1、专题 26 圆的解题方法一 【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.二方法规律总结1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给
2、出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中 x2 和 y2 的系数相等并且没有 xy 项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为 yy 0k(x x 0)，即 kxy kx0y 00.由圆心
3、到直线的距离等于半径，可求得 k，切线方程即可求出.(2)代数方法：设切线方程为 yy 0k(xx 0)，即 ykx kx0y 0，代入圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 0，求得 k，切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得).6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2 .r2 d2(2)代数方法：运用韦达定理.弦长|AB| .（xA xB）2 4xAxB（1 k2）7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上 ，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问
4、题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题.三【典例分析及 训练】例 1圆 ：与 轴正半轴交点为 ，圆 上的点 ， 分别位于第一、二象限，并且，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意知， ，设 的坐标为 ,则 , , ,因为 ，所以 ，即 ，又 ，联立解得 或 ，因为 在第二象限，故只有 满足，即 .故答案为 B.练习 1已知圆 上的动点 和定点 ，则 的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】如图，取点 ，连接 ， ， ，因为 ,当且仅当三点共线时等号成立,的最小值为 的长，故选 D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化
5、与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将 转化为 .练习 2已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】依题意，圆心为 ，设 点的坐标为 ，由两点间距离公式得，设 ，令 解得 ，由于 ，可知当时， 递增， 时， ， 递减，故当 时取得极大值也是最大值为 ，故，故 时， 且 ，所以 ，函数单调递减.
6、当 时， ，当 时， ，即 单调递增，且 ，即 ， 单调递增，而 ，故当 时，函数单调递增，故函数在 处取得极小值也是最小值为 ，故 的最小值为，此时 .故选 A.练习 3直线 l 是圆 C1：（x+1 ） 2+y2=1 与圆 C2：（x+4） 2+y2=4 的公切线，并且 l 分别与 x 轴正半轴，y轴正半轴相交于 A，B 两点，则AOB 的面积为A B C D【答案】A【解析】如图，设 OA=a，OB=b，由三角形相似可得： ，得 a=2再由三角形相似可得： ，解得 b= AOB 的面积为 故选 A（二）圆的一般方程例 2若由方程 x2 y20 和 x2( y b)22 所组成的方程组至多
7、有两组不同的实数解，则实数 b 的取值范围是( )A b2 或 b2 B b2 或 b2 C 2 b2 D2 b2【答案】B练习 1若圆 的圆心在第一象限，则直线 一定不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】因为圆 的圆心坐标为 ，由圆心在第一象限可得 ，所以直线 的斜率 ， 轴上的截距为 ，所以直线不过第一象限. 练习 2若方程 a2x2+（a+2）y 2+2ax+a=0 表示圆，则 a 的值为A a=1 或 a=2 Ba=2 或 a=1 Ca=1 Da=2【答案】C【解析】若方程 a2x2+（a+2）y 2+2ax+a=0 表示圆，则 ，解得 a=1故答
8、案为：C（三）点与圆的位置关系例 3例 3过点 作直线 的垂线，垂足为 M，已知点 ，则当 变化时， 的取值范围是 A B C D【答案】B练习 1.已知点 ， ， 是圆 内一点，直线 ， ， 围成的四边形的面积为 ，则下列说法正确的是（ ）A B C D【答案】A【解析】由已知 ，四条直线围成的四边形面积 ，故选 A.练习 2设点 M（3，4）在圆 外，若圆 O 上存在点 N，使得 ，则实数 r 的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】如图，要使圆 O：x 2+y2r 2（r0）上存在点 N，使得OMN ，则OMN 的最大值大于或等于 时一定存在点 N，使得 OMN ，而当 MN
9、与圆相切时OMN 取得最大值，此时 OM5，ON ，又点 M（3，4）在圆x2+y2r 2（r0）外，实数 r 的取值范围是 故选：C（四）圆的几何性质例 4如图，在平面直角坐标系内，已知点 ， ，圆 C 的方程为 ，点P 为圆上的动点求过点 A 的圆 C 的切线方程求 的最大值及此时对应的点 P 的坐标【答案】 （1） 或 ；（2）最大值为 ， .【解析】 当 k 存在时，设过点 A 切线的方程为 ，圆心坐标为 ，半径 ， ，解得 ，所求的切线方程为 ，当 k 不存在时方程 也满足；综上所述，所求的直线方程为： 或 ；设点 ，则由两点之间的距离公式知 ，要 取得最大值只要使 最大即可，又 P
10、 为圆上的点， ，此时直线 OC： ，由 ，解得 舍去 或 ， 点 P 的坐标为练习 1已知圆心在 x 轴正半轴上的圆 C 与直线 相切，与 y 轴交于 M， N 两点，且 求圆 C 的标准方程； 过点 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 D， E，若 时，求直线 l 的方程； 已知 Q 是圆 C 上任意一点，问：在 x 轴上是否存在两定点 A， B，使得 ？若存在，求出 A， B 两点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （I） ；（II） 或 ；（III）存在 ， 或 ，满 足题意.【解析】 由题意知圆心 ，且 ，由 知 中， ， ，则 ，于是可设圆 C 的方程为 又点 C 到直线 的距
11、离为 ，所以 或 舍 ，故圆 C 的方程为 ， 设直线 l 的方程为 即 ，则由题意可知，圆心 C 到直线 l 的距离 ，故 ，解得 ，又当 时满足题意，因此所求的直线方程为 或 ， 方法一：假设在 x 轴上存在两定点 ， ，设 是圆 C 上任意一点，则 即，则 ，令 ，解得 或 ，因此存在 ， ， 或 ， 满足题意，方法二：设 是圆 C 上任意一点，由 得 ，化简可得 ，对照圆 C 的标准方程 即 ，可得 ，解得解得 或 ，因此存在 ， 或 ， 满足题意练习 2设点 P 是函数 图象上任意一点，点 Q 坐标为 ，当 取得最小值时圆 与圆 相外切，则 的最大值为A B C D【答案】C【解析】
12、根据题意，函数 y ，即（ x1） 2+y24， （ y0） ，对应的曲线为圆心在 C（1，0） ，半径为 2 的圆的下半部分，又由点 Q（2 a， a3） ，则 Q 在直线 x2 y60 上，当| PQ|取得最小值时， PQ 与直线 x2 y60 垂直，此时有 2，解可得 a1，圆 C1：（ x m） 2+（ y+2） 24 与圆 C2：（ x+n） 2+（ y+2） 29 相外切，则有 3+25，变形可得：（ m+n） 225，则 mn ，故选： C练习 3已知 ， 是单位向量， 0若向量 满足| |1，则| |的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】| | |1，且 ，可设 ，
13、， ， ，即（x1） 2+（y1） 21 的最大值 故选：C练习 4设 P，Q 分别是圆 和椭圆 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是( )A B C D【答案】C【解析】圆 的圆心为 M(0,6)，半径为 ，设 ，则 ， 即 ，当 时， ，故 的最大值为 .故选 C.（五）轨迹问题例 5.已知线段 AB 的端点 B 的坐标为（3,0） ，端点 A 在圆 上运动；（1）求线段 AB 中点 M 的轨迹方程；（2）过点 C（1,1）的直线 m 与 M 的轨迹交于 G、H 两点，当 GOH （O 为坐标原点）的面积最大时，求直线 m 的方程并求出GOH 面积的最大值.（3）若点 C（1,1） ，且
14、 P 在 M 轨迹上运动，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） ；（3） 【解析】 （1）解：设点由中点坐标公式有 又点 在圆 上，将 点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为： （2）令 ，则当 ，即 时 面积最大为 2 又直线 过点 ， ， 到直线 的距离为 ，当直线 斜率不存在时 ， 到 的距离为1 不满足，令故直线 的方程为： （3）设点 ，由于点则 ，令有 ，由于点 在圆 上运动，故满足圆的方程.当直线 与圆相切时， 取得最大或最小故有所以练习 1已知线段 AB 的端点 B 的坐标为（3,0） ，端点 A 在圆 上运动；（1）求线段 AB 中点 M 的轨迹方程；（2）过点 C（1,1
15、）的直线 m 与 M 的轨迹交于 G、H 两点，求以弦 GH 为直径的圆的面积最小值及此时直线m 的方程.学-科网（3）若点 C（1,1） ，且 P 在 M 轨迹上运动，求 的取值范围.（O 为坐标原点）【答案】 （1） ；（2）圆的面积最小值 （3）【解析】 （1）解：设点由中点坐标公式有 又点 在圆 上，将 点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为： （2）由题意知，原心到直线的距离 当 即 当 时，弦长 最短，此时圆的面积最小，圆的半径 ，面积 又 ，所以直线 斜率 ，又过点故直线 的方程为： （3）设点 ，由于点法一：所以 ，令 有 ，由于点 在圆 上运动，故满足圆的方程.当直 线 与圆相切
16、时， 取得最大或最小故有所以 法二： 从而练习 2四棱锥 P-ABCD 中， AD面 PAB， BC 面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD=4， BC=8， AB=6， APD= CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是（ ）A圆的一部分 B椭圆的一部分 C 球的一部分 D抛物线的一部分【答案】A练习 3已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 的直线 与过 的直线 交于点 ，设 点的坐标，若 ，则下列结论中不正确的是（ ）A B C D【答案】A【解析】由椭圆 的左右焦点分别为 F1（1，0） ，F 2（1，0） ，过 F1 的直线 l1 与过 F2 的直线 l2 交于点 P，且 l1l
17、 2，P 在线段 F1F2 为直径的圆上，故 x02+y021， 1，故 A 错误，B 正确；3x02+2y022x 02+2y022（x 02+y02）21，故 C 正确；由圆 x2+y21 在 P（x 0，y 0）的切线方程为：x 0x +y0y1，如图，坐标原点 O（0，0）与点（ ）在直线 x0x+y0y1 的同侧，且 x00+y0001， ，故 D 正确 不正确的选项是 A故选：A练习 4已知圆 C： ( 为锐角 ) ,直线 l：y=kx,则A对任意实数 k 与 ,直线 l 和圆 C 相切 B对任意实数 k 与 ,直线 l 和圆 C 有公共点C对任意实数 k 与 ,直线 l 和圆 C
18、 相交 D对任意实数 k 与 ,直线 l 和圆 C 相离【答案】B【解析】由题意，圆心坐标为： ，所以圆心的轨迹方程为： ，所以圆心与原点的距离为 1，所以圆必过原点.由于直线过原点，所以直线与圆必有交点.故选 B.（六）直线与圆的位置关系例 6.已知抛物线 的顶点在坐标原点，其焦点 在 轴正半轴上， 为直线 上一点，圆 与 轴相切（ 为圆心） ，且 ， 关于点 对称.（1）求圆 和抛物线 的标准方程；（2）过 的直线 交圆 于 ， 两点，交抛物线 于 ， 两点，求证： .【答案】 （1） 的标准方程为 . 的标准方程为 （2）见证明【解析】 （1）设抛物线 的标准方程为 ，则焦点 的坐标为
19、.已知 在直线 上，故可设因为 ， 关于 对称，所以 ，解得所以 的标准方程为 .因为 与 轴相切，故半径 ，所以 的标准方程为 .（2）由（1）知，直线 的斜率存在，设为 ，且方程为则 到直线 的距离为 ，所以 ，由 消去 并整理得： .设 ， ，则 ， ， .所以 因为 ， ， ，所以所以 ，即 .练习 1已知以点 为圆心的圆经过点 和 ，线段 的垂直平分线交圆 于点 和 ，且（1）求直线 的方程；（2）求圆 的方程【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】 （1） 直线 的斜率 ， 的中点坐标为直线 的方程为（2）设圆心 ，则由点 在 上，得 又 直径 ， ， 由解得 或 ， 圆心 或
20、圆 的方程为 或练习 2已知直线 ，曲线 ，若直线 与曲线 相交于 、 两点，则 的取值范围是_； 的最小值是_.【答案】 【解析】直线 l：kxy k0 过定点（1， ） ，曲线 C 为半圆：（x2） 2+y24（y0）如图：由图可知：k OP ，k PE ， ；要使弦长 AB 最小，只需 CPAB，此时|AB| 2 2 ，故答案为： ， ； 练习 3阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定点 A、B 的距离之比为 （0
21、， 1） ，那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆下面，我们来研究与此相关的一个问题已知圆：x 2+y21 和点 ，点 B（1 ，1） ，M 为圆 O 上动点，则 2|MA|+|MB|的最小值为_【答案】 【解析】如图所示，取点 K（2，0） ，连接 OM、MKOM1，OA ，OK2， ，MOKAOM，MOKAOM， ，MK2MA，|MB|+2|MA|MB|+|MK|，在MBK 中，|MB|+|MK|BK|，|MB|+2|MA|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，B（1，1） ，K（2，0） ，|BK| .故答案为： 练习 4已知直线 l：mxy1，若直线 l 与直线 x+m（m1 ）y 2
22、垂直，则 m 的值为_，动直线l：mxy1 被圆 C：x 22x+ y280 截得的最短弦长为_【答案】0 或 2 （七）圆与圆的位置关系例 1在平面直角坐标系 中，已知点 和直线 ： ，设圆 的半径为 1，圆心在直线 上.（）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线.（1）求圆 的方程；（2）求切线的方程；（）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围.【答案】 （）(1) 或 （2） 或 （）【解析】 （）(1)由 得圆心 为 ，圆 的半径为 1，圆 的方程为： .（2）由圆 方程可知过 的切线斜率一定存在，设所求圆 的切线方程为 ，即 ， ，解之得： 或 ， 所求圆 的切线方程
23、为： 或 .即 或 .（）圆 的圆心在直线： 上，设圆心 为 ，则圆 的方程为： ，又 ，设 为 ，则整理得： ，设为圆 ,点 应该既在圆 上又在圆 上圆 和圆 有公共点， ,即： ，解之得：即 的取值范围为： .练习 1在平面直角坐标系 中，已知 的顶点坐标分别是 ， ， ，记 外接圆为圆 .(1)求圆 的方程；(2)在圆 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的个数；若不存在，说明理由【答案】 （1） （2）存在，且个数为 2【解析】(1)设 外接圆 的方程为 ,将 代入上述方程得：解得则圆 的方程为(2)设点 的坐标为 ，因为 ，所以化简得： .即考查直线 与圆 的位置关系点 到直线 的
24、距离为所以直线 与圆 相交，故满足条件的点 有两个。.练习 2已知圆 和(1)求证：圆 和圆 相交；(2)求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长。【答案】 （1）见解析；（2）【解析】(1)圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径两圆圆心距 所以 ，圆 和 相交；(2)圆 和圆 的方程相减，得 ，所以两圆的公共弦所在直线的方程为 ，圆心 到直线 的距离为：故公共弦长为练习 3已知圆 ，圆 （1）试判断圆 与圆 是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；（2）若直线 与圆 交于 A，B 两点，且 ，求实数 k 的值【答案】 （1） ； （2） 或 。.【解析】 （1
25、）， 两圆相交，两圆做差得即公共弦所在直线为：（2 ）由题可知，设将 代入得 整理得，由韦达定理得化简得 ，解得 或 。【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及圆和圆的位置关系及其判定，属中档题一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。练习 4.如图，已知圆 和圆（1）求两圆所有公切线的斜率（2）设 为平面上一点，满足：若存在点 的无穷多条直线 与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长是直线 被圆 截得的弦长的 2 倍，试求所有满足条件的点 P 的坐标【答案】(1) 或 或 ，(2) 【解析】 （1）由题意得公切线斜率存在，设公切线方程为所以所以 或 ， 或 ，解得 或 或 ，【点睛】定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 ，然后利用条件建立 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关