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高考文科数学命题热点名师解密专题:内切球与外接球的解题策略

1、专题 22 内切球与外接球的解题策略一 【学习目标】1掌握球的表面积体积公式2掌握恢复长方体法求球的表面积及体积3掌握多面体与球问题4掌握外接球与内切球的解法二 【典例分析及训练】(一)球相关问题例 1 已知 A,B,C 是球面上三点,且 , , ,球心 O 到平面 ABC 的距离等于该球半径的 ,则此球的表面积为 A B C D【答案】D【解析】求出三角形 ABC 的外心,利用球心到ABC 所在平面的距离为球半径的 ,求出球的半径,即可求出球的表面积【详解】由题意 AB6,BC8,AC 10,6 2+8210 2,可知三角形是直角三角形,三角形的外心是 AC 的中点,球心到截面的距离就是球心

2、与三角形外心的距离,设球的半径为 R,球心到ABC 所在平面的距离为球半径的 ,所以 R2( R) 2+52,解得 R2 ,球的表面积为 4R2 故选:D【点睛】本题考查球的表面积的计算, 考查球的截面的性质,属于基础题.练习 1.已知球 是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心) 的外接球, ,点 在线段 上,且 ,过点 作球 的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】先利用等边三角形中心的性质,结合勾股定理计算得球的半径,过 的最大截面是经过球心的截面,可由球的半径计算得出.过 最小的截面是和 垂直的截面,先计算得 的长度,利用勾股定理计算得这

3、个截面圆的半径,由此计算得最小截面的面积.【详解】画出图象如下图所示,其中 是球心, 是等边三角形 的中心.根据等边三角形中心的性质有, ,设球的半径为 ,在三角形 中,由勾股定理得,即 ,解得 ,故最大的截面面积为 .在三角形 中,由余弦定理得 .在三角形 中,,过 且垂直 的截面圆的半径 ,故最小的截面面积为.综上所述,本小题选 B.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的问题,考查过一点球的截面面积的最大值和最小值问题,属于中档题.练习 2.一平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面,球心到这个圆面的距离是 4 cm,则该球的体积是( )A cm3 B cm3 C cm3 D cm3 【答案】

4、C【解析】设球心为 , 截面圆心为 ,连结 ,由球的截面圆性质和勾股定理,结合题中数据算出球半径 ,再利用球的表面积和体积公式即可算出答案. 如图,设四个球的球心分别为 A、B、C 、D,则 AD=AC=BD=BC=5,AB=6,CD=4.设 AB 中点为 E、C D中点为 F,连接 EF.在ABF 中求得 BF= ,在EBF 中求得 EF= .由于对称性可得第五个球的球心 O 在 EF 上,连接 OA、 OD 设第五个球的半径为 r,则OA=r+3,OD=r+2 ,于是 OE= ,OF= ,OE+OF=EF, 平方整理再平方得 ,解得 或(舍掉) ,故答案为 .点评:本题通过分析球心的位置,

5、根据它们构成的几何体特征,转化成平面几何中三角形边角关系,利用方程思想得解(三)多面体的最值与球问题例 3.点 A,B,C,D 在同一个球的球面上, , ,若四面体 ABCD 体积的最大值为 ,则这个球的表面积为( )A B C D【答案】D【解析】根据题意,画出示意图,结合三角形面积及四面积体积的最值,判断顶点 D 的位置;然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径,进而求得球的面积。【详解】根据题意,画出示意图如下图所示因为 ,所以三角形 ABC 为直角三角形,面积为 ,其所在圆面的小圆圆心在斜边 AC 的中点处,设该小圆的圆心为 Q因为三角形 ABC 的面积是定值,所以当四面体 A

6、BCD 体积取得最大值时,高取得最大值即当 DQ平面 ABC 时体积最大所以 所以 设球心为 O,球的半径为 R,则即解方程得 所以球的表面积为 所以选 D【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法,主要根据题意,正确画出图形并判断点的位置,属于难题。练习 1.三棱锥 PABC中, ,PC互相垂直, , M是线段 BC上一动点,若直线AM与平面 所成角的正切的最大值是 62,则三棱锥 PA的外接球的表面积是( ) A 2 B 4 C 8 D 1【答案】B【解析】 是线段 上一动点,连接 PM, ,ABPC互相垂直, AMP就是直线 与平面PC所成角,当 P最短时,即 时直线 与平面 所成角

7、的正切的最大此时 62AM, 63,在直角 中,三棱锥 PABC扩充为长方体,则长方体的对角线长为 ,三棱锥 的外接球的半径为 1R,三棱锥 的外接球的表面积为 24选 B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几 何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 ,PABC构成的三条线段 ,PABC两两互相垂直,且 ,一般把有关元素“补形” 成为一个球内接长方体,利用 求解(四)多面体放入球中求球的表面积和体积例 4.侧棱和底面垂直的三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个

8、顶点都在球 O 的球面上,若ABC 是边长为 的等边三角形,C 1C= ,则球 O 的表面积为A B C D【答案】D【解析】根据组合体的结构特征,现求得 三棱柱的底面正三角形的外接圆的半径 ,在利用勾股定理求得外接球的半径 ,利用球的表面积公式,即可求解.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题,以及三棱锥的体积的求法,解答时要认真审题,注意球的性质的合理运用,求解球的组合体问题常用方法有(1)三条棱两两互相垂直时,可恢复为长方体,利用长方体的体对角线为外接球的直径,求出球的半径;(2)利用球的截面的性质,根据勾股定理列出方程求解球的半径.练习 1.某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为( )A B C D【答案】A【解析】分析:由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 ,外接球球 心 在过 中点 且垂直于平面 的直线 上,可知 是直线 与面 的交点,也是直线 与直线 的交点没有此可求三棱锥 外接球的 半径,得到棱锥的外接球的表面积详解: 由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 ,外接球球心 在过 中点 且垂直于平面 的直线 上,又点 到 距离相等,点 又在线段 的垂直平分面 上,故 是直线 与面 的交点,可知 是直线 与直线 的交点( 分别是左侧正方体对棱的中点)