1、2019 年江苏省盐城市东台市第四联盟中考数学一模试卷一.选择题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13 的倒数是（ ）A3 B C D32下列计算中，正确的是（ ）A（2a） 32a 3 Ba 3+a2a 5 Ca 8a4a 2 D（a 2） 3a 63如图所示的几何体的主视图是（ ）A B C D4估算 + 的运算结果应在（ ）A1 到 2 之间 B2 到 3 之间 C3 到 4 之间 D4 到 5 之间5如图，O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若A30，APD70，则B 等于（ ）A30 B35 C40 D506如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点
2、A，B，C 的距离分别为 3，4，5，则ABC 的面积为（ ）A B C D二.填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）7若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 8亚洲陆地面积约为 4400 万平方千米，将 4400 万用科学记数法表示为 9用半径为 8 的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于 10某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽，下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵树与成活棵树：移栽棵树 100 1000 10000 20000成活棵树 89 910 9008 18004依此估计这种幼树成活的概率是 （结果用小数表示，精确到 0.1）
3、11如图，已知 AEBD ，1130，228，则C 的度数为 12关于 x 的一元二次方程 x22mx+（m1） 20 有两个不相等的实数根则 m 的取值范围是 13已知 a0，那么| 2a|可化简为 14等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则它的顶角为 15如图，线段 ACn+1（其中 n 为正整数），点 B 在线段 AC 上，在线段 AC 同侧作正方形ABMN 及正方形 BCEF，连接 AM、ME、EA 得到AME 当 AB1 时，AME 的面积记为S1；当 AB2 时，AME 的面积记为 S2；当 AB3 时，AME 的面积记为 S3；当 ABn 时，AME 的面积记为 Sn当
4、n2 时，S nS n1 16如图，在ABC 中，AC3，BC 4，若 AC，BC 边上的中线 BE，AD 垂直相交于 O 点，则AB 三解答题（共 11 小题，共 102 分）17计算：（2） 2 + cos60（ 2） 0；18先化简，再求值：（a ） ，其中 a519解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来20某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图，的统计图，已知“查资料”的人数是 40 人请你根据以上信息解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是 度；（2）补全条形统计图；（3
5、）该校共有学生 1200 人，估计每周使用手机时间在 2 小时以上（不含 2 小时）的人数21有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？22如图，一次函数 y1x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y2 图象的一个交点为 M（2，m ）（1）求反比例函数的解析式；（2）当 y2y 1 时，求 x 的取值范围；（3）求点 B 到直线 OM 的距离23从一幢建筑大楼的两个观察点 A，B 观察地面的花坛（点 C），测得俯角分别为 15和 60，如图，直线 AB 与地
6、面垂直，AB50 米，试求出点 B 到点 C 的距离（结果保留根号）24如图，在矩形 ABCD 中对角线 AC、BD 相交于点 F，延长 BC 到点 E，使得四边形 ACED 是一个平行四边形，平行四边形对角线 AE 交 BD、CD 分别为点 G 和点 H（1）证明：DG 2FGBG；（2）若 AB5，BC6，则线段 GH 的长度25如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在O 上，且点 C 是 的中点，过点 C 作 AD 的垂线 EF交直线 AD 于点 E（1）求证：EF 是O 的切线；（2）连接 BC，若 AB5，BC3，求线段 AE 的长26（1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形 A
7、BC，其中 ABAC ，在ABC 的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取 BD，CE，BC 的中点M，N ，G，连接 GM，GN 小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是 ；位置关系是 （2）类比思考：如图 ，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图 ，小明在（ 2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE ，其它条件不变，试判断GMN 的形状，并给与证明27如图，抛物线 yx 2+bx+c 经过
8、点 A，B，C，已知点 A（1，0），点 C（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 D，当BDC 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）设 E 是抛物线上的一点，在 x 轴上是否存在点 F，使得 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 E，F 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年江苏省盐城市东台市第四联盟中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13 的倒数是（ ）A3 B C D3【分析】利用倒数的定义，直接得出结果【解答】解：3（ ）1，3 的倒数是
9、故选：C【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握需要注意的是负数的倒数还是负数倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数2下列计算中，正确的是（ ）A（2a） 32a 3 Ba 3+a2a 5 Ca 8a4a 2 D（a 2） 3a 6【分析】根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可【解答】解：A、（2a） 38a 3，故本选项错误；B、a 3+a2 不能合并，故本选项错误；C、a 8a4a 4，故本选项错误；D、（a 2） 3a 6，故本选项正确；故选：D【点评】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键3如图
10、所示的几何体的主视图是（ ）A B C D【分析】找到从几何体的正面看所得到的视图即可【解答】解：几何体的主视图是 ，故选：B【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的方向和位置4估算 + 的运算结果应在（ ）A1 到 2 之间 B2 到 3 之间 C3 到 4 之间 D4 到 5 之间【分析】首先按照运算法则运算，再利用夹逼法估算即可【解答】解：原式2 ，2 3，4 5，故选：D【点评】本题主要考查了无理数的估算，首先按照运算法则运算是解答此题的关键5如图，O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若A30，APD70，则B 等于（ ）A30 B35 C40 D50【分析】欲求B
11、 的度数，需求出同弧所对的圆周角C 的度数；APC 中，已知了A 及外角APD 的度数，即可由三角形的外角性质求出C 的度数，由此得解【解答】解：APD 是APC 的外角，APDC+A；A30，APD 70，CAPD A40；BC40；故选：C【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质熟练掌握定理及性质是解题的关键6如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5，则ABC 的面积为（ ）A B C D【分析】将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得BEA，根据旋转的性质得BEBP4，AEPC5，PBE60，则BPE 为等边三角形，
12、得到PEPB4，BPE 60，在AEP 中，AE5，延长 BP，作 AFBP 于点FAP3 ，PE4，根据勾股定理的逆定理可得到APE 为直角三角形，且APE90，即可得到APB 的度数，在直角APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在直角ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积【解答】解：ABC 为等边三角形，BABC，可将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得BEA，连 EP，且延长 BP，作 AFBP 于点 F如图，BEBP4，AEPC5，PBE60，BPE 为等边三角形，PEPB4，BPE 60，在AEP 中，AE5，AP3，PE4，AE 2PE
13、 2+PA2，APE 为直角三角形，且APE90，APB 90+60 150APF 30，在直角APF 中，AF AP ，PF AP 在直角ABF 中，AB 2BF 2+AF2（4+ ） 2+（ ） 225+12 则ABC 的面积是 AB2 （25+12 ） 故选：A【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等二.填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）7若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即
14、可【解答】解：由题意得，2x0，解得，x2，故答案为：x2【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键8亚洲陆地面积约为 4400 万平方千米，将 4400 万用科学记数法表示为 4.410 7 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：4400 万440000004.410 7，故答案是：4.410 7【点评】此题考查科学记数法的表示方
15、法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值9用半径为 8 的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于 4 【分析】设圆锥的底面半径为 r根据圆锥的侧面积半圆的面积，构建方程即可解决问题【解答】解：设圆锥的底面半径为 r由题意： 2r8 82，r4【点评】本题考查圆锥的计算，扇形的面积公式，圆的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型10某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽，下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵树与成活棵树：移栽棵树 100 1000 1000
16、0 20000成活棵树 89 910 9008 18004依此估计这种幼树成活的概率是 0.9 （结果用小数表示，精确到 0.1）【分析】首先计算出总的成活树的数量，再计算出总数，然后利用成活的树的数量总数即可【解答】解：（89+910+9008+18004）（100+1000+10000+20000）28011311000.9，依此估计这种幼树成活的概率是 0.9，故答案为：0.9【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比11如图，已知 AEBD ，1130，228，则C 的度数为 22 【分析】由 AEBD ，可求得C
17、BD 的度数，又由CBD2（对顶角相等），求得CDB 的度数，再利用三角形的内角和等于 180，即可求得答案【解答】解：AEBD ，1130，228，CBD1130，CDB228，C180CBDCDB 1801302822故答案为：22【点评】此题考查了平行线的性质，对顶角相等以及三角形内角和定理解题的关键是注意数形结合思想的应用12关于 x 的一元二次方程 x22mx+（m1） 20 有两个不相等的实数根则 m 的取值范围是 m 【分析】根据判别式的意义得到4m 24（m 1） 2 0，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得4m 24（m 1） 20，解得 m 故答案为 m 【点评】本题考查
18、了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根13已知 a0，那么| 2a|可化简为 3a 【分析】根据二次根式的性质和绝对值的定义解答【解答】解：a0，| 2a|a2a| | 3a|3a【点评】本题主要考查了根据二次根式的意义化简二次根式 规律总结：当 a0 时， a；当 a0 时， a解题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号14等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则它的顶角为 60或 120 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有
19、三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是 120；当高在三角形外部时，顶角是 60故答案为：60或 120【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出 120一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形因此此题属于易错题15如图，线段 ACn+1（其中 n 为正整数），点 B 在线段 AC 上，在线段 AC 同侧作正方形ABMN 及正方形 BCEF，连接 AM、ME、EA 得到AME 当 AB1 时，A
20、ME 的面积记为S1；当 AB2 时，AME 的面积记为 S2；当 AB3 时，AME 的面积记为 S3；当 ABn 时，AME 的面积记为 Sn当 n2 时，S nS n1 【分析】方法一：根据连接 BE，则 BEAM ，利用AME 的面积AMB 的面积即可得出Sn n2，S n1 （n1） 2 n2n+ ，即可得出答案方法二：根据题意得出图象，根据当 ABn 时，BC1，得出 SnS 矩形 ACQNS ACE S MQES ANM ，得出 S 与 n 的关系，进而得出当 ABn1 时，BC2，S n1 n2n+ ，即可得出 SnS n1 的值【解答】解：方法一：连接 BE在线段 AC 同侧
21、作正方形 ABMN 及正方形 BCEF，BEAM，AME 与 AMB 同底等高，AME 的面积 AMB 的面积，当 ABn 时，AME 的面积记为 Sn n2，Sn1 （n1） 2 n2n+ ，当 n2 时，S nS n1 方法二：如图所示：延长 CE 与 NM，交于点 Q，线段 ACn+1（其中 n 为正整数），当 ABn 时，BC1，当AME 的面积记为：SnS 矩形 ACQNS ACE S MQE S ANM ，n（n+1） 1（n+1） 1（n1） nn， n2，当 ABn1 时，BC2，此时AME 的面积记为：Sn1 S 矩形 ACQNS ACE S MQE S ANM ，（n+1）
22、（n1） 2（n+1 ） 2（n3） （n1）（n1）， n2n+ ，当 n2 时，S nS n1 n2（ n2n+ ）n 故答案为： 【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出 S与 n 的关系是解题关键16如图，在ABC 中，AC3，BC 4，若 AC，BC 边上的中线 BE，AD 垂直相交于 O 点，则AB 【分析】利用三角形中线定义得到 BD2，AE ，且可判定点 O 为ABC 的重心，所以AO2OD ，OB 2OE ，利用勾股定理得到 BO2+OD24，OE 2+AO2 ，等量代换得到BO2+ AO24， BO2+AO2 ，把两式相加得到 BO2
23、+AO25，然后再利用勾股定理可计算出 AB 的长【解答】解：AD、BE 为 AC，BC 边上的中线，BD BC2，AE AC ，点 O 为ABC 的重心，AO2OD ， OB2OE ，BEAD ，BO 2+OD2BD 24，OE 2+AO2AE 2 ，BO 2+ AO24， BO2+AO2 ， BO2+ AO2 ，BO 2+AO25，AB 故答案为 【点评】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1 也考查了勾股定理三解答题（共 11 小题，共 102 分）17计算：（2） 2 + cos60（ 2） 0；【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊
24、角的三角函数值分别代入得出答案【解答】解：原式 + 1 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18先化简，再求值：（a ） ，其中 a5【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值【解答】解：（a ） ，当 a5 时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，能根据分式混合运算的法则把原式化为最简形式是解答此题的关键19解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来【分析】分别解两个不等式得到 x1 和 x3，然后根据同大取大确定不等式组的解集【解答】解： ，解得 x1，解得 x3，所以不等式组的解集为
25、 x3，用数轴表示为：【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到20某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图，的统计图，已知“查资料”的人数是 40 人请你根据以上信息解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是 126 度；（2）补全条形统计图；（3）该校共有学生 1200 人，估计每周使用手机时间在 2 小时以上（
26、不含 2 小时）的人数【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以 360 即可得到结果；（2）求出 3 小时以上的人数，补全条形统计图即可；（3）由每周使用手机时间在 2 小时以上（不含 2 小时）的百分比乘以 1200 即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：1（40%+18%+7% ）35% ，则“玩游戏”对应的圆心角度数是 36035%126；故答案为：126；（2）根据题意得：4040%100（人），3 小时以上的人数为 100（2+16+18+32）32（人），补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：120064%768（人），则每周使用手机时间在 2
27、小时以上（不含 2 小时）的人数约有 768 人【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键21有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：列表得：锁 1 锁 2钥匙 1 （锁 1，钥匙 1） （锁 2，钥匙 1）钥匙 2 （锁 1，钥匙 2） （锁 2，钥匙 2）钥匙 3 （锁 1，钥匙 3） （锁 2，钥匙 2）
28、由表可知，所有等可能的情况有 6 种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的 2种，则 P（一次打开锁） 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22如图，一次函数 y1x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y2 图象的一个交点为 M（2，m ）（1）求反比例函数的解析式；（2）当 y2y 1 时，求 x 的取值范围；（3）求点 B 到直线 OM 的距离【分析】（1）先把 M（2， m）代入 yx 1 求出 m 得到 M（2，1），然后把 M 点坐标代入 y 中可求出 k 的值，从而得到反比例函数解析式；（2）通过
29、解方程组 得反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为（1，2），然后写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；（3）设点 B 到直线 OM 的距离为 h，然后利用面积法得到 h1，于是解方程即可，【解答】解：（1）把 M（ 2，m ）代入 yx 1 得 m211，则 M（2，1），把 M（2，1）代入 y 得 k212，所以反比例函数解析式为 y ；（2）解方程组 得 或 ，则反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为（1，2），当2x0 或 x1 时，y 2 y1；（3）OM ，S OMB 121，设点 B 到直线 OM 的距离为 h， h1，解得 h ，即点 B 到直线 OM
30、 的距离为 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了待定系数法求函数解析式23从一幢建筑大楼的两个观察点 A，B 观察地面的花坛（点 C），测得俯角分别为 15和 60，如图，直线 AB 与地面垂直，AB50 米，试求出点 B 到点 C 的距离（结果保留根号）【分析】作 ADBC 于点 D，根据正切的定义求出 BD，根据正弦的定义求出 AD，根据等腰直角三角形的性质求出 CD，计算即可【解答】解：作 ADBC 于点 D，MBC60，ABC30，ABAN，BAN
31、90，BAC105，则ACB45，在 Rt ADB 中，AB 50，则 AD25，BD25 ，在 Rt ADC 中， AD25，CD25，则 BC25+25 答：观察点 B 到花坛 C 的距离为（ 25+25 ）米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键24如图，在矩形 ABCD 中对角线 AC、BD 相交于点 F，延长 BC 到点 E，使得四边形 ACED 是一个平行四边形，平行四边形对角线 AE 交 BD、CD 分别为点 G 和点 H（1）证明：DG 2FGBG；（2）若 AB5，BC6，则线段 GH 的长度【分析】（1）由
32、已知可证得ADGEBG，AGFEGD，根据相似三角形的对应边成比例即可得到 DG2FGBG；（2）由已知可得到 DH，AH 的长，又因为ADG EBG，从而求得 AG 的长，则根据GHAH AG 就得到了线段 GH 的长度【解答】解：（1）证明：ABCD 是矩形，且 ADBC，ADG EBG 又AGFDGE ， DG 2FG BG（2）ACED 为平行四边形，AE，CD 相交点 H，DH DC AB 在直角三角形 ADH 中，AH 2AD 2+DH2AH 又ADG BGE， AG GE AE 13 GHAH AG 【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定，平行四边形的性质及矩形的性质等知识点
33、的掌握情况25如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在O 上，且点 C 是 的中点，过点 C 作 AD 的垂线 EF交直线 AD 于点 E（1）求证：EF 是O 的切线；（2）连接 BC，若 AB5，BC3，求线段 AE 的长【分析】（1）连接 OC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定得到 OCAE，得到 OCEF，根据切线的判定定理证明；（2）根据勾股定理求出 AC，证明 AECACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解答】（1）证明：连接 OC，OAOC，OCABAC，点 C 是 的中点，EACBAC，EACOCA，OCAE ，AEEF，OCEF ，即 EF 是 O 的切线；（2
34、）解：AB 为O 的直径，BCA90，AC 4，EACBAC，AEC ACB 90，AECACB， ，AE 【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键26（1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中 ABAC ，在ABC 的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取 BD，CE，BC 的中点M，N ，G，连接 GM，GN 小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是 MGNG ；位置关系是 MG NG （2）类比思考：如图 ，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形
35、 ABC 换为一般的锐角三角形，其中ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图 ，小明在（ 2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE ，其它条件不变，试判断GMN 的形状，并给与证明【分析】（1）利用 SAS 判断出ACDAEB，得出 CDBE，ADCABE，进而判断出BDC+DBH90，即：BHD90，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出 MGNG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论【解答】解：（1）连接 BE，CD 相交于 H，ABD 和A
36、CE 都是等腰直角三角形，ABAD ，AC AE，BADCAE 90CADBAE，ACDAEB（SAS），CDBE ，ADCABE，BDC+DBHBDC+ABD +ABEBDC+ABD+ADCADB+ABD90，BHD 90 ，CDBE ，点 M，G 分别是 BD，BC 的中点，MG CD，同理：NG BE，MG NG，MGNG，故答案为：MGNG，MGNG；（2）连接 CD，BE 相交于点 H，同（1）的方法得，MGNG ，MG NG；（3）连接 EB，DC，延长线相交于 H，同（1）的方法得，MGNG ，同（1）的方法得，ABEADC，AEB ACD，CEH+ECHAEHAEC+180 A
37、CD ACEACD45+180 ACD4590，DHE 90 ，同（1）的方法得，MGNG ，MGN 是等腰直角三角形【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键27如图，抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A，B，C，已知点 A（1，0），点 C（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 D，当BDC 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）设 E 是抛物线上的一点，在 x 轴上是否存在点 F，使得 A，
38、C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 E，F 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A，B，C，已知点 A（1，0），点 C（0，3），可以求得抛物线的表达式；（2）根据函数的解析式可以求得点 B 的坐标，从而可以求得直线 BC 的解析式，设出点 P、D的坐标从而可以表示出BDC 的面积，从而可以得到点 P 的坐标；（3）根据题意可知 AC 可能为平行四边形的边，也可能为对角线，从而可以分为两种情况，从而可以分别求得点 E、F 的坐标【解答】解：（1）点 A（1，0），点 C（0，3）在抛物线 yx 2+bx+c 上，解得 b2，c3
39、即抛物线的表达式是 yx 2+2x+3；（2）令x 2+2x+30，解得 x11，x 23，点 A（1，0），点 B 的坐标为（3，0）设过点 B、C 的直线的解析式为： ykx+ b，解得 k1，b3过点 B、C 的直线的解析式为： yx+3设点 P 的坐标为（a，a+3），则点 D 的坐标为（a，a 2+2a+3），PD（a 2+2a+3）（a+3）a 2+3aS BDC S PDC +SPDB 当 a 时，BDC 的面积最大，点 P 的坐标为（ ）（3）存在当 AC 是平行四边形的边时，则点 E 的纵坐标为 3 或3，E 是抛物线上的一点，将 y3 代入 yx 2+2x+3，得 x10（
40、舍去），x 22 ；将 y3 代入 yx 2+2x+3，得 ， E 1（2，3），E 2（ ，3），E 3（1 ，3），则点 F1（1，0），F 2（2+ ，0），F 3（2 ，0），当 AC 为平行四边形的对角线时，则点 E 的纵坐标为 3，E 是抛物线上的一点，将 y3 代入 yx 2+2x+3，得 x10（舍去），x 22 ；即点 E4（2，3）则 F4（3，0）由上可得，点 E 的坐标为：E 1（2，3），E 2（ ， 3），E 3（1 ，3），E 4（2，3），与之对应的点 F 的坐标是：F 1（1，0），F 2（2+ ，0），F 3（2 ，0），F 4（3，0）【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是根据题意找出其中的相关联的量，利用分类讨论的数学思想解答各个问题