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高考文科数学命题热点名师解密专题:复数的解题策略(含答案)

1、专题 31 复数的解题策略一 【学习目标】1理解复数的有关概念,掌握复数相等的充要条件,并会应用2了解复数的代数形式的表示方法,能进行复数的代数形式的四则运算3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义,会简单应用二知识点与方法总结1复数的有关概念(1)复数的概念形如 abi(a,bR)的数叫做复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部,若 b0,则 abi 为虚数,若a=0,则 abi 为纯虚数,i 为虚数单位(2)复数相等:复数 abi c di a =c ,b=d (a,b,c,dR)(3)共轭复数:abi 与 cdi 共轭a =c ,b=-d (a,b,c,dR)(4)复数的模

2、向量 的模 r 叫做复数 zabi(a,bR)的模,记作|z|或|abi|,即|z| abi| OZ 2复数的四则运算设 z1abi,z 2c di(a,b,c,dR),则(1)加法:z 1z 2(abi) (cdi)(ac)( bd)i;(2)减法:z 1z 2(abi) (cdi)(ac)( bd)i;(3)乘法:z 1z2(abi)(c di)(acbd)( adbc )i;(4)除法: z1z2 a bic di (a bi)(c di)(c di)(c di) i(cdi0)(ac bd) (bc ad)ic2 d2 ac bdc2 d2 bc adc2 d23两条性质(1)i4n1

3、,i 4n 1i,i 4n2 1,i 4n3 i ,i ni n1 i n2 i n3 0(其中 nN *);(2)(1i)22i, i, i.1 i1 i 1 i1 i4.方法规律总结(1).设 zabi(a,bR),利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.(2).实数的共轭复数是它本身,两个纯虚数的积是实数.(3).复数问题几何化,利用复数、复数的模、复数运算的几何意义,转化条件和结论,有效利用数和形的结合,取得事半功倍的效果.三典例分析(一)复数的概念例 1若复数 ( 为虚数单位)在复平面内对应的点在虚轴上,则实数 ( )A B2 C D【答案】D【解析】复数在复平面内

4、对应的点在虚轴上,则 ,故选练习 1若复数 z(36i) (1+9i) ,则( )A复数 z 的实部为 21B复数 z 的虚部为 33C复数 z 的共轭复数为 5721iD在复平面内,复数 z 所对应的点位于第二象限【答案】 C练习 2若复数 ( 为虚数单位) ,则复数 在坐 标平面内对应点的坐标为( )A B C D【答案】B【解析】 z ,则复数 z 在复平面内对应点的坐标是:(1,-1) 故选: B(二)复数的几何意义例 2已知复数 在复平面内对应的点分别为 ,则 ( )A B C D【答案】D【解析】复数 在复平面内对应的点分别为(1,1) , (0, 1) , 1+ i, i 故选:

5、 D练习 1复数 在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】因为 所以复数 z 在复平面所对应的点是(1,3)练习 2设复数 满足 ,其中 为虚数单位,则复数 对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】由(1+i) 2z2+i,得 2iz2+i, ,复数 z 对应的点的坐标为( ,1) ,位于第四象限故选:D练习 3已知 ,且 ,则实数 的值为( )A 0 B1 C D【答案】C【解析】 , 3,得 ,则 ,a= ,故选: C(三)复数的运算法则例 3计算 (i 为虚数单位) ,结果为( )A B C D【答

6、案】A【解析】 =(11+2i) =-20-15i故选:A.练习 1复数 (i 为虚数单位 )在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】复数 .在复平面内对应的点为(-1,2) 位于第二象限.故选 B.练习 2已知复数 是纯虚数,则 ( )A B C D【答案】A【解析】依题意 ,由于 为纯虚数,故 ,解得 ,故选 A. 练习 3定义 ,若 展开式中 一次项的系数为 ,则 等于( 为虚数单位) ( )A B C1 D-1【答案】B(四)复数的模及几何意义例 4若复数 , ,其中 是虚数单位,则 的最大值为( )A B C D【答案】C【解析】由

7、复数的几何意义可得,复数 对应的点为 ,复数 对应的点为,所以,其中 ,故选 C练习 1已知复数 ,则 A B C1 D【答案】B【解析】 ,则 ,故选: B学 -科网练习 2已知复数 z1,z 2 在复平面内对应的点分别为 A( 2,1),B(a,3)(1)若| z1 z2| ,求 a 的值;(2)复数 z z1z2对应的点在第一、三象限的角平分线上,求 a 的值【答案】 (1)a3 或 a1。 (2)a1。【解析】(1)由复数的几何意义可知,z 12i,z 2a3i,|z 1z 2|a22i| ,a3 或 a1. (2)zz 1z2( 2i)(a3i) (2a3)( a6)i ,依题意可知

8、点(2a3,a 6)在直线 yx 上,a62a3,解得 a1.练习 3已知复数 z满足|z|= ,z2的虚部为-2,且 z在复平面内对应的点在第二象限 .(1)求复数 z;(2)若复数 满足|-1| ,求 在复平面内对应的点的集合构成的图形的面积.【答案】 (1) ;(2) 【解析】(1) 设 z=x+yi(x,y R),则 z2=x2-y2+2xyi,由|z|= ,z2的虚部为-2,且 z 在复平面内对应的点在第二象限,得 解得z=-1+i.(2)由(1)知,z=-1+i, = = = =- + i, = = ,复数 满足|-1| .由复数的几何意义,得 在复平面内对应的点的集合构成的图形是

9、以(1,0)为圆心 , 为半径的圆面,其面积为 = .(五)共轭复数例 5若复数 ,则 的共轭复数是( )A B C D【答案】C【解析】则 的共轭复数是-1+i,故选:C练习 1设复数 ( 是虚数单位) ,则 ( )A B C D【答案】B 【解析】 ,故选 B.练习 2下面是关于复数 的四个命题:; ; 的虚部为 2; 的共轭复数为 .其中真命题为( )A B C D【答案】A练习 3已知下列 4 个命题: (2)若复数 是方程 的一个根,求实数 , 的值.【答案】 (1) ;(2)4,10练习 2已知 1i 是实系数方程 x2axb0 的一个根(1)求 a,b 的值;(2)试判断 1i

10、是否是方程的根【答案】 (1)a,b 的值分别为2,2;(2)1i 是方程的一个根【解析】(1)1i 是方程 x2ax b0 的根,(1i) 2a(1i)b0,即 (ab)( a2)i0, a,b 的值分别为2,2. (2)由(1)知,实系数方程为 x22x20,把 1i 代入方 程,左边(1i) 2 2(1i)2 2i22i20,显然方程成立,1i 也是方程的一个根练习 3对于 n 个复数 z1,z 2,z n,如果存在 n 个不全为零的实数 k1,k 2,k n,使得k1z1k 2z2k nzn0,就称 z1,z 2,z n 线性相关若要说明复数 z112i,z 21i,z 32 线性相关,则可取k 1,k 2,k 3_ _( 只要写出满足条件的一组值即可)【答案】 (或2,4,3等)【解析】由 k1z1k 2z2k 3z30,得 k1(12i )k 2(1i)k 3(2)0,即(k 1 k22k 3)(2k 1k 2)i0, k 1k 2k 3 12 ,故答案为 或2,4, 3等