（6，8），E（3，4），函数图象经过 E 点，m3412，设 AE 的解析式为 ykx+ b，解得 ，一次函数的解析式为 y x；（2）A
31、D3，DE4，AE 5，AFAE2，AF7，BF1，设 E 点坐标为（a，4），则 F 点坐标为（a3，1），E，F 两点在函数 y 图象上，4aa3，解得 a1，E（1，4），m144，y 【点评】本题考查了反比例函数，解（1）的关键是利用待定系数法，又利用了矩形的性质；解（2）的关键利用 E，F 两点在函数 y 图象上得出关于 a 的方程20某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，ABBD ， BAD18，C 在 BD 上，BC0.5m 根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入小明认为 CD
32、的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以 CE 的长作为限制的高度小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果（参考数据：sin180.31，cos180.95，tan180.325）（结果精确到 0.1m）【分析】先根据 CEAE，判断出 CE 为高，再根据解直角三角形的知识解答【解答】解：在ABD 中，ABD90，BAD 18 ，BA10m ，tanBAD ，BD10tan18，CDBDBC10tan180.52.75（m ） 在ABD 中，CDE90BAD72，CEED，sinCDE ，CEsinCDECDsin722.75cos182.75 0.952.752.61252.6（m ），
33、2.6m2.75m，且 CEAE，小亮说的对答：小亮说的对，CE 为 2.6m【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算21某校七年级共有 500 名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童威随机抽取 m 名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图学生读书数量统计表阅读量/本 学生人数1 152 a3 b4 5（1）直接写出 m、a、b 的值；（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？【分析】（1）根据题意和统计图中
34、的数据可以求得 m、a、b 的值；（2）根据统计图中的数据可以求得该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本【解答】解：（1）由题意可得，m1530%50，b5040%20，a501520510，即 m 的值是 50，a 的值是 10，b 的值是 20；（2）（115+210+3 20+45） 1150（本），答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是 1150 本【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、统计表，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答22如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB13
35、，BD 24，在菱形 ABCD 的外部以 AB 为边作等边三角形 ABE点 F 是对角线 BD 上一动点（点 F 不与点 B 重合），将线段 AF 绕点 A 顺时针方向旋转 60得到线段 AM，连接 FM（1）求 AO 的长；（2）如图 2，当点 F 在线段 BO 上，且点 M，F，C 三点在同一条直线上时，求证：AC AM；（3）连接 EM，若AEM 的面积为 40，请直接写出AFM 的周长【分析】（1）在 RTOAB 中，利用勾股定理 OA 求解，（2）由四边形 ABCD 是菱形，求出AFM 为等边三角形，M AFM60，再求出MAC90，在 RtACM 中 tanM ，求出 AC（3）求
36、出AEMABF ，利用AEM 的面积为 40 求出 BF，在利用勾股定理 AF ，得出AFM 的周长为 3 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，ACBD，OBOD BD，BD24，OB12，在 Rt OAB 中，AB13，OA 5（2）如图 2，四边形 ABCD 是菱形，BD 垂直平分 AC，FAFC， FACFCA，由已知 AFAM，MAF60，AFM 为等边三角形，MAFM60，点 M，F ，C 三点在同一条直线上，FAC+ FCAAFM 60，FACFCA30，MACMAF+ FAC 60+3090，在 Rt ACM 中tanM ，tan60 ，AC AM（3）如图，连接 EM，
37、ABE 是等边三角形，AEAB，EAB 60，由（2）知AFM 为等边三角形，AMAF，MAF60，EAM BAF，在AEM 和 ABF 中，AEM ABF（SAS ），AEM 的面积为 40，ABF 的高为 AO BFAO40，BF 16，FOBFBO16124AF ，AFM 的周长为 3 【点评】本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质23在平面直角坐标系中 xOy 中，正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2，按如图的方式放置点 A1，A 2，A 3、A n 和点 C1，C 2，C 3、 n 分别落在直线 yx+1 和 x 轴上抛
38、物线 L1 过点 A1、 B1，且顶点在直线 yx +1 上，抛物线 L2 过点 A2、B 2，且顶点在直线 yx+1 上，按此规律，抛物线 Ln 过点 An、B n，且顶点也在直线 yx+1 上，其中抛物线 L1 交正方形 A1B1C1O的边 A1B1 于点 D1，抛物线 L2 交正方形 A2B2C2C1 的边 A2B2 于点 D2，抛物线 Ln 交正方形AnBnnCn1 的边 AnBn 于点 Dn（其中 n2 且 n 为正整数）（1）直接写出下列点的坐标：B 1 （1，1） ，B 2 （3，2） ，B 3 （7，4） ；（2）写出抛物线 L2，、L 3 的解析式，并写出其中一个解析式的求解
39、过程，再猜想抛物线 Ln 的顶点坐标 （32 n2 1，32 n2 ） ；（3） 设 A1D1k D1B1，A 2D2k 2D2B2，试判断 k1 与 k2 的数量关系并说明理由；点 D1、D 2、 ，D n 是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线 yx+1 的交点坐标；若不是，请说明理由【分析】（1）先求出直线 yx+1 与 y 轴的交点坐标即可得出 A1 的坐标，故可得出 OA1 的长，根据四边形 A1B1C1O 是正方形即可得出 B1 的坐标，再把 B1 的横坐标代入直线 yx+1 即可得出A1 的坐标，同理可得出 B2，B 3 的坐标；（2）根据四边形 A1B1C1O 是正方形
40、得出 C1 的坐标，再由点 A2 在直线 yx+1 上可知A2（1，2），B 2 的坐标为（3，2），由抛物线 L2 的对称轴为直线 x2 可知抛物线 L2 的顶点为（2，3），再用待定系数法求出直线 L2 的解析式；根据 B3 的坐标为（7，3），同上可求得点A3 的坐标为（3，4），抛物线 L3 的对称轴为直线 x5，同理可得出直线 L2 的解析式；（3） 同（2 ）可求得 L2 的解析式为 y（x2） 2+3，当 y1 时，求出 x 的值，由A1D1 D 1B1，可得出 k1 的值，同理可得出 k2 的值，由此可得出结论；由中的结论可知点 D1、D 2、，D n 是否在一条直线上，再用待
41、定系数法求出直线 D1D2 的解析式，求出与直线 yx +1 的交点坐标即可【解答】解：（1）令 x0，则 y1，A 1（0，1），OA 11四边形 A1B1C1O 是正方形，A 1B11，B 1（1，1）当 x1 时，y 1+1 2，B 2（3，2）；同理可得，B 3（7，4）故答案为：（1，1），（3，2），（7，4）；（2）抛物线 L2、L 3 的解析式分别为：y（x2） 2+3；，y （x 5） 2+6；抛物线 L2 的解析式的求解过程：对于直线 yx+1，设 x0，可得 y1，A 1（0，1），四边形 A1B1C1O 是正方形，C 1（1，0），又点 A2 在直线 yx +1 上，点
42、 A2（1，2），又B 2 的坐标为（3，2），抛物线 L2 的对称轴为直线 x2，抛物线 L2 的顶点为（2，3），设抛物线 L2 的解析式为：ya（x2） 2+3，L 2 过点 B2（3，2），当 x3 时，y 2，2a（32） 2+3，解得：a1，抛物线 L2 的解析式为：y（x2） 2+3；抛物线 L3 的解析式的求解过程：又B 3 的坐标为（7，3），同上可求得点 A3 的坐标为（3，4），抛物线 L3 的对称轴为直线 x5，抛物线 L3 的顶点为（5，6），设抛物线 L3 的解析式为：ya（x5） 2+6，L 3 过点 B3（7，4），当 x7 时，y 4，4a（75） 2+6，解
43、得：a ，抛物线 L3 的解析式为：y （x5） 2+6；猜想抛物线 Ln 的顶点坐标为（32 n2 1，32 n2 ）；（猜想过程：方法 1：可由抛物线 L1、L 2、L 3的解析式：y2（x ） 2+ ，y（x2） 2+3，y （x5） 2+6，归纳总结；方法 2：可由正方形 AnBnnCn1 顶点 An、B n 的坐标规律 An（2 n1 1，2 n1 ）与Bn（2 n，2 n1 ），再利用对称性可得抛物线 Ln 的对称轴为直线 x ，即 x32 n2 1，又顶点在直线 yx+1 上，所以可得抛物线 Ln 的顶点坐标为（32 n2 1，32 n2 ）故答案为：（32 n2 1，32 n2
44、 ）；（3） 、k 1 与 k1 的数量关系为：k 1k 2，理由如下：同（2）可求得 L2 的解析式为 y（x2） 2+3，当 y1 时，1（x 2） 2+3 解得：x 12 ，x 22+ ，x2 ，A 1D12 （ 1），D 1B11（2 ） 1，A 1D1 D 1B1，即 k1 ；同理可求得 A2D242 2 （ 1），D2B22（42 ）2 22（ 1），A2D2 D 2B2，即 k2 ，k 1k 2；由 知， k1k 2，点 D1、D 2、，D n 在一条直线上；抛物线 L2 的解析式为 y（x2） 2+3，当 y1 时，x 2 ，D 1（2 ， 1）；同理，D 2（52 ，2），设直线 D1D2 的解析式为 ykx+b（k0），则 ，解得 ，直线 D1D2 的解析式为 y（ 3+ ）x+ 3， ，解得 ，这条直线与直线 yx +1 的交点坐标为（1，0）【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点，正方形的性质等知识，熟练掌握正方形的四条边相等且四个角都是直角的知识是解答此题的关键