1、专题 22 内切球与外接球的解题策略一 【学习目标】1掌握球的表面积体积公式2掌握恢复长方体法求球的表面积及体积3掌握多面体与球问题4掌握外接球与内切球的解法二 【典例分析及训练】（一）球相关问题例 1 已知 A，B，C 是球面上三点，且 ， ， ，球心 O 到平面 ABC 的距离等于该球半径的 ，则此球的表面积为 A B C D【答案】D【解析】求出三角形 ABC 的外心，利用球心到ABC 所在平面的距离为球半径的 ，求出球的半径，即可求出球的表面积【详解】由题意 AB6，BC8，AC 10，6 2+8210 2，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是 AC 的中点，球心到截面的距离就是球心
2、与三角形外心的距离，设球的半径为 R，球心到ABC 所在平面的距离为球半径的 ，所以 R2（ R） 2+52，解得 R2 ，球的表面积为 4R2 故选：D【点睛】本题考查球的表面积的计算， 考查球的截面的性质，属于基础题.练习 1.已知球 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） 的外接球， ，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】先利用等边三角形中心的性质，结合勾股定理计算得球的半径，过 的最大截面是经过球心的截面，可由球的半径计算得出.过 最小的截面是和 垂直的截面，先计算得 的长度，利用勾股定理计算得这
3、个截面圆的半径，由此计算得最小截面的面积.【详解】画出图象如下图所示，其中 是球心， 是等边三角形 的中心.根据等边三角形中心的性质有， ，设球的半径为 ，在三角形 中，由勾股定理得，即 ，解得 ，故最大的截面面积为 .在三角形 中，由余弦定理得 .在三角形 中，,过 且垂直 的截面圆的半径 ，故最小的截面面积为.综上所述，本小题选 B.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的问题，考查过一点球的截面面积的最大值和最小值问题，属于中档题.练习 2.一平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4 cm，则该球的体积是( )A cm3 B cm3 C cm3 D cm3 【答案】
4、C【解析】设球心为 ， 截面圆心为 ，连结 ，由球的截面圆性质和勾股定理，结合题中数据算出球半径 ，再利用球的表面积和体积公式即可算出答案. 如图，设四个球的球心分别为 A、B、C 、D，则 AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设 AB 中点为 E、C D中点为 F，连接 EF.在ABF 中求得 BF= ，在EBF 中求得 EF= .由于对称性可得第五个球的球心 O 在 EF 上，连接 OA、 OD 设第五个球的半径为 r，则OA=r+3，OD=r+2 ，于是 OE= ，OF= ，OE+OF=EF， 平方整理再平方得 ，解得 或（舍掉） ，故答案为 .点评：本题通过分析球心的位置，
5、根据它们构成的几何体特征，转化成平面几何中三角形边角关系，利用方程思想得解（三）多面体的最值与球问题例 3.点 A，B，C，D 在同一个球的球面上， ， ，若四面体 ABCD 体积的最大值为 ，则这个球的表面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点 D 的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积。【详解】根据题意，画出示意图如下图所示因为 ，所以三角形 ABC 为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边 AC 的中点处，设该小圆的圆心为 Q因为三角形 ABC 的面积是定值，所以当四面体 A
6、BCD 体积取得最大值时，高取得最大值即当 DQ平面 ABC 时体积最大所以 所以 设球心为 O，球的半径为 R，则即解方程得 所以球的表面积为 所以选 D【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题。练习 1.三棱锥 PABC中， ,PC互相垂直， ， M是线段 BC上一动点，若直线AM与平面 所成角的正切的最大值是 62，则三棱锥 PA的外接球的表面积是（ ） A 2 B 4 C 8 D 1【答案】B【解析】 是线段 上一动点，连接 PM， ,ABPC互相垂直， AMP就是直线 与平面PC所成角，当 P最短时，即 时直线 与平面 所成角
7、的正切的最大此时 62AM， 63，在直角 中，三棱锥 PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为 ，三棱锥 的外接球的半径为 1R，三棱锥 的外接球的表面积为 24选 B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几 何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 ,PABC构成的三条线段 ,PABC两两互相垂直，且 ，一般把有关元素“补形” 成为一个球内接长方体，利用 求解（四）多面体放入球中求球的表面积和体积例 4.侧棱和底面垂直的三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个
8、顶点都在球 O 的球面上，若ABC 是边长为 的等边三角形，C 1C= ，则球 O 的表面积为A B C D【答案】D【解析】根据组合体的结构特征，现求得 三棱柱的底面正三角形的外接圆的半径 ，在利用勾股定理求得外接球的半径 ，利用球的表面积公式，即可求解.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.练习 1.某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】A【解析】分析：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 ，外接球球 心 在过 中点 且垂直于平面 的直线 上，可知 是直线 与面 的交点，也是直线 与直线 的交点没有此可求三棱锥 外接球的 半径，得到棱锥的外接球的表面积详解： 由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 ，外接球球心 在过 中点 且垂直于平面 的直线 上，又点 到 距离相等，点 又在线段 的垂直平分面 上，故 是直线 与面 的交点，可知 是直线 与直线 的交点（ 分别是左侧正方体对棱的中点）