1、12.4 二次函数和幂函数A 组 基础题组1.函数 f(x)=2x2-mx+3 在(-,-1上单调递减,在(-1,+)上单调递增,则 f(2)=( )A.10 B.14 C.19 D.20答案 C 由题意知 =-1,所以 m=-4,所以 f(x)=2x2+4x+3,所以 f(2)=19.m42.(2019 绍兴一中月考)命题“ax 2-2ax+30 恒成立”是假命题,则实数 a 的取值范围是( )A.a3 D.00 恒成立,则 a=0 或 可得 0a0, =4a2-12a0 恒成立”是假命题时,a .(x1+x22 )f(x1)+f(x2)2答案 解析 -f = - - = 0,故填.f(x1
2、)+f(x2)2 (x1+x22 )x21+x1+x22+x22 (x1+x22 )2x1+x22 (x1-x2)246.(2019 山西一模)已知函数 f(x)=x2-m是定义在区间-3-m,m 2-m上的奇函数,则 f(m)= .答案 -1解析 由题意得 m2-m=3+m,即 m2-2m-3=0,m=3 或 m=-1.当 m=3 时,f(x)=x -1,其定义域为-6,6,f(x)在 x=0 处无意义,故舍去.当 m=-1 时,f(x)=x 3,其定义域为-2,2,满足题意,f(m)=f(-1)=(-1) 3=-1.7.若 f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,且|f(x)|的
3、最大值为 ,则 4a+3b= . 12答案 -32解析 由题意可知, 即|f(-1)| 12,|f(0)| 12,|f(1)| 12, |1-a+b| 12,|b| 12,|1+a+b| 12,而|1-a+b|+|1+a+b|2|1+b|,所以 2|1+b|1,解得- b- ,另一方面|b| 等价于- b ,32 12 12 12 12所以 b=- ,所以 解得 a=0.12 |12-a| 12,|12+a| 12,综上得 故 4a+3b=- .a=0,b= -12, 328.二次函数 y=x2+kx+k,k4,6的图象截 x 轴所得线段长度的取值范围是 . 答案 0,2 33解析 所求线段的
4、长度为 = ,因为 k4,6,所以k2-4k (k-2)2-40,2 .(k-2)2-4 39.对于定义在 R 上的函数 f(x),若实数 x0满足 f(x0)=x0,则称 x0是函数 f(x)的一个不动点.若函数 f(x)=x2+ax+1 没有不动点,则实数 a 的取值范围是 . 答案 (-1,3)解析 问题等价于方程 x2+ax+1=x 无解,即 x2+(a-1)x+1=0 无解,=(a-1) 2-4f(a-1)的实数2a 的取值范围.解析 (1)m 2+m=m(m+1),mN *,而 m 与 m+1 中必有一个为偶数,m(m+1)为偶数.函数 f(x)= (mN *)的定义域为0,+),
5、并且在定义域上为增函数.x(m2+m)-1(2)函数 f(x)的图象经过点(2, ),2 = ,m 2+m=2.22(m2+m)-1解得 m=1 或 m=-2.又 mN *,m=1.由 f(2-a)f(a-1)得 2-a 0,a-1 0,2-aa-1.解得 1aba),其图象过点(1,0),并与直线 y=-a 有交点.(1)求证:0 ba,所以 a0.4由 c=-a-2bba,得- n,m2+m20)与 x 轴有两个交点 A,B,顶点为 C,设 =b 2-4ac,ACB=,则cos= ( )A. B. C. D. -4 +4 -2 +2 +4 -4 +2 -2答案 A 如图所示.|AB|= =
6、 = ,(x1+x2)2-4x1x2 (-ba)2-4ca a|AD|= ,而|CD|= = ,|AC| 2=|AD|2+|CD|2= + = ,cos=2a |4ac-b24a |4a 4a2 216a2 2+416a2=1- =1- = ,故选 A.|AC|2+|BC|2-|AB|22|AC|BC| |AB|22|AC|2 a22 2+416a2 -4 +463.下图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为 x=-1,给出下面四个结论:b 24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即 b24ac,正确;对称轴为 x=-1,即- =-1,所以
7、2a-b=0,错误;结合图象,当 x=-1 时,y0,即 a-b+c0,错误;由对b2a称轴为直线 x=-1 知 b=2a,又函数图象开口向下,所以 a1).(1)若 f(x)的定义域和值域均是1,a,求实数 a 的值;(2)若 f(x)在区间(-,2上是减函数,且对任意的 x1,x21,a+1,总有|f(x 1)-f(x2)|4,求实数 a 的取值范围;(3)若 f(x)在1,3上有零点,求实数 a 的取值范围.解析 (1)易知 f(x)在1,a上单调递减,所以 f(1)=a,f(a)=1,a=2.(2)若 f(x)在区间(-,2上是减函数,则 a2,所以当 x1,a+1时,f(x) min
8、=f(a)=5-a2,f(x)max=f(1)=6-2a,因为对任意的 x1,x21,a+1,总有|f(x 1)-f(x2)|4,即 f(x)max-f(x)min4,即 6-2a-5+a24,所以 a2-2a-30,得-1a3.(3)f(x)=x2-2ax+5(a1)在1,3上有零点,即 x2-2ax+5=0 在1,3上有解,所以 2a=x+ 在5x1,3上有解,令 h(x)=x+ ,5x易知 h(x)=x+ 在1, 上是减函数,在 ,3上是增函数,5x 5 57h(1)=6,h( )=2 ,h(3)= ,5 51432 h(x)6,所以 2 2a6, a3.5 5 55.已知二次函数 f(
9、x)=ax2+bx+c(a0)的图象过点(1,0).(1)记函数 f(x)在0,2上的最大值为 M,若 M1,求 a 的最大值;(2)若对任意的 x10,2,存在 x20,2,使得 f(x1)+f(x2) a,求 的取值范围.32 ba解析 (1)函数 f(x)的图象过点(1,0),f(1)=a+b+c=0,c=-a-b,f(x)=ax 2+bx-a-b(a0),易知 f(x)的图象是开口向上的抛物线,M 为 f(0),f(2)中的较大者M1 f(0)= -a-b 1,f(2)=3a+b 1.2a2,即 a1,故 a 的最大值为 1.(2)由题意知,存在 x20,2,使 f(x)min+f(x2) a,32f(x) min+f(x)max a,32由(1)知,f(x)=ax 2+bx-a-b,此函数图象的对称轴为直线 x=- .b2a当- 0 时,f(x)在0,2上单调递增,b2a baf(x) min+f(x)max=f(0)+f(2)=-a-b+3a+b=2a a,32 0,符合题意.ba当 0- a,得- a,得-4- a,32 -4,符合题意.ba综上所述, - .ba 2 ba 2