1、12.3 函数的奇偶性与周期性A组 基础题组1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )A.y= B.y=x+ C.y=2x+ D.y=x+ex1+x21x 12x答案 D 易知 y= 与 y=2x+ 是偶函数,y=x+ 是奇函数 ,故选 D.1+x212x 1x2.偶函数 y=f(x)在区间0,4上单调递减,则有( )A.f(-1)f f(-) B.f f(-1)f(-)(3) (3)C.f(-)f(-1)f D.f(-1)f(-)f(3) (3)答案 A 由题意得 0f f()=f(-),故选 A.3 (3)3.设函数 f(x)(xR)满足 f(x+)=f(x)+sinx.当 0x
2、011+x4时,f(x)=lg(1+2x)- ,函数 f(x)单调递增,根据偶函数的性质可知 ,f(3x-2)0,a,x=0,g(2x),x0,f(-x)=x 2-2x+1=-f(x),g(2x)=-x 2+2x-1,g(-2)=-4,f(g(-2)=f(-4)=-16-8-1=-25.11.(2019汤溪中学月考)下列函数中,既是偶函数又是区间(0,+)上的增函数的有 .(填写所有符合条件的序号) y=x 3;y=|x|+1;y= ;y=x32 lnx(x0),ln(-x)(x0时,y=|x|+1=x+1,函数在(0,+)上单调递增;由函数 y= 的定义域为0,+),可知此函数为非奇非偶函数
3、 ;x32y= 即 y=ln|x|(x0),则易知此函数为偶函数,又当 x0时,y=lnx,lnx(x0),ln(-x)(xf(3x-1)成立的 x的取值范围是 . 11+x2答案 (14,12)解析 f(x)=ln(1+|x|)- ,定义域为 R,f(-x)=f(x),函数 f(x)为偶函数,当 x0时,11+x2f(x)=ln(1+x)- 单调递增,又 f(x)f(3x-1),|x|3x-1|,x 2(3x-1)2,x 的取值范11+x2围是 .(14,12)13.设 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 x0 时,f(x)=x 2,若对任意 xa,a+2,不等式f(x+a)f(3x+1)
4、恒成立,则实数 a的取值范围是 . 答案 a-5解析 因为当 x0 时,f(x)=x 2,所以此时函数 f(x)单调递增,因为 f(x)是定义在 R上的奇函数,所以 f(x)在 R上单调递增,则对任意 xa,a+2,不等式 f(x+a)f(3x+1)恒成立,即x+a3x+1 恒成立,即 a2x+1 恒成立,因为 xa,a+2,所以(2x+1) max=2(a+2)+1=2a+5,即a2a+5,解得 a-5.B组 提升题组41.(2019效实中学月考)已知 f(x)= +b是奇函数,其中 a0,bR,则 f(1)=( )12x-aA.1 B. C. D.212 32答案 C 因为 f(x)= +
5、b是奇函数,所以 f(-x)+f(x)=0(xR),即 +b+ +b=012x-a 12-x-a 12x-a恒成立,即 + =-2b,所以 22x-2a2x+1=-2b-a22x+(a2+1)2x-a恒成立,即2x1-a2x 12x-a又 a0,所以1=2ab,-2a= -2b(a2+1), a=1,b=12,故 f(x)= + ,所以 f(1)= .故选 C.12x-112 322.下列四个函数:y=sin|x|,y=cos|x|,y=|tanx|,y=-ln|sinx|,以 为周期,在 上单(0,2)调递减且为偶函数的是( )A.y=sin|x| B.y=cos|x|C.y=|tanx|
6、D.y=-ln|sinx|答案 D A:y=sin|x|在 上单调递增,故 A错误;B:y=cos|x|=cosx 的最小正周期(0,2)T=2,故 B错误;C:y=|tanx|在 上单调递增,故 C错误.故选 D.(0,2)3.已知函数 f(x)= 则下列命题正确的是( )1+x(x 0),1-x(x (x1x 2).若 f(4m-2)-f(2m)-6m2+8m-20,则实数 m的取值范围是( )f(x1)-f(x2)x1-x2 x1+x22A.(1,+) B.(-,1) C.(2,+) D.(-,2)5答案 A 设 g(x)=f(x)- ,又 f(x)+f(-x)=x2,g(x)+g(-x
7、)=f(x)- +f(-x)- =0,故x22 x22 (-x)22g(x)为奇函数.又 = = - 0,故 g(x)在 R上单调递增,g(x1)-g(x2)x1-x2 f(x1)-f(x2)+x22-x212x1-x2 f(x1)-f(x2)x1-x2 x1+x22g(4m-2)-g(2m)=f(4m-2)-f(2m)- (4m-2)2-(2m)2=f(4m-2)-f(2m)-6m2+8m-20g(4m-122)g(2m)4m-22mm1.5.已知 f(x)为偶函数,且 f(x)在0,+)上单调递增,若 f(ax+1)-f(x-2)0 在 x 上12,1恒成立,则实数 a的取值范围是 . 答案 -2,0解析 f(x)是偶函数,且 f(x)在0,+)上单调递增,f(x)在(-,0)上为减函数.f(ax+1)-f(x-2)0f(ax+1)f(x-2)|ax+1|x-2|.当 x 时,x-20 恒成立,满足题意;当 a0时,令ax22x3-ax2f(x)= 0,解得 x ,由 f(x)在2,+)上是增函数 ,可知 2,解得 0a16.2x3-ax2 3a2 3a21综上,实数 a的取值范围是(-,16.