1、14.7 正弦定理和余弦定理A 组 基础题组1.在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a,b,c 成等差数列,B=30,ABC 的面积为 ,则32b=( )A. B.1+1+ 32 3C. D.2+2+ 32 3答案 B 由条件知 acsin B= ,得 ac=6,又 a+c=2b,则由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-12 32ac,即 b2=4b2-12-6 ,解得 b1=b2=1+ .3 3 32.如图,正三棱锥 P-ABC 的所有棱长都为 4.点 D,E,F 分别在棱 PA,PB,PC 上,则满足 DE=EF=3,DF=2 的
2、DEF 的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C 令 PD=x,PE=y,PF=z,则 当 x=z 时, 当 xz 时,有两解.x2+y2-xy=9,y2+z2-zy=9,z2+x2-xz=4, x=z=2,y=1+ 6,3.(2017 浙江镇海中学模拟)在ABC 中,BC=2,AC=2 ,则 A 的最大值是( )2A.30 B.45 C.60 D.90 答案 B 由余弦定理,知 cos A= = (当且仅当 c=2 时,取等号),故 A 的最大值为c2+8-42c22 142(c+4c) 2245,故选 B.4.(2017 浙江台州调研)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别
3、为 a,b,c,已知 a=1,2b- c=2acos C,sin 3C= ,则ABC 的面积为( )32A. B. C. 或 D. 或32 34 32 34 3 32答案 C 由正弦定理知,2sin B- sin C=2sin Acos C,又 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所3以 cos A= ,故 A=30.32因为 sin C= ,所以 C=60或 C=120.322当 C=60时,B=90,由 = ,得 c= ,故 S= 11= ;asinA csinC 3 12 3 32当 C=120时,B=30,此时 b=a=1,故 S= 11sin 1
4、20= .故选 C.12 345.(2018 杭州高三期末)设点 P 在ABC 的 BC 边所在的直线上从左到右运动,设ABP 与ACP 的外接圆面积之比为 ,当点 P 不与 B,C 重合时( )A. 先变小再变大B.当 M 为线段 BC 中点时, 最大C. 先变大再变小D. 是一个定值答案 D 设ABP 与ACP 的外接圆半径分别为 r1,r2,则 2r1= ,2r2= ,因为ABsinAPB ACsinAPCAPB+APC=180,所以 sinAPB=sinAPC,所以 = ,所以 = = .故选 D.r1r2ABAC r21r22AB2AC26.已知 a,b,c 分别为ABC 的内角 A
5、,B,C 所对的边,其面积满足 SABC = a2,则 的最大值为( )14 cbA. -1 B. C. +1 D. +22 2 2 2答案 C 根据题意,有 SABC = a2= bcsin A,应用余弦定理,可得 b2+c2-2bccos A=2bcsin A,令 t= ,于14 12 cb是 t2+1-2tcos A=2tsin A.于是 2tsin A+2tcos A=t2+1,所以 2 sin =t+ ,从而 t+ 2 ,解2 (A+ 4) 1t 1t 2得 t 的最大值为 +1.27.(2017 浙江测试)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a=2 ,C
6、= ,tan A= ,则 sin A= 3 3 34,b= . 答案 ;4+35 3解析 由 tan A= 得 sin A= ,cos A= ,由正弦定理,得 c= a=5,又 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos 34 35 45 sinCsinAAsin C,b=acos C+ccos A=4+ .38.(2017 浙江名校协作体)已知在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 为ABC 的面积.若a=4,b=5,C=2A,则 c= ,S= . 答案 6;15743解析 由题意可知, = = = ,asinA bsinB bsin( -3A) bs
7、in3A所以 asin 3A=bsin A,即 4(3sin A-4sin3A)=5sin A,整理得 7=16sin2A,从而 cos2A= ,即 cos A= .916 34由正弦定理得,c= a=2cos Aa=6.sinCsinAS= bcsin A= 56 = .12 12 74 15749.(2018 杭州七校高三联考)设ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边依次为 a、b、c,若ABC 的面积为 S,且S=a2-(b-c)2,则 = . sinA1-cosA答案 4解析 因为ABC 的面积为 S,且 S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc= bcsin A,12所以由
8、余弦定理可得-2bccos A+2bc= bcsin A,12所以 4-4cos A=sin A,所以 = =4.sinA1-cosA4-4cosA1-cosA10.(2017 浙江稽阳联谊学校联考)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 csin A= acos 3C,则 C= ;若 c= ,ABC 的面积为 ,则 a+b= . 31332答案 ;7 3解析 由正弦定理可得 sin Csin A= sin Acos C,3因为 sin A0,所以 tan C= ,所以 C= .3 3由 absin C= ,得 ab=6.12 332又由余弦定理得 =a2+b2-2a
9、bcos C=(a+b)2-3ab,( 31)2所以 a+b=7.11.(2017 浙江台州质量评估)已知在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b= a, cos B=2 3cos A,c= +1,则ABC 的面积为 . 2 3答案 3+124解析 由 cos B= cos A,得3 2 = ,3a2+c2-b22ac 2 b2+c2-a22bc又 b= a,c= +1,所以上式可化简为 a2= c2=2,2 33-13+1所以 a= ,b=2.2所以 cos B= = ,所以 sin B= = .a2+c2-b22ac 22 1-cos2B 22故ABC 的面积 S=
10、 acsin B= ( +1) = .12 12 2 3 22 3+1212.(2017 浙江宁波期末)已知ABC 的三边分别为 a,b,c,且 a2+c2=b2+ac,则边 b 所对的角 B 为 ;此时,若 b=2 ,则 的最大值为 . 3 ABAC答案 ;6+4 3 3解析 由余弦定理得 cos B= = ,B= ,a2+c2-b22ac 12 3由正弦定理得 c= =4sin C.bsinCsinB =bccos A=8 sin Ccos A,又 C= -A,ABAC 323 =8 cos A=12cos2A+4 sin Acos A=6(1+cos 2A)+2 sin ABAC 3(3
11、2cosA+12sinA) 3 32A=6+4 sin .3 (2A+ 3)00,所以 sin B= ,32因为三角形 ABC 为锐角三角形,所以 B= . 3(2)已知 b= ,则 3=a2+c2-2accos3 3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,所以 a+c=2 ,3所以三角形 ABC 的周长为 3 .315.已知 f(x)=sin x(cos x+sin x)-1,xR.(1)求函数 f(x)的单调递减区间;(2)在锐角ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 f(A)=0,a=1,求 a2+b2+c2的取值范围.解析 (1)f(x)=sin xcos x
12、+sin 2x-1= sin 2x+ -1= sin - .12 1-cos2x2 22 (2x- 4)12令 +2k2x- 2k+ (kZ), 2 4 32得 +kxk+ (kZ).38 78故函数 f(x)的单调递减区间为 (kZ).38+k ,78+k (2)由 f(A)=0 得 sin = .(2A- 4) 22A ,2A- ,(0, 2) 4 (- 4,34)2A- = , 4 4A= . 4易得 bc= sin Bsin C=2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)-cos(-A)= +cos(B-C),又在(asinA)2 22锐角ABC 中,
13、A= ,故 B-C ,bc , 4 (- 4, 4) ( 2,1+ 22又 cos A= ,b 2+c2-a2= bc,b2+c2-a22bc 2a 2+b2+c2= bc+2(4,3+ .2 26B 组 提升题组1.(2018 金华东阳二中高三调研)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 3bcos A=ccos A+acos C,则 tan A 的值是( )A.-2 B.- C.2 D.2 2 2 2答案 C 在ABC 中,由余弦定理得ccos A+acos C=c +a =b.b2+c2-a22bc a2+b2-c22ab所以 3bcos A=ccos A+acos
14、 C=b,两边约去 b,得 3cos A=1,所以 cos A= 0,13所以 A 为锐角,且 sin A= = ,1-cos2A223因此,tan A= =2 .sinAcosA 22.若满足条件 AB= ,C= 的三角形 ABC 有两个,则边 BC 的长的取值范围是( )3 3A.(1, ) B.( , )2 2 3C.( ,2) D.( ,2)3 2答案 C 设 BC=a,C= ,AB= , 3 3由正弦定理得 = ,即 = ,sin A= .ABsinC BCsinA 332 asinA a2由题意得,当 A 且 A 时,满足条件的ABC 有两个, 1,解得 a2,即 BC 的取值范围
15、( 3,23) 2 32 a2 3是( ,2).33.(2017 浙江镇海中学模拟)在锐角ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 acos B+bcos A=c2,C=,则 a+b 的取值范围是( ) 3A.1,2 B.(1,2 C. ,2 D.( ,2 3 3答案 D 由正弦定理,知 sin Acos B+sin Bcos A=sin Cc,即 sin(A+B)=csin C,所以 c=1.又 = = ,asinA bsinB csinC所以 a+b= c=(sinAsinC+sinBsinC) 23sinA+sin(23 -A)= =2sin .23(32sinA+ 3
16、2cosA) (A+ 6)7因为 0A 2,023 -A 2,所以 A , 6 2所以 A+ , 3 623所以 a+b( ,2,故选 D.34.(2017 浙江绍兴质量检测)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= ,b= ,ABC 的面 4 6积为 ,则 c= ,B= . 3+ 32答案 1+ ;3 3解析 由三角形的面积公式 ,知 = c,3+ 32 12 6 22所以 c=1+ .3由正弦定理得, = ,即 = ,sinCsinBcb sin(34 -B)sinB cb所以 =(1+ )sin B,6 (22cosB+ 22sinB) 3所以 cos B=
17、sin B,即 tan B= ,所以 B= .3 3 35.(2017 浙江杭州二模)设 a,b,c 分别为ABC 的内角 A,B,C 的对边,且 SABC = c2.若 ab= ,则 a2+b2+c212 2的最大值是 . 答案 4解析 由 SABC = c2,知 absin C= c2,所以 c2= sin C;12 12 12 2由 c2=a2+b2-2abcos C,可知 a2+b2=c2+2abcos C= sin C+2 cos C.2 2所以 a2+b2+c2=2 (sin C+cos C)=4sin 4,2 (C+ 4)当且仅当 C= 时,取等号. 4故 a2+b2+c2的最大
18、值为 4.6.已知在ABC 中,M,N 分别为 AC,AB 的中点,|AB|AC|=23,当ABC 在上述条件下变化时,若|BM|CN|恒成立,则 的最小值为 . 答案 788解析 设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,不妨设 c=2,b=3,a=x(1x5).易求得|BM| 2= + - ,从而|BM|=a22c22b24.同理,|CN|= ,2x2-12 2x2+142 (1x5),从而 .2x2-12x2+14 787.已知ABC 的面积为 1,A 的平分线交对边 BC 于 D,AB=2AC,且 AD=kAC,kR,则当 k= 时,边BC 的长度最短. 答案 2105解析 由题可设
19、在ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 c=2b,AD=kb.由角平分线定理知,S ACD = = sin kb2,又 1= b2bsin A,两式联立,消去 b2,得 cos = k.1312 A2 12 A234又 a2=b2+(2b)2-2b2bcos A=b2(5-4cos A)= ,5-4cosAsinA所以 a2sin A+4cos A=5,利用辅助角公式,知 sin(A+)=5 ,a4+16 (tan =4a2)所以 a4+1625,即 a23 ,此时 cos = = ,故 k= cos =(当 sinA=35,cosA=45时,取等号 ) A2 1+c
20、osA2 31010 43 A2.25 108.(2018 浙江,13,6 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= ,b=2,A=60,则 sin B= 7,c= . 答案 ;3217解析 本题考查正弦定理、余弦定理 .由 = 得 sin B= sin A= ,asinA bsinB ba 217由 a2=b2+c2-2bccos A,得 c2-2c-3=0,解得 c=3(舍负).9.(2017 杭州四校期中)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos 2A+ =2cos A.32(1)求角 A 的大小;(2)若 a=1,求ABC 的
21、周长 l 的取值范围.解析 (1)由题意得 2cos2A+ =2cos A,12即 4cos2A-4cos A+1=0,(2cos A-1) 2=0,cos A= .129又0A,A= . 3(2)根据正弦定理 = = ,得 b= sin B,c= sin C,l=1+b+c=1+ (sin B+sin C),A= ,B+C=asinA bsinB csinC 23 23 23 3,l=1+ =1+2sin ,0B , B+ ,l(2,3.23 23sinB+sin(23-B) (B+ 6) 23 6 65610.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 c=2,C=
22、. 3(1)若ABC 的面积等于 ,求 a,b;3(2)若 sin C+sin(B-A)=3sin 2A,求ABC 的面积.解析 (1)在ABC 中,由余弦定理及三角形面积公式得即 解得 a=b=2.4=a2+b2-ab,3=12ab32, 4=a2+b2-ab,ab=4, (2)3sin 2A=sin C+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A),化简得 6sin Acos A=2sin Bcos A,又 A 为ABC 的内角,所以 cos A0,所以 sin B=3sin A,即 b=3a,由余弦定理可得 a2= ,47故ABC 的面积 S= absin C=3a2 = .12
23、 34 33711.(2017 温州中学月考)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a=2,2cos 2 +sin A= .B+C2 45(1)若满足条件的ABC 有且只有一个,求 b 的取值范围;(2)当ABC 的周长取最大值时,求 b 的值. 解析 由 2cos2 +sin A= ,得 1+cos(B+C)+sin A= ,B+C2 45 45所以 sin A-cos A=- ,15又 0A,且 sin2A+cos2A=1,所以 sinA=35,cosA=45.(1)若满足条件的ABC 有且只有一个,则有 a=bsin A 或 ab,10则 b 的取值范围为(0,2 .103(2)设ABC 的周长为 l,则 l=a+b+c.由正弦定理得 l=a+ (sin B+sin C)asinA=2+ sin B+sin(A+B)103=2+ (sin B+sin Acos B+cos Asin B)103=2+2(3sin B+cos B)=2+2 sin(B+),10其中 为锐角,且 sin = ,cos = ,1010 31010所以 lmax=2+2 ,且当 cos B= ,sin B= 时取到.101010 31010此时 b= sin B= .asinA 10