1、2019 年安徽省芜湖市中考数学一模试卷一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分）1已知 5x6y （y 0），那么下列比例式中正确的是（ ）A B C D2若如图所示的两个四边形相似，则 的度数是（ ）A75 B60 C87 D1203若ABCDEF，相似比为 3：2，则对应高的比为（ ）A3：2 B3：5 C9：4 D4：94如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE 的面积为 4，则ABC 的面积为（ ）A8 B12 C14 D165如图，四边形 ABCD 内
2、接于O ，点 I 是ABC 的内心，AIC124，点 E 在 AD 的延长线上，则CDE 的度数为（ ）A56 B62 C68 D786把一个小球以 20 米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h（米）与时间 t（秒），满足关系 h20t5t 2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（ ）A1 秒 B2 秒 C4 秒 D20 秒7联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是（ ）A B C D8如图，一张矩形纸片 ABCD 的长 ABa，宽 BCb将纸片对折，折痕为 EF，所得矩形 AFED与矩形 ABCD 相似，则 a：b（ ）A2：1 B ：1 C3：
3、D3：29欧几里得的原本记载，形如 x2+axb 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB 90，BC ，ACb，再在斜边 AB 上截取 BD 则该方程的一个正根是（ ）AAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长10如图，在等腰ABC 中，ABAC 4cm，B30，点 P 从点 B 出发，以 cm/s 的速度沿BC 方向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BAAC 方向运动到点 C停止，若BPQ 的面积为 y（cm 2），运动时间为 x（ s），则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）A BC D二、填空题（本大题共 4 小
4、题，每小题 5 分，满分 20 分）11抛物线 yx 2 向左平移 1 个单位，所得的新抛物线的解析式为 12如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，以 AB 为半径画弧，交对角线 BD 于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ）13如图所示，点 C 在反比例函数 y （x 0）的图象上，过点 C 的直线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，且 ABBC，已知AOB 的面积为 1，则 k 的值为 14如图所示，已知 ADBC，ABC90，AB8，AD3，BC4，点 P 为 AB 边上一动点，若PAD 与 PBC 相似，则 AP 三、（本大题共 2 小题，每小题 8
5、分，满分 16 分）15解方程：x（x +2）016已知OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示请解答以下问题：（1）按要求作图：先将ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得OA 1B1，再以原点 O 为位似中心，将OA 1B1 在原点异侧按位似比 2：1 进行放大得到OA 2B2；（2）直接写出点 A1 的坐标，点 A2 的坐标四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17某地区 2014 年投入教育经费 2500 万元，2016 年投入教育经费 3025 万元，求 2014 年至 2016年该地区投入教育经费的年平均增长率18为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点
6、 A，在近岸分别取点 B、D、E、C，使点 A、 B、D 在一条直线上，且 ADDE，点 A、C、 E 也在一条直线上，且 DEBC经测量BC24 米，BD12 米，DE40 米，求河的宽度 AB 为多少米？五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19如图，O 中弦 AB 与 CD 交于 M 点（1）求证：DMMCBMMA；（2）若D60，O 的半径为 2，求弦 AC 的长20在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx 24x+2m1 的顶点为 C，图象与 x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B 的左侧）（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大整数时，求 ABC
7、 的面积六、（本题满分 12 分）21在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 1，2，3，4 的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为 y（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数 y 的图象上的频率；（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数 x，y 满足 y 的概率七、（本题满分 12 分）22如图，Rt ABP 的直角顶点 P 在第四象限，顶点 A、B 分别落在反比例函数 y 图象的两支上，且 PBx
8、 轴于点 C，PAy 轴于点 D，AB 分别与 x 轴，y 轴相交于点 F 和 E已知点 B的坐标为（1，3）（1）填空：k ；（2）证明：CDAB；（3）当四边形 ABCD 的面积和PCD 的面积相等时，求点 P 的坐标八、（本题满分 14 分）23如图 1，四边形 ABCD 中，ABBC，AD BC，点 P 为 DC 上一点，且 APAB，分别过点 A和点 C 作直线 BP 的垂线，垂足为点 E 和点 F（1）证明：ABEBCF ；（2）若 ，求 的值；（3）如图 2，若 ABBC，设DAP 的平分线 AG 交直线 BP 于 G当 CF1， 时，求线段 AG 的长2019 年安徽省芜湖市中
9、考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分）1已知 5x6y （y 0），那么下列比例式中正确的是（ ）A B C D【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案【解答】解：A、 ，则 5y6x，故此选项错误；B、 ，则 5x6y，故此选项正确；C、 ，则 5y6x ，故此选项错误；D、 ，则 xy30，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是
10、掌握两内项之积等于两外项之积2若如图所示的两个四边形相似，则 的度数是（ ）A75 B60 C87 D120【分析】根据相似多边形对应角的比相等，就可以求解【解答】解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以360601387587故选 C【点评】主要考查了相似多边形的性质和四边形的内角和是 360 度的实际运用3若ABCDEF，相似比为 3：2，则对应高的比为（ ）A3：2 B3：5 C9：4 D4：9【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案【解答】解：ABCDEF，相似比为 3：2，对应高的比为：3：2故选：A【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题
11、关键4如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE 的面积为 4，则ABC 的面积为（ ）A8 B12 C14 D16【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DEBC，DE BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE BC，ADEABC， ， ，ADE 的面积为 4，ABC 的面积为：16，故选：D【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出ADEABC 是解题关键5如图，四边形 ABCD 内接于O ，点 I 是ABC 的内心，AIC124，点 E 在 AD 的延长
12、线上，则CDE 的度数为（ ）A56 B62 C68 D78【分析】由点 I 是ABC 的内心知BAC2IAC、ACB2ICA，从而求得B180（BAC+ ACB）1802（180AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案【解答】解：点 I 是ABC 的内心，BAC2IAC、ACB 2ICA，AIC124，B180（BAC+ ACB）1802（IAC+ICA）1802（180AIC）68，又四边形 ABCD 内接于O，CDEB68，故选：C【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质6把一个小球以 20 米/秒的速度竖直向上弹出，它
13、在空中的高度 h（米）与时间 t（秒），满足关系 h20t5t 2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（ ）A1 秒 B2 秒 C4 秒 D20 秒【分析】已知函数式为二次函数解析式，最高点即为抛物线顶点，求达到最高点所用时间，即求顶点的横坐标【解答】解：h20t5t 25t 2+20t 中，又50，抛物线开口向下，有最高点，此时，t 2故选：B【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单7联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是（ ）A B C D【分析】先利用列表法展示所以 6 种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占 2 种，然后根据概率
14、定义求解【解答】解：列表如下：共有 6 种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占 2 种，所以小亮恰好站在中间的概率为 ，故选：C【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率8如图，一张矩形纸片 ABCD 的长 ABa，宽 BCb将纸片对折，折痕为 EF，所得矩形 AFED与矩形 ABCD 相似，则 a：b（ ）A2：1 B ：1 C3： D3：2【分析】根据折叠性质得到 AF AB a，再根据相似多边形的性质得到 ，即 ，然后利用比例的性质计算即可【解答】解：矩形纸片对折，折痕为 E
15、F，AF AB a，矩形 AFED 与矩形 ABCD 相似， ，即 ，（ ） 22， 故选：B【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比相似多边形的对应角相等，对应边的比相等9欧几里得的原本记载，形如 x2+axb 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB 90，BC ，ACb，再在斜边 AB 上截取 BD 则该方程的一个正根是（ ）AAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长【分析】表示出 AD 的长，利用勾股定理求出即可【解答】解：欧几里得的原本记载，形如 x2+axb 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB90，BC ，AC b，再在斜边
16、AB 上截取 BD ，设 ADx，根据勾股定理得：（x+ ） 2b 2+（ ） 2，整理得：x 2+axb 2，则该方程的一个正根是 AD 的长，故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键10如图，在等腰ABC 中，ABAC 4cm，B30，点 P 从点 B 出发，以 cm/s 的速度沿BC 方向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BAAC 方向运动到点 C停止，若BPQ 的面积为 y（cm 2），运动时间为 x（ s），则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）A BC D【分析】作 AHBC 于 H，
17、根据等腰三角形的性质得 BHCH，利用B30可计算出 AHAB2，BH AH2 ，则 BC2BH4 ，利用速度公式可得点 P 从 B 点运动到 C 需4s，Q 点运动到 C 需 8s，然后分类讨论：当 0x4 时，作 QDBC 于 D，如图1，BQx，BP x，DQ BQ x，利用三角形面积公式得到 y x2；当 4x 8 时，作 QDBC 于 D，如图 2，CQ8x，BP4 ，DQ CQ （8x），利用三角形面积公式得 y x+8 ，于是可得 0x4 时，函数图象为抛物线的一部分，当 4x8 时，函数图象为线段，则易得答案为 D【解答】解：作 AHBC 于 H，ABAC4cm，BHCH，B3
18、0，AH AB2，BH AH2 ，BC2BH4 ，点 P 运动的速度为 cm/s，Q 点运动的速度为 1cm/s，点 P 从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8s，当 0x4 时，作 QDBC 于 D，如图 1，BQx，BP x，在 Rt BDQ 中，DQ BQ x，y x x x2，当 4x8 时，作 QDBC 于 D，如图 2，CQ8x，BP4在 Rt BDQ 中，DQ CQ （8x），y （8x）4 x+8 ，综上所述，y 故选：D【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到 y 与 x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决
19、问题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11抛物线 yx 2 向左平移 1 个单位，所得的新抛物线的解析式为 y（x+1） 2 【分析】先确定抛物线 yx 2 的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式【解答】解：抛物线 yx 2 的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移 1 个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以新抛物线的解析式为 y（x+1） 2故答案为 y（x +1） 2【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的
20、抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式12如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，以 AB 为半径画弧，交对角线 BD 于点E，则图中阴影部分的面积是 82 （结果保留 ）【分析】根据 S 阴 S ABD S 扇形 BAE 计算即可；【解答】解：S 阴 S ABD S 扇形 BAE 44 82 ，故答案为 82【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积13如图所示，点 C 在反比例函数 y （x 0）的图象上，过点 C 的
21、直线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，且 ABBC，已知AOB 的面积为 1，则 k 的值为 4 【分析】根据题意可以设出点 A 的坐标，从而以得到点 C 和点 B 的坐标，再根据AOB 的面积为 1，即可求得 k 的值【解答】解：设点 A 的坐标为（a，0），过点 C 的直线与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，且 ABBC，AOB 的面积为 1，点 C（a， ），点 B 的坐标为（0， ）， 1，解得，k4，故答案为：4【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结
22、合的思想解答14如图所示，已知 ADBC，ABC90，AB8，AD3，BC4，点 P 为 AB 边上一动点，若PAD 与 PBC 相似，则 AP 或 2 或 6 【分析】由 ADBC，ABC90，易得PADPBC90，又由AB8，AD 3，BC4，设 AP 的长为 x，则 BP 长为 8 x，然后分别从APDBPC 与APDBCP 去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案【解答】解：ABBC，B90ADBC，A180B90，PADPBC90AB8，AD 3，BC4，设 AP 的长为 x，则 BP 长为 8x若 AB 边上存在 P 点，使PAD 与PBC 相似，那么分两种情况：若 A
23、PDBPC，则 AP：BPAD ：BC，即 x：（8x）3：4，解得 x ；若 APDBCP，则 AP：BC AD：BP，即 x：43：（8x），解得 x2 或 x6所以 AP 或 AP2 或 AP6故答案是： 或 2 或 6【点评】此题考查了相似三角形的性质注意利用分类讨论思想求解是关键三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）15解方程：x（x +2）0【分析】原方程转化为 x0 或 x+20，然后解一次方程即可【解答】解：x0 或 x+20，x 10，x 22【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为 0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程
24、转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解16已知OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示请解答以下问题：（1）按要求作图：先将ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得OA 1B1，再以原点 O 为位似中心，将OA 1B1 在原点异侧按位似比 2：1 进行放大得到OA 2B2；（2）直接写出点 A1 的坐标，点 A2 的坐标【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案【解答】解：（1）如图所示：OA 1B1，OA 2B2，即为所求；（2）点 A1 的坐标为：（1，3），点 A2 的坐标为：（2，6）【点评】此题主要考查
25、了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17某地区 2014 年投入教育经费 2500 万元，2016 年投入教育经费 3025 万元，求 2014 年至 2016年该地区投入教育经费的年平均增长率【分析】一般用增长后的量增长前的量（1+增长率），2015 年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在 2015 年的基础上再增长 x，就是 2016 年的教育经费数额，即可列出方程求解【解答】解：设增长率为 x，根据题意 2015 年为 2500（1+x）万元，2016 年为 2500（1+x） 2 万元则 2500（1+x）
26、 23025，解得 x0.110%，或 x2.1（不合题意舍去）答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10%【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量（1+年平均增长率） 年数 增长后的量18为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点 A，在近岸分别取点 B、D、E、C，使点 A、 B、D 在一条直线上，且 ADDE，点 A、C、 E 也在一条直线上，且 DEBC经测量BC24 米，BD12 米，DE40 米，求河的宽度 AB 为多少米？【分析】根据题意得出ABECDE，进而利用相似三角形的性质得出答案【解答】解：设宽度 AB 为 x 米，DEBC，ABCADE， ，又BC
27、24，BD12，DE 40 代入得 ，解得 x18，答：河的宽度为 18 米【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出ABECDE 是解答此题的关键五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19如图，O 中弦 AB 与 CD 交于 M 点（1）求证：DMMCBMMA；（2）若D60，O 的半径为 2，求弦 AC 的长【分析】（1）根据圆周角定理得到D B，证明DMABMC，根据相似三角形的性质列出比例式，即可证明结论；（2）连接 OA，OC，过 O 作 OHAC 于 H 点，根据圆周角定理、垂径定理计算即可【解答】（1）证明： ，DB，又DMA BMC，D
28、MABMC， ，DM MCBMMA；（2）连接 OA，OC，过 O 作 OHAC 于 H 点，D60，AOC120，OAH 30，AH CH， O 半径为 2，AHAC2AH，AC2 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键20在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx 24x+2m1 的顶点为 C，图象与 x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B 的左侧）（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大整数时，求 ABC 的面积【分析】（1）根据抛物线与 x 轴有两个交点，得到0，由此求得 m 的取值范围（
29、2）利用（1）中 m 的取值范围确定 m2，然后根据抛物线解析式求得点 A、B 的坐标，利用三角形的面积公式解答即可【解答】解：（1）抛物线 yx 24x +2m1 与 x 轴有两个交点，令 y0x 24x+2m10与 x 轴有两个交点，方程有两个不等的实数根0即（4） 24（2m 1）0，m2.5（2）m2.5，且 m 取最大整数，m2当 m2 时，抛物线 yx 24x+2m1x 24x+3（x2） 21C 坐标为（2，1）令 y0，得 x24x +30，解得 x11，x 23抛物线与 x 轴两个交点的坐标为 A（1，0），B（3，0），ABC 的面积为 1【点评】考查了抛物线与 x 轴的交
30、点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点，解题时，注意二次函数与一元二次方程间的转化关系六、（本题满分 12 分）21在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 1，2，3，4 的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为 y（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数 y 的图象上的频率；（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数 x，y 满足 y 的概率【分析】（1）列表得出所有等可能
31、的情况数即可；（2）找出点（x，y ）落在反比例函数 y 的图象上的情况数，即可求出所求的概率；（3）找出所确定的数 x，y 满足 y 的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：（1）列表如下：1 2 3 41 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）所有等可能的结果有 16 种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（2，4）；（3，1）；（3，2）；（3，3）；（3，4）；（4，1）；（
32、4，2）；（4，3）；（4，4）；（2）其中点（x，y ）落在反比例函数 y 的图象上的情况有：（2，3）；（3，2）共 2 种，则 P（点（x， y）落在反比例函数 y 的图象上） ；（3）所确定的数 x，y 满足 y 的情况有：（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（4，1）共 8 种，则 P（所确定的数 x，y 满足 y ） 【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比七、（本题满分 12 分）22如图，Rt ABP 的直角顶点 P 在第四象限，顶点 A、B 分别落在反比例
33、函数 y 图象的两支上，且 PBx 轴于点 C，PAy 轴于点 D，AB 分别与 x 轴，y 轴相交于点 F 和 E已知点 B的坐标为（1，3）（1）填空：k 3 ；（2）证明：CDAB；（3）当四边形 ABCD 的面积和PCD 的面积相等时，求点 P 的坐标【分析】（1）由点 B 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出 k 值；（2）设 A 点坐标为（a， ），则 D 点坐标为（0， ），P 点坐标为（1， ），C 点坐标为（1，0），进而可得出 PB，PC，PA，PD 的长度，由四条线段的长度可得出 ，结合PP 可得出PDCPAB，由相似三角形的性质可得出CDPA，再利用“同位角相
34、等，两直线平行”可证出 CDAB；（3）由四边形 ABCD 的面积和PCD 的面积相等可得出 SPAB 2S PCD ，利用三角形的面积公式可得出关于 a 的方程，解之取其负值，再将其代入 P 点的坐标中即可求出结论【解答】（1）解：B 点（1，3）在反比例函数 y 的图象，k133故答案为：3（2）证明：反比例函数解析式为 ，设 A 点坐标为（a， ）PBx 轴于点 C，PAy 轴于点 D，D 点坐标为（0， ），P 点坐标为（1， ），C 点坐标为（1，0），PB3 ，PC ，PA 1a，PD1， ， ， 又PP，PDCPAB，CDPA，CDAB （3）解：四边形 ABCD 的面积和PCD
35、 的面积相等，S PAB 2S PCD ， （3 ）（1a）2 1（ ），整理得：（a1） 22，解得：a 11 ，a 21+ （舍去），P 点坐标为（1，3 3）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 k 值；（2）利用相似三角形的判定定理找出PDCPAB；（3）由三角形的面积公式，找出关于 a 的方程八、（本题满分 14 分）23如图 1，四边形 ABCD 中，ABBC，AD BC，点 P 为 DC 上一点，且 APAB，分别过点 A和点 C 作直线 BP
36、的垂线，垂足为点 E 和点 F（1）证明：ABEBCF ；（2）若 ，求 的值；（3）如图 2，若 ABBC，设DAP 的平分线 AG 交直线 BP 于 G当 CF1， 时，求线段 AG 的长【分析】（1）由余角的性质可得ABEBCF ，即可证 ABEBCF ；（2）由相似三角形的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得 BP2BE，即可求的值；（3）由题意可证DPH CPB，可得 ，可求 AE ，由等腰三角形的性质可得 AE 平分BAP，可证EAG BAH45，可得AEG 是等腰直角三角形，即可求AG 的长【解答】证明：（1）ABBC，ABE +FBC 90又CFBF，BCF+ FBC90ABE BCF又AEB BFC90，ABE BCF（2）ABEBCF， 又APAB，AEBF ，BP2BE （3）如图，延长 AD 与 BG 的延长线交于 H 点ADBC，DPH CPB ABBC，由（ 1）可知ABE BCFCFBEEP1，BP2，代入上式可得 HP ，HE1+ ABE HAE， ， ，AEAPAB，AEBF ，AE 平分BAP又AG 平分DAP，EAG BAH 45，AEG 是等腰直角三角形AG AE3【点评】本题是相似综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键