1、14.4 简单的三角恒等变换A组 基础题组1. 的值为( )1-tan275tan75A.2 B. C.-2 D.-3233 3 233答案 C 原式= =-2 .2tan150 32.若 cos 2= ,则 sin4+cos 4 的值为( )13A. B. C. D.11318111859答案 C cos 2= ,sin 4+cos 4=(sin 2+cos 2) 2-2sin2cos 2=1- sin22=1- (1-13 12 12cos22)=1- = .12 (1-19)593.已知 tan = ,则 的值为( )223 1-cos +sin1+cos +sinA. B.- C. D
2、.-23 23 32 32答案 A tan = ,223 = =tan = .1-cos +sin1+cos +sin 2sin22+2sin2cos22cos22+2sin2cos2 2234.函数 f(x)=2cos xsin 的最大值为( )(x-3)A.1- B.1+ C. D.232 32 12答案 A f(x)=2cos x = sin 2x- (1+cos 2x)=sin - ,f(x) max=1- .(12sinx- 32cosx)12 32 (2x-3) 32 325.(2019温州中学月考)若 cos(+)cos(-)= ,则 cos2-sin 2=( )13A.- B.
3、- C. D.23 13 13 23答案 C cos(+)cos(-)= ,13cos 2cos 2-sin 2sin 2= ,13cos 2(1-sin 2)-(1-cos 2)sin 2=cos 2-cos 2sin 2-sin 2+cos 2sin 2=cos 2-sin 2= .136.4sin 80- 等于( )cos10sin102A. B.- C. D.2 -33 3 2 2答案 B 4sin 80- =cos10sin104sin80sin10-cos10sin10= =2sin20-cos10sin10 2sin(30-10)-cos10sin10=2sin30cos10-2
4、cos30sin10-cos10sin10= =- .故选 B.- 3sin10sin10 37.(2018温州中学高三模拟)已知向量 a=(sin +cos ,1),b=(1,-2cos ),ab= , ,则15 (0,2)sin = ,cos = . 答案 ;4535解析 由题意得 sin +cos -2cos = ,即 sin -cos = ,结合 sin2+cos 2=1,可得 sin 15 15= ,cos = .45 358.(2018浙江重点中学高三月考)请利用图 1、图 2中大矩形内部阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式: . 图 1 图 2 答案 sin(
5、+)=sin cos +cos sin 解析 题图 1中大矩形面积 S=(cos +cos )(sin +sin )=sin(+)+sin cos +sin cos ,减去四个小直角三角形的面积得 S1=S-sin cos -sin cos =sin(+),题图 2中阴影部分面积 S2=sin cos +cos sin .两个图的阴影部分面积相等,即 S1=S2,故 sin(+)=sin cos +cos sin .9.(2016课标全国文,14,5 分)已知 是第四象限角,且 sin = ,则 tan = . ( +4)35 ( -4)答案 -43解析 + = ,( +4)(4- )23si
6、n =cos = ,( +4) (4- )35又 2k- 0.2 2原式= +(sin2+cos2)22|cos2|- 2|sin2| (sin2-cos2)22|cos2|+ 2|sin2|5= +(sin2+cos2)2- 2(sin2+cos2) (sin2-cos2)22(sin2-cos2)=- + =- cos .sin2+cos22 sin2-cos22 2 23.(2019台州中学月考)已知函数 f(x)=Asin ,xR,且 f = .(x+4) (512)32(1)求 A的值;(2)若 f()+f(-)= , ,求 f .32 (0,2) (34- )解析 (1)f =As
7、in = ,(512) (512+4)32A = ,A= .32 32 3(2)f()+f(-)= sin + sin = ,3 ( +4) 3 (- +4)32 = ,322(sin +cos )+ 22(-sin +cos )32 cos = ,cos = ,632 64又 ,sin = = ,(0,2) 1-cos2 104f = sin(-)= sin = .(34 - ) 3 3 3044.广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画,根据该设施的外观,设计成的平面图由半径为 2 m的扇形 AOB和三角形 BCO构成,其中 C,O,A在同一条直线上,ACB= ,记该设施平面图的面积为 S
8、m2,AOB= 4x rad,其中 x.2(1)写出 S关于 x的函数关系式;(2)如何设计AOB,使得 S有最大值?解析 (1)因为扇形 AOB的半径为 2 m,AOB=x rad,所以 S 扇形 = x22=2x.12过点 B作边 AC的垂线,垂足为点 D,如图所示.则BOD=-x,6所以 BD=2sin(-x)=2sin x,OD=2cos(-x)=-2cos x.因为ACB= ,所以 CD=BD=2sin x,4所以 SBOC = COBD= (2sin x-2cos x)2sin x=2sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x,12 12所以 S(x)=1-cos 2x-sin 2x+2x.(2)由(1)可知 S(x)=1-cos 2x-sin 2x+2x,所以 S(x)=2sin 2x-2cos 2x+2.令 S(x)=0,得 2 sin =-2,2 (2x-4)所以 sin =- ,(2x-4) 22因为 x,所以 2x- ,2 34 474所以 2x- = ,所以 x= ,454 34根据实际意义知,当 x= 时,该函数取得最大值,34故设计AOB= ,此时 S有最大值.34