1、14.8 正弦定理和余弦定理应用举例A 组 基础题组1.如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平线,则从建筑物 AB 的顶端A 看建筑物 CD 的张角为( )A.30 B.45 C.60 D.75答案 B 依题意可得 AD=20 (m),AC=30 (m),又 CD=50(m),所以在ACD 中,由余弦定理得10 5cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010= = .600060002 22又 00,所以 cos A= ,所以 A= .12 3(2)因为 a= ,b+c=5,10所以
2、由余弦定理可得 a2=10=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,可解得 bc=5,所以 SABC = bcsin A= 5 = .12 12 32 53411.(2018 洛阳第一次统一考试)如图,在平面四边形 ABDC 中,CAD=BAD=30.(1)若ABC=75,AB=10,且 ACBD,求 CD 的长;(2)若 BC=10,求 AC+AB 的取值范围.解析 (1)由已知,易得ACB=45,在ABC 中, = BC=5 .10sin45CBsin60 6因为 ACBD,所以ADB=CAD=30,CBD=ACB=45,在ABD 中,ADB=30=BAD,所以 DB=AB=1
3、0.在BCD 中,CD= =5 .CB2+DB2-2CBDBcos45 10-4 3(2)AC+ABBC=10,cos 60= (AB+AC)2-100=3ABAC,AB2+AC2-1002ABAC而 ABAC ,(AB+AC2 )2所以 ,(AB+AC)2-1003 (AB+AC2 )2解得 AB+AC20,故 AB+AC 的取值范围为(10,20.B 组 提升题组1.地面上有两座相距 120 米的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 ,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为 ,且 2在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为( )6A.50 米,100 米 B.40 米,90
4、 米C.40 米,50 米 D.30 米,40 米答案 B 设高塔高 H 米,矮塔高 h 米,在 O 点望高塔塔顶的仰角为 .则 tan = ,tan = ,H120 2 h120根据三角函数的倍角公式有 = ,H1202h1201-(h120)2因为在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角,所以在 O 点望矮塔塔顶的仰角为 -. 2由 tan = ,tan = ,H60 ( 2- )h60得 = ,H6060h联立解得 H=90,h=40.即两座塔的高度分别为 40 米,90 米.2.如图,在海中一孤岛 D 的周围有 2 个观察站 A,C,已知观察站 A 在岛 D 的正北 5 km
5、 处,观察站 C 在岛 D的正西方,现在海面上有一船 B,在 A 点测得其在南偏西 60方向 4 km 处,在 C 点测得其在北偏西 30方向上,则两观察站 A 与 C 的距离为 km. 答案 2 7解析 如图,延长 AB 与 DC,设交点为 E,由题意可得E=30,BCE=60,EBC=90,ABC=90,在 RtADE 中,AE= =10 km,ADsin30所以 EB=AE-AB=6 km.在 RtEBC 中,BC=BEtan 30=2 km,3在 RtABC 中,AC= =2 (km).AB2+BC2 773.如图,一栋建筑物 AB 的高为(30-10 )m,在该建筑物的正东方向有一个
6、通信塔 CD.在它们之间的地面3点 M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶 A,塔顶 C 的仰角分别是 15和 60,在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为30,则通信塔 CD 的高为 m. 答案 60解析 如图,在 RtABM 中,AM= = = = =20 .ABsinAMB30-103sin15 30-103sin(45-30)30-1036-24 6过 A 点作 CD 的垂线,垂足为 N,易知MAN=AMB=15,所以MAC=30+15=45,又AMC=180-15-60=105,从而ACM=30.在AMC 中,由正弦定理得 = ,解得 MC=40 .在 RtCMDMCsin45206si
7、n30 3中,CD=40 sin 60=60,故通信塔 CD 的高为 60 m.34.如图,在一条海防警戒线上的点 A、B、C 处各有一个水声监测点,B、C 两点到 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米,某时刻,B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号,8 秒后 A、C 同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒.(1)设 A 到 P 的距离为 x 千米,用 x 表示 B、C 到 P 的距离,并求 x 的值;(2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离.解析 (1)依题意,有 PA=PC=x 千米,PB=x-1.58=(x-12) 千米.在PAB 中,AB=20 千米
8、,cosPAB= = = ,PA2+AB2-PB22PAAB x2+202-(x-12)22x20 3x+325x在PAC 中,AC=50 千米,8cosPAC= = = .PA2+AC2-PC22PAAC x2+502-x22x50 25xcosPAB=cosPAC, = ,解得 x=31(负值舍去).3x+325x 25x(2)作 PDAC 于点 D(图略),在ADP 中,由(1)可知 cosPAD= ,2531则 sinPAD= = ,1-cos2PAD42131PD=PAsinPAD=31 =4 千米.42131 21故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 4 千米.215.某港
9、湾的平面示意图如图所示,O,A 和 B 分别是海岸线 l1和 l2上的三个集镇,A 位于 O 的正南方向 6 km 处,B 位于 O 的北偏东 60方向 10 km 处.(1)求集镇 A,B 间的距离;(2)随着经济的发展,为缓解集镇 O 的交通压力,拟在海岸线 l1,l2上分别修建码头 M,N,开辟水上航线,勘测时发现:以 O 为圆心,3 km 为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行,请确定码头 M,N 的位置,使得M,N 之间的直线航距最短.解析 (1)在ABO 中,OA=6,OB=10,AOB=120, 根据余弦定理得 AB2=OA2+OB2-2OAOBcos 120=62+102-2
10、610 =196,所以 AB=14,故集镇 A,B 间的距离为 14 km.(-12)(2)依题意得,直线 MN 必与圆 O 相切,设切点为 C,连接 OC(图略),则 OCMN.设 OM=x,ON=y,MN=c,在OMN 中,由 MNOC= OMONsin 120,12 12得 3c= xysin 120,即 xy=2 c,12 12 3由余弦定理,得 c2=x2+y2-2xycos 120=x2+y2+xy3xy,所以 c26 c,解得 c6 .3 39当且仅当 x=y=6 时,c 取得最小值 6 .3所以码头 M,N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时,M,N 之间的直线航距最短,最短距离为 6 km.3