1、12.8 函数与方程A 组 基础题组1.已知 f(x)= 则方程 f(f(x)=2 的实数根的个数是( )2x+22,x 1,|log2(x-1)|,x1,A.5 B.6 C.7 D.8答案 C 作出函数 f(x)的图象,如图所示.由图可知,函数 f(x)的图象与直线 y=2 有三个交点,即方程 f(x)=2 有三个不等实根,设 f(x)=2 的三个实数根从小到大依次为x1,x2,x3,则 x1=1,10,f(b)0,又该函数是二次函数,且图象开口向上,故两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,选 A.3.关于 x 的方程 ax2-|x|+a=0 有四个不同的解,则实数 a 的值可能是( )A
2、. B. C.1 D.214 12答案 A 若 a=2,则 2x2-|x|+2=0,=1-160,方程有 4 个根,成立.故选 A.12 144.(2017 长沙统一模拟)对于满足 00,于是 c =1+ -b24a a+b-ca a+b-b24aa ba,对满足 02.故选 D.14 a+b-ca5.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= ,当 x0,1时,f(x)=x.若函数 h(x)=f(x)-ax-a 在区1f(x)+1间(-1,1内有两个零点,则实数 a 的取值范围是( )A. B. C. D.(-1,12 12,+ ) (- ,12 (0,12答案 D 当 x(-1,0时,x+1(
3、0,1,所以 f(x)= -1= -1,1f(x+1) 1x+1所以 f(x)= 作出函数 y=f(x)和过定点(-1,0)1x+1-1,-10,故由 f(x)=0,得 2x-2=0(x0),解得 x=1,则函数 f(x)的零点个数为 1.8.函数 f(x)= 的零点个数是 . x2-2, x 0,2x-6+lnx,x0答案 2解析 当 x0 时,由 x2-2=0 得 x=- ;当 x0 时,f(x)=2x-6+lnx 在(0,+)上为增函数,2且 f(2)=ln2-20,所以 f(x)在(0,+)上有且只有一个零点.综上,f(x)的零点个数为 2.9.若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两
4、个零点,则实数 b 的取值范围是 . 答案 (0,2)解析 函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点等价于函数 y=|2x-2|与y=b 的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数 y=|2x-2|及 y=b 的图象,如图.由图可知 b(0,2).10.(2019 衢州质检)已知 b,cR,二次函数 f(x)=x2+2bx+c 在区间(1,5)上有两个不同的零点,则 f(1)f(5)的取值范围是 . 答案 (0,256)解析 由题意知 f(1)f(5)=(2b+c+1)(10b+c+25)0,且 10)有四个不同的“近零点”,则 a 的最大值为 ( )A.2 B.1 C. D.12 1
5、4答案 D 不妨假设 a,b 同号,并设 m-1,m,n,n+1(mm,且 m,nN,12所以 nm+1,所以 n+1-m2.故 4|a|1,即|a| ,故 a 的最大值为 .14 143.已知函数 f(x)=|2x-1|,g(x)=x2-(2+3k)x+2k+1.若方程 g(f(x)=0 有 3 个不同实根,则 k的取值范围是 . 答案 k=- 或 k012解析 方程 gf(x)=0 有 3 个不同实根等价于方程 g(x)=0,即 x2-(2+3k)x+2k+1=0 有两个根 x1、x 2,其中 01,或 01 时,k0.同理,当 00,g(1)= -k0.12 124.已知函数 f(x)=
6、x2-2x,若关于 x 的方程|f(x)|+|f(a-x)|-t=0 有 4 个不同的实数根,且所有实数根之和为 2,则实数 t 的取值范围是 . 答案 (1,32)解析 令 h(x)=|f(x)|+|f(a-x)|,则 h(a-x)=h(x),故 h(x)的图象关于直线 x= 对称,a2方程|f(x)|+|f(a-x)|-t=0 有 4 个不同的实数根,且所有实数根之和为 2,设|f(x)|+|f(a-x)|-t=0 的 4 个实数根分别为 x1,x2,x3,x4,5其中 = , = ,x1+x22 a2x3+x42 a2则 x1+x2+x3+x4=2a=2,解得 a=1,故 h(x)=|f(x)|+|f(a-x)|=|x2-2x|+|(1-x)2-2(1-x)|= 作函数 h(x)的图象如图,2x2-2x-1,x -1,-2x+1,-12, 由题意可得函数 h(x)=|x2-2x|+|(1-x)2-2(1-x)|与 y=t 的图象有四个不同的交点,结合图象可知,实数 t 的取值范围是 .(1,32)