1、13.1 变化率与导数、导数的计算A 组 基础题组1.曲线 y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2e B.eC.2 D.1答案 C y=xe x-1+x(ex-1)=(1+x)ex-1,曲线在点 (1,1)处切线的斜率为 y|x=1=2.故选 C.2.函数 f(x)=(2x) 2的导数为( )A.f (x)=4x B.f (x)=4 2xC.f (x)=8 2x D.f (x)=16x答案 C f(x)=(2x) 2=4 2x2,f (x)=8 2x.3.曲线 y=x3+x-2 在点 P0处的切线平行于直线 y=4x-1,则点 P0的坐标为( )A.(1,0),(-1,-4)
2、 B.(0,1)C.(1,0) D.(-1,-4)答案 A 设 P0(x0,y0).因为 f(x)=x3+x-2,故 f (x0)=3 +1=4,解得 x0=1,当 x0=1 时,y 0=0,当 x0=-1x20时,y 0=-4,故选 A.4.已知函数 f(x)=axn(a,nR)的图象在点(1,2)处的切线方程是 y=4x-2,则下列说法正确的是( )A.函数 f(x)是偶函数且有最大值B.函数 f(x)是奇函数且有最大值C.函数 f(x)是偶函数且有最小值D.函数 f(x)是奇函数且有最小值答案 C 对函数 f(x)求导得 f (x)=anxn-1,则由题意得 解得 则函f(1)=a1n=
3、2,f (1)=an1n-1=4, n=2,a=2,数为二次函数 f(x)=2x2,其图象开口向上,有最小值,且为偶函数.故选 C.5.曲线 f(x)=xln x 在点(1, f(1)处的切线的倾斜角为( )A. B. 6 4C. D. 3 2答案 B 因为 f(x)=xln x,所以 f (x)=ln x+x =ln x+1,所以 f (1)=1,所以曲线 f(x)=xln x 在1x点(1, f(1)处的切线的倾斜角为 . 426.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( )A.0 B.1C.2 D.3答案 D y=a- ,x=0 时 ,y=a-1
4、=2,a=3,故选 D.1x+17.曲线 y=ex在点 A 处的切线与直线 x+y+3=0 垂直,则点 A 的坐标为( )A.(-1,e-1) B.(0,1)C.(1,e) D.(0,2)答案 B 与直线 x+y+3=0 垂直的直线的斜率为 1,所以切线的斜率为 1,对 y=ex求导得 y=ex,令y=ex=1,解得 x=0,此时 y=e0=1,即点 A 的坐标为(0,1),选 B.8.(2018 宁波调研)直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a+b 的值为( )A.2 B.-1C.1 D.-2答案 C 对 y=x3+ax+b 求导得y=3x2+a,则
5、 13+a+b=3,312+a=k,k+1=3, 解得 所以 2a+b=1,故选 C.a= -1,b=3,k=2, 9.(2016 课标全国文,16,5 分)已知 f(x)为偶函数,当 x0 时, f(x)=e -x-1-x,则曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 答案 y=2x解析 当 x0 时,-x0),点(1,2)在曲线 y=f(x)上,易知 f (1)=2,故曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 y-2=f (1)(x-1),即 y=2x.10.已知函数 f(x)=(2x+1)ex, f (x)为 f(x)的导函数,则 f (0)的值为 . 答案 3解析 f (
6、x)=2e x+(2x+1)ex=(2x+3)ex,f (0)=3.11.若曲线 y=e-x在点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是 . 答案 (-ln 2,2)解析 令 f(x)=y=e-x,则 f (x)=-e-x.令 P(x0,y0),则 f (x0)=- =-2,解得 x0=-ln 2,所以e-x0y0= =eln 2=2,所以点 P 的坐标为(-ln 2,2).e-x0312.已知函数 f(x)=axln x,x(0,+),其中 a 为实数, f (x)为 f(x)的导函数.若 f (1)=3,则 a 的值为 . 答案 3解析 f (x)=aln x+a,f
7、 (1)=aln 1+a=3,解得 a=3.13.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直bx线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 . 答案 -3解析 y=ax 2+ ,y=2ax- ,bx bx2由题意可得 解得4a+b2= -5,4a-b4= -72, a= -1,b= -2.a+b=-3.B 组 提升题组1.已知 f(x)= x2+sin , f (x)为 f(x)的导函数,则 f (x)的大致图象是( )14 ( 2+x)答案 A f(x)= x2+sin = x2+cos x,f (x)=
8、x-sin x,它是一个奇函数,其图象关于原点14 ( 2+x)14 12对称,故排除 B,D.又 f (x)= -cos x,当- ,f (x)0,则-x0),则 f (x)= -3(x0),f (1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为 y+3=-2(x-1),1x即 y=-2x-1.3.已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= . 答案 84解析 令 f(x)=y=x+ln x,求导得 f (x)=1+ , f (1)=2,又 f(1)=1,所以曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处1x的切线方程为 y-1=2(x-1),
9、即 y=2x-1.设直线 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 的切点为 P(x0,y0),则y =2ax0+a+2=2,得 a(2x0+1)=0,a=0 或 x0=- ,又 a +(a+2)x0+1=2x0-1,即 a +ax0+2=0,当 a=0 时,显|x=x012 x20 x20然不满足此方程,x 0=- ,此时 a=8.124.已知函数 f(x)=aex+x2,g(x)=cos x+bx,直线 l 与曲线 y=f(x)切于点(0, f(0),且与曲线 y=g(x)切于点(1,g(1),则 a+b= ,直线 l 的方程为 . 答案 -2;x+y+1=0解析 f (x)=a
10、e x+2x,g(x)=-sin x+b,f(0)=a,g(1)=cos +b=b-1,f (0)=a,g(1)=b,由题意可得 f (0)=g(1),则 a=b,又 f (0)= =a,b-1-a1-0则 a=b=-1,a+b=-2,直线 l 的方程为 x+y+1=0.5.若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件:(i)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切;(ii)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P处“切过”曲线 C.下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). 直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3;直线 l:x=
11、-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1)2;直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x;直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x;直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x.答案 解析 直线 l:y=0 在 P(0,0)处与曲线 C:y=x3相切,且曲线 C 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,正确;直线 l:x=-1 不是曲线 C:y=(x+1)2在 P(-1,0)处的切线,错;中 y=cos x,cos 0=1,因此曲线C:y=sin x 在 P(0,0)处的切线为 l:y=
12、x,设 f(x)=x-sin x,则 f (x)=1-cos x0,即 f(x)是增函数,又f(0)=0,从而当 x0 时, f(x)0xsin x,即曲线 C:y=sin x 在 P(0,0)附5近位于直线 l 的两侧,正确;中 y= = , =1,因此曲线 C:y=tan x 在 P(0,0)处的切线为(sinxcosx) 1cos2x 1cos20l:y=x,设 g(x)=x-tan x,则 g(x)=1- 0 ,即 g(x)在 上是减函数,且 g(0)1cos2x (- 20),则 h(x)=1- = ,当 01 时,h(x)0,因此当 x=1 时,h(x) min=h(1)=0,因1xx-1x此曲线 C 在 P(1,0)附近位于直线 l 的一侧,故错误.因此答案为.