1、14.5 三角函数的图象和性质A 组 基础题组1.函数 y=3-2sin2x 的最小正周期为( )A. B. C.2 D.4 2答案 B y=3-2sin 2x=2+cos 2x,最小正周期 T=, 故选 B.2.函数 f(x)=sin xcos x+ cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )32A.,1 B.,2 C.2,1 D.2,2答案 A f(x)=sin xcos x+ cos 2x32= sin 2x+ cos 2x=sin ,12 32 (2x+ 3)最小正周期和振幅分别是 ,1.故选 A.3.(2019 台州中学月考)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若
2、 f(x)的最小正周期是 ,且当 x 时,f(x)=sin x,则 f 的值为( )0, 2 (53)A.- B. C.- D.12 12 32 32答案 D f(x)的最小正周期是 ,f =f =f ,f(x)是偶函数,(53) (53 -2 ) (- 3)f =f =sin = ,f = ,故选 D.(- 3) ( 3) 3 32 (53) 324.(2017 浙江金华十校联考)设函数 f(x)=sin(x+)( 0),则 f(x)的奇偶性( )A.与 有关,且与 有关B.与 有关,但与 无关C.与 无关,且与 无关D.与 无关,但与 有关答案 D 因为 f(x)=sin xcos +co
3、s xsin ,所以 f(-x)=-sin xcos +cos xsin .若 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x)恒成立,故 cos xsin =0 恒成立,所以 sin =0,故 =k,kZ;若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)恒成立,故 sin xcos =0 恒成立,所以 cos =0,故 =k+ ,kZ. 2综上, f(x)的奇偶性仅与 有关,故选 D.25.(2017 课标全国理,6,5 分)设函数 f(x)=cos ,则下列结论错误的是( )(x+ 3)A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称83C.f(x+)的一个零点为 x= 6
4、D.f(x)在 单调递减( 2, )答案 D f(x)的最小正周期为 2,易知 A 正确;f =cos =cos 3=-1,为 f(x)的最小值,(83) (83 + 3)故 B 正确;f(x+)=cos =-cos ,f =-cos =-cos =0,故 C 正确;由(x+ + 3) (x+ 3) ( 6+ ) ( 6+ 3) 2于 f =cos =cos =-1,为 f(x)的最小值,故 f(x)在 上不单调,故 D 错误.(23) (23+ 3) ( 2, )6.函数 f(x)=sin +1 的最小正周期为 ;单调递增区间是 ;对称轴(2x- 4)方程为 . 答案 ; (kZ);x= +
5、 (kZ)k - 8,k +38 k2 38解析 根据函数性质知,最小正周期 T= =.22令 2k- 2x- 2k+ (kZ), 2 4 2解得 k- xk+ (kZ), 8 38所以单调递增区间是 (kZ).k - 8,k +38再令 2x- =k+ (kZ), 4 2解得 x= + (kZ),k2 38即对称轴方程为 x= + (kZ).k2 387.(2018 温州高中模拟)设 =N *且 15,则使函数 y=sin x 在区间 上不单调的 的个数是 . 4, 3答案 8解析 当 x 时,x , 4, 3 4, 3由题意知 0)的最小正周期3 (x + 2)为 1,则 = ,函数 f(
6、x)在区间 上的值域为 . -16,14答案 ;-2, 3解析 f(x)=2sin 2x+2 sin xsin -1= sin(2x)-cos(2x)=2sin ,3 (x + 2) 3 (2x - 6) =1=,f(x)=2sin ,22 (2 x- 6)当 x 时,2x- ,-16,14 6 - 2, 32sin -2, ,(2 x- 6) 3f(x)=2sin 在 上的值域为-2, .(2 x- 6) -16,14 39.(2019 杭州学军中学质检)已知 f(x)=sin 2x- cos 2x,若对任意实数 x ,都有|f(x)|0,| | 2) 12函数 f(x)的图象的一条对称轴.
7、(1)求 和 的值;(2)设函数 g(x)=f(x)+f ,求 g(x)的单调递减区间.(x- 6)解析 (1)因为 f(x)=sin(x+) 的最小正周期为 ,所以 =2,( 0,| | 2)又 2x+=k+ ,kZ, 2所以 f(x)的图象的对称轴为 x= + - ,kZ.k2 4 2由 = + - ,得 =k+ (kZ).12k2 4 2 3又| ,则 = . 2 3(2)函数 g(x)=f(x)+f =sin +sin 2x(x- 6) (2x+ 3)= sin 2x+ cos 2x+sin 2x= sin .12 32 3 (2x+ 6)令 2k+ 2x+ 2k+ ,kZ, 2 6
8、32得 k+ xk+ ,kZ, 6 23所以 g(x)的单调递减区间为 ,kZ.k + 6,k +23B 组 提升题组1.(2018 武汉武昌调研)若 f(x)=cos 2x+acos 在区间 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( 2+x) ( 6, 2)( )A.-2,+) B.(-2,+)C.(-,-4) D.(-,-45答案 D f(x)=1-2sin 2x-asin x,令 sin x=t,t ,则 g(t)=-2t2-at+1,t ,因为 f(x)在(12,1) (12,1)上单调递增,所以- 1,即 a-4,故选 D.( 6, 2) a42.已知 0sin(2-y)(52-y)C
9、.sin(2-x2)1,又 y1.44x22-y- - ,所52 52 52 32 2 (52-y) 2 12 2以 sin x2sin(2-y),故 B 正确;对于 C,当 2-x2= , 0,| |0,所以 的最小值为 1,因此,g(x)=f - =sin x- 在区间0,22的(x- 3) 22 22零点个数是 8.4.(2017 浙江镇海中学第一学期期中)已知 f(x)=cos x(sin x-cos x)+cos 2 +1(0)的最大( 2-x)值为 3.(1)求函数 f(x)的图象的对称轴方程;(2)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(C)=3,c=
10、,ABC 的面积为 ,求ABC 的周长.7332解析 (1)f(x)= sin 2x-cos2x+sin2x+1= sin 2x-cos 2x+1, 2 2故 f(x)= sin(2x-)+1 的最大值为 3, 24+1 (tan =2 )所以 =2,又 0,得 =2 . 24+1 36从而 f(x)= sin 2x-cos 2x+1=2sin +1,3 (2x- 6)令 2x- =k+ ,kZ,得 x= + ,kZ. 6 2 k2 3故函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x= + ,kZ.k2 3(2)由 f(C)=3,得 sin =1,(2C- 6)又 0C,所以- 2C- , 6 6116故 2C- = ,即 C= . 6 2 3由 absin C= ,得 ab=6.12 332又 c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab, 3即(a+b) 2=25,所以 a+b=5,故ABC 的周长为 5+ .7