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高考文科数学命题热点名师解密专题:不等式的性质的解题技巧

1、专题 32 不等式的性质的解题技巧一 【学习目标】1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用二 【知识要点】1不等式的定义用不等号“,”将两个数学表达式连接起来,所得的式子叫做不等式2实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0a b;ab0ab;abb b b,bc a c;(3)可加性:ab a+cb+c;ab,cd a+cb+d;(4)可乘性:ab,c0 acbc;a b,c b0,cd0acbd;(5)倒数法则:a b,ab0 ;1(6)乘方性质:a b0 (n2,nN *);(7)开方性质:a b0 (n2,nN *);na(8)有关分数的性质

2、:若 ab0,m 0,则真分数的性质: (bm0);bab ma m假分数的性质: ;aba mb m0)aba mb m4基本不等式(1)a2b 22ab;变式: ab;当且仅当 ab 时等号成立;a2 b22(2)如果 a0,b0,则 ;变式:ab ,当且仅当 ab 时,等号成立,其中 叫a b2 ab (a b2 )2 a b2做正数 a,b 的算术平均数, 叫做正数 a,b 的几何平均数ab5(1)若 a0,b0,且 abP(定值),则由 ab 可知,当 ab 时,ab 有最大值 ;(a b2 )2 P24 P24(2)若 a0,b0 且 abS(定值),则由 ab2 2 可知,当 a

3、b 时,ab 有最小值 2 .ab S S三典例分析(一)由已知条件判断不等式例 1已知条件甲: ,条件乙: 且 ,则甲是乙的( ) (2)设数列 的前 n 项和为 ,证明 【答案】 (1)见解析; (2)见解析.【解析】 (1)由题意得, ,即 , ,由 可得 ,由 ,得 ,故 .(2)由题意得 ,所以 ,由 和 得, ,所以 ,因此 ,由得 ,所以练习 2 选修 4-5:不等式选讲已知 ,ab为任意实数.(1)求证: ;(2)求函数 的最小值.【答案】 (1)见解析(2)1【解析】 (1) 4ab,因为 0,所以 .(2) .即 max1f.点睛:本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是

4、失分的主要原因;对于需求最值的情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:|a|b|ab|a| b|,通过适当的添、拆项来放缩求解(六)利用不等式求范围例 6已知函数 f( x)= x2-ax, h( x)=-3 x+2,其中 a1设不等式 f (1)+ f(-1)2| x|的解集为A()求集合 A;()若对任意 x1 A,存在 x2 A,满足 2f( x1)= h( x2) ,求 a 的取值范围【答案】 () A=-1,1 () (1 , 【解析】 () f(1 )+ f(-1)2| x|可化为| x|1,解得-1 x1, A=-1,1() h( x)=-3 x+2 在-1,1上是递减函数,所以

5、h( x)的值域为-1 ,5f( x)= x2-ax 的对称轴为 x= , ( a1)当 1 即 a2 时, f( x)在 -1,1上递减,值域为1- a,1+ a,2f( x)的值域为2-2 a,2+2 a,依题意2-2 a,2+2 a-1,5 , ,解得 a 矛盾,舍去当 1,即 1 a2 时, f( x) min=f( )=- , f( x) max=max1-a,1+ a依题意 解得 1 a故所求 a 的取值范围是(1, 练习 1已知 ,且 4f(1)1,1f(2)5, 求 f(3)的取值范围.【答案】【解析】由题意得解得所以 ,因为 ,所以 ;因为 ,所以 。两式相加得 ,故 的取值

6、范围是 . 练习 2设不等式 的解集为 .()求集合 ;()若 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.【答案】() ;() .【解析】 ()令 ,由 得 ,解得 .()由不等式 ,的 ,令 ,要使 ,则 ,整理得 , ,解得 .实数 的取值范围 点睛:(1)与一 元二次不等式有关的恒成立问题,可 通过二次函数求最值,也可通过分离参数,再求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数练习 3已知函数 的定义域为 D,其中 a为常数;(1)若 RD,且 fx是奇函数,求 a的值;(2)若 a, 1,0,函数 fx的最小值是 g,求

7、 的最大值;(3)若 0,在 ,上存在 n个点 i ,满足 10x, na,使得 ,求实数 a的取值范围;【答案】(1) 0 (2) (3) 4a【解析】 (1)因为函数为奇函数,根据奇函数定义可得可得 对任意 xR恒成立,变形可得 0ax对任意 xR恒成立,可求 0a;(2)将函数 的解析式讨论去掉绝对值号,。两段函数的对称轴都为 2ax,因为 。讨论 2a与-1 的大小,可得两段二次函数在区间 1,0上的单调性,求得最小值。得最小值 ,求两段的取值范围,取较大的为最大值。 (3)由(2)可知 fx在 02a, 上单调递增,在 2a, 上单调递减,所以 ,由绝对值不等式可得,所以,整理得28

8、a,解得 4a为所求. 试题解析:解:(1) fx是奇函数, 对任意 xR恒成立, ,即 0a对任意 xR恒成立, 0a;(2), 1a, , , 10x,(3) 0a,且 fx在 02a, 上单调递增, 在 2a, 上单调递减,而要使满足条件的点存在,必须且只需 ,即28a,解得 4a为所求.【点睛】1、函数为奇函数,求解析式中字母的值:方法一,奇函数定义 ;方法二,定义域中特殊的自变量 0,x , ;方法三,如定义域中含有 0,则 0f。2、解析式含绝对值的函数,求最值时,应讨论去掉绝对值号,转化为分段函数求最值。3、二次函数求最值,当对称轴不确定时,应讨论 2ba与定义域端点的大小,判断函数的单调性求最值。