1、专题 32 不等式的性质的解题技巧一 【学习目标】1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用二 【知识要点】1不等式的定义用不等号“，”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式2实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0a b；ab0ab；abb b b，bc a c；(3)可加性：ab a+cb+c；ab，cd a+cb+d；(4)可乘性：ab，c0 acbc；a b，c b0，cd0acbd；(5)倒数法则：a b，ab0 ；1(6)乘方性质：a b0 (n2，nN *)；(7)开方性质：a b0 (n2，nN *)；na(8)有关分数的性质
2、：若 ab0，m 0，则真分数的性质： (bm0)；bab ma m假分数的性质： ；aba mb m0)aba mb m4基本不等式(1)a2b 22ab；变式： ab；当且仅当 ab 时等号成立；a2 b22(2)如果 a0，b0，则 ；变式：ab ，当且仅当 ab 时，等号成立，其中 叫a b2 ab (a b2 )2 a b2做正数 a，b 的算术平均数， 叫做正数 a，b 的几何平均数ab5(1)若 a0，b0，且 abP(定值)，则由 ab 可知，当 ab 时，ab 有最大值 ；(a b2 )2 P24 P24(2)若 a0，b0 且 abS(定值)，则由 ab2 2 可知，当 a
3、b 时，ab 有最小值 2 .ab S S三典例分析（一）由已知条件判断不等式例 1已知条件甲： ，条件乙： 且 ，则甲是乙的（ ） （2）设数列 的前 n 项和为 ，证明 【答案】 （1）见解析； （2）见解析.【解析】 （1）由题意得， ，即 ， ，由 可得 ，由 ，得 ，故 .（2）由题意得 ，所以 ，由 和 得， ，所以 ，因此 ，由得 ，所以练习 2 选修 4-5：不等式选讲已知 ,ab为任意实数.（1）求证： ；（2）求函数 的最小值.【答案】 （1）见解析（2）1【解析】 （1） 4ab，因为 0，所以 .（2） .即 max1f.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是
4、失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a| b|，通过适当的添、拆项来放缩求解（六）利用不等式求范围例 6已知函数 f（ x）= x2-ax， h（ x）=-3 x+2，其中 a1设不等式 f （1）+ f（-1）2| x|的解集为A（）求集合 A；（）若对任意 x1 A，存在 x2 A，满足 2f（ x1）= h（ x2） ，求 a 的取值范围【答案】 （） A=-1，1 （） （1 ， 【解析】 （） f（1 ）+ f（-1）2| x|可化为| x|1，解得-1 x1， A=-1，1（） h（ x）=-3 x+2 在-1，1上是递减函数，所以
5、h（ x）的值域为-1 ，5f（ x）= x2-ax 的对称轴为 x= ， （ a1）当 1 即 a2 时， f（ x）在 -1，1上递减，值域为1- a，1+ a，2f（ x）的值域为2-2 a，2+2 a，依题意2-2 a，2+2 a-1，5 ， ，解得 a 矛盾，舍去当 1，即 1 a2 时， f（ x） min=f（ ）=- ， f（ x） max=max1-a，1+ a依题意 解得 1 a故所求 a 的取值范围是（1， 练习 1已知 ,且 4f(1)1,1f(2)5, 求 f(3)的取值范围.【答案】【解析】由题意得解得所以 ,因为 ，所以 ；因为 ，所以 。两式相加得 ，故 的取值
6、范围是 . 练习 2设不等式 的解集为 .（）求集合 ；（）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】() ；() .【解析】 （）令 ，由 得 ，解得 .（）由不等式 ，的 ，令 ，要使 ，则 ，整理得 ， ，解得 .实数 的取值范围 点睛：（1）与一 元二次不等式有关的恒成立问题，可 通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数练习 3已知函数 的定义域为 D，其中 a为常数；（1）若 RD，且 fx是奇函数，求 a的值；（2）若 a， 1,0，函数 fx的最小值是 g，求
7、 的最大值；（3）若 0，在 ,上存在 n个点 i ，满足 10x， na，使得 ，求实数 a的取值范围；【答案】(1) 0 (2) (3) 4a【解析】 （1）因为函数为奇函数，根据奇函数定义可得可得 对任意 xR恒成立，变形可得 0ax对任意 xR恒成立，可求 0a；(2)将函数 的解析式讨论去掉绝对值号，。两段函数的对称轴都为 2ax，因为 。讨论 2a与-1 的大小，可得两段二次函数在区间 1,0上的单调性，求得最小值。得最小值 ，求两段的取值范围，取较大的为最大值。 （3）由（2）可知 fx在 02a， 上单调递增，在 2a， 上单调递减，所以 ，由绝对值不等式可得，所以，整理得28
8、a，解得 4a为所求. 试题解析：解：(1) fx是奇函数， 对任意 xR恒成立， ，即 0a对任意 xR恒成立， 0a；(2)， 1a， ， ， 10x，(3) 0a，且 fx在 02a， 上单调递增， 在 2a， 上单调递减，而要使满足条件的点存在，必须且只需 ，即28a，解得 4a为所求.【点睛】1、函数为奇函数，求解析式中字母的值：方法一，奇函数定义 ；方法二，定义域中特殊的自变量 0,x ， ；方法三，如定义域中含有 0，则 0f。2、解析式含绝对值的函数，求最值时，应讨论去掉绝对值号，转化为分段函数求最值。3、二次函数求最值，当对称轴不确定时，应讨论 2ba与定义域端点的大小，判断函数的单调性求最值。