1、专题 05 幂指对函数性质活用一命题陷阱及易错点分析指数函数与对数函数是高中数学两个重要的基本函数，初学者往往不能深刻理解指数函数及对数函数的有关概念、图象、性质及应用.关于指数函数与对数函数的试题在命制时，主要有概念类、分类讨论、转化不等价、隐含条件、迷惑性等几类陷阱.其中：1.概念类陷阱，包括指数的运算性质找不到化简方向、指数函数的底数讨论，指数函数对数函数的定义中对底数的限制及对数对真数的限制； （1）指数幂的运算.注意几个运算公式的使用.（2）指数函数底数讨论. 当 时函数是减函数，当 时函数是增函数.xya011a（3）指数函数定义.函数必须严格具备 形式的函数是指数函数.（4）对数
2、的底数和真数,它们都必须大于 0，底数还要不等于 1.2.隐含条件陷阱，对含有 的式子，隐含着 .0xa3. 迷惑性陷阱，含有逻辑联结词.把任意和存在转化为求函数的最值问题或方程的有解问题.4.分类讨论陷阱，含参数对数函数的定义域值域为全体实数问题.在处理式要对参数进行讨论要做到不重不漏.5. 等价转化陷阱，指数函数与对数函数互为反函数问题，转化为数形结合问题.6.定义域为 R 与值域为 R 及特定定义域陷阱7.幂指对函数中的倒序求和二 【学习目标】1理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算2掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用3掌握以对数函数为载体的复
3、合函数的有关性质4了解指数函数 ya x与对数函数 ylog ax 互为反函数(a0 且 a1)的关系三 【知识要点】1对数的定义如果 axN(a0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作_，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数2几种常见的对数对数形式 特 点 记法一般对数 底数为 a(a0 且 a1) logaN常用对数 底数为 10 lg N自然对数 底数为 e ln N3.对数的性质(a0，且 a1，N 0) _；log aaN_； 换底公式：_；log ab ，推广 logablogbclogcdlog ad.1logba4对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，
4、N0，那么log a(MN)_；log a _ ；MNlog aMn_；log amMn_5对数函数的概念、图象和性质定义形如 ylog ax(a0，且 a1)的函数叫对数函数图象(1)定义域：_ (2)值域：_(3)过点_ _，即 x1 时，y0(4)在(0，)上是_ 在(0 ，) 上是_性质 (5)x1 时，_01 时，_0 a10，m=a b1aa1n=ba1，则 mn，本题选择 C 选项.2.幂指对函数的性质例 2【江苏扬州 2019 模拟】已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是 （ ）A B C D【答案】C【分析】由 在 上递减， 在 上递减，结合 即可得结果.【点评】本题主要考
5、查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.练习 1.函 数 的单调递增区间为（ ）A （，2） B （2，+） C （ ，4） D （4，+ ）【答案】D【解析】先求得函数的定义域，函数 是复合函数，外函数是增函数，再找出内函数在定义域内的增区间即可。【详解】由函数 ，可得 x24x0，求得 x0 或 x4，故函数的定义域为x |x0 或 x4 ，令 tx 24x， 则 因为 是定
6、义域内的增函数，只需找出函数 tx 24x 在定义域内的增区间利用二次函数的性质可得 t x24x 在定义域内的增区间为（4，+） ，故选：D【点睛】研究函数的单调性，首先要考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是定义域内的某个区间。对于复合函数的单调性，要综合考虑内外函数的单调性，利用“同增异减”的方法。练习 2.函数 y =log0. 5(x2-3x-10)的递增区间是 （ ）A(- ，-2) B(5，+ ) C(- ， ) D( ，+ )【答案】A【解析】由 得 或 .当 时， 单调递减，而 ,由复合函数单调性可知， 在 上是单调递增的，故选 A.学_科网点睛：复合函数单调性的判断： .
7、当内层函数 单调递增，外层函数 单调增，则 单调递增；当内层函数 单调递减，外层函数 单调减，则 单调递增；内层函数 单调递减，外层函数 单调增，则 单调递减；内层函数 单调递增，外层函数 单调减，则 单调递减.将上述判断方法简称为“同增异减”.3.幂指对函数的定义问题例 3 【2019 四川遂宁模拟】函数 f(x)(a 23a3)a x 是指数函数，则有（ ）Aa1 或 a2 Ba1 Ca2 Da0 且 a1【答案】C【分析】根据指数函数的定义得到 a23a3=1， a0 且 ,解出方程即可.【解析】函数 f(x)(a 23a 3)a x 是指数函数,根据指数函数的定义得到 a23a3=1，
8、且 a0,解得 a=1 或2，因为指数函数的底数不能为 1，故结果为 2.故答案为：C.【点睛】这个题目考查的是指数函数的定义，即形如 ，a0 且 ，即是指数函数，题型基础.练习 1.若幂函数 的图像经过点 ，则它在点 处的切线方程是( )A BC D【答案】C【解析】试 题分析： 经过点 A 的幂函数，所以 m=1， ，所以 ，则它在点 A 的切线方程为 4x-4y+=0,故选 C考点：本题考查幂函数以及用导数研究函数的切线点评：解决本题的关键是掌握幂函数的定义，以及导数的几何意义练习 2 函数 2xya的图象经过的定点坐标是（ ）A. 0,1 B. ,1 C. 2,1 D. 2,0【答案】
9、C【解析】由指数函数 xya过定点 0,，令 x， ，则函数 2xya过定点 ,1，故选 C.4.幂指对函数的图像问题例 4 【沈阳 2019 模拟】若函数 的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（ ）A B C D【答案】B【解析】由函数 的图象可知，函数 3a，则下图中对于选项 A， 3xy是减函数，所以 A 错误；对于选项 B, 3yx的图象是正确的,故选 B考点：对数函数与幂函数的图象与性质【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题，属容易题识图问题常见类型及策略有:1由实际情景探究函数图象，关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题；2由解析式确定
10、函数的图象，此类问题往往先化简函数的解析式，利用函数的性质（单调性、奇偶性、过定点等）判断，常用排除法；3已知函数图象确定相关函数图象，此类问题主要考查函数的图象变换（如平移变换、对称变换等） ，要注意函数 yfx与函数 yfx、 yfx、 、 yfx、 yfx等的相互关系;4借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式，求出函数解析式后再判断函数的图象，也可采用“以静观动”，即将动点处于某特殊位置处考察函数的变化特征，从而作出选择练习 1下图中曲线是幂函数 在第一象限内的图象，已知 p 分别为 ， 中的一个，则相应于曲线 C1、C 2、C 3、C 4 的 p 值依次是
11、（ ）A-2， ， ，2 B ，-2 ， 2，C2， ， ，-2 D2， ，-2 ，【答案】C【解析】做直线 ，与四个函数图象从上到下的交点依次记为而 ,从而相应于曲线 的 n 依次为 2， ， ，-2故选 C.练习 2.已知函数 f（x）= ，则 y=f（x）的图象大致为（ ）A BC D【答案】A【解析】由题意可得 x-1-lnx 0,且 x0，令 ，所以gx在（0,1）单调递减，在(1,+ )上单调递增，且 g(x)g(1)=0,即 g(x)0 恒成立，所以 f(x)0,且在（0,1）单调递增，在(1,+ )上单调递减。选 A.【点睛】对于函数图像选择题，一般从四个选项的差异性入手讨论函
12、数的性质，从整体性质到局部性质，如本题函数的定义域与正负性，还有单调性。5.幂指对奇偶性问题例 5.已知函数 ，则 fx是（ ）A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非 奇非偶函数【答案】D【解析】要使函数有意义，需满足 ，即函数的定义域为 2x，函数的定义域不关于原点对称，故 fx是非奇非偶函数，故选 D.练习 1 “ ”是“函数 为奇函数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 时， ，当 时， ，函数 为奇函数；当 时， ，函数 不是奇函数 时， 不一定奇函数，当 是奇函数时，由 可得 ，所以“ ”是“函数 为奇函数”的必
13、要不充分条件 ，故选 B.6.幂指对参数范围问题例 6 【辽宁重点高中 2019 联考】已知 0c，设 P：函数 xyc在 R上单调递减； Q：函数的值域为 R，如果 和 Q只有一个是对的，则 的取值范围是（ ）A 1 2， B 1 2， C D 0 ，【答案】A【解析】由题意得，函数 xyc在 R上单调递减，则 01c；函数 的值域为 R，则 0c且 ，解得 102，因为 P和 Q只有一个是对的，若 P真 Q假时，则1且 2，所以 1c；若 假 真时，则 c且 2，所以不存在这样的实数，故选 A考点：复合命题的真假判定及应用【方法点晴】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中指数函
14、数和对数函数的图象与性质，以及复合命题的真假的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确求解命题 ,PQ，在根据 真 假和 P假 Q真分类讨论是解答的关键，试题比较有一定的难度，属于中档试题练习 1。设 0ax 23x5 成立的 x 的集合是_【答案】( ， 4)【解析】 为减函数， ， ，解得 ，故使条件成立的 的集合为 ，故答案为 .7.幂指对综合问题例 7设函数 是定义域为 的奇函数.（1）求 的值.（2）若 ，试求不等式 的解集；（3）若 在 上的最小值为 ，求 m 的值.【答案】 （1）1；（2） 或 ；（3） .【解析】 （1）由函数
15、f（x ）是定义域为 R 的奇函数，可得 f（x）+f（x）0 对于任意实数都成立即可得出 k;（2）由（ 1）可知：f（x）a xax，利用 f（1）0，解得 a可得 f（x）,利用定义法证明即可；（3）由于 a2，可得 g（x）a 2x+a2x2f（x）（2 x2x） 22（2 x2x）+2 ，利用换元法令 t2 x2x，得到关于 t 的二次函数，利用（2）的结论和二次函数的单调性即可得出【详解】 （1）因为 是定义域为 R 上的奇函数，所以 ，所以 ，所以 ，经检验 符合题意。（2）因为 ，所以 ，又由 ， 所以 ，易知 是 R 上的单调递增函数，原不等式化为 ，即 ，即 ，所以 或 ，
16、所以不等式解集为 或 。(2)因为 ，所以 ，即 ，所以 或 （舍去） ，所以 ，令 因为 ，所以 ， ，当 时，当 时， ，当 时，当 时， ，解得 （舍去） ，综上可知 。【 点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的 范围练习 1已知 a， ，且 ，函数 是奇函数求 a，b 的值；如果函数 的定义域为 ，求函数 的值域；对任意 ，不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围【答案】 （1） ； （2） ； （3） .【解析】 （1）利用 f（x）= f（x）恒成立可得；（2）分离常数后，判断单调性，利用单调性求值域；（
17、3）由不等式 恒成立，令 2x=t，换元分离参数可得 对 恒成立，用基本不等式求最值即可得解不等式对任意 恒成立 ，令 ，则 对 恒成立，在 时，递减，所以 ， 【点睛】函数恒成立求参数取值范围是常考题型，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为 的形式，即求 ，或是 的形式，即求 ，求参数取值.练习 2已知函数 (其中 a0 且 a1)（1）求函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若 ，当 x 时，不等式 恒成立，求实数 m 的范围【答案】 （1）奇函数（2）【解析】 （1）由于函数 f（x）的定义域关于原点对称，且 f（ x）=f
18、（x） ，可得函数 f（x）是奇函数；（2）设 ,不等式 恒成立即【详解】 （1）由条件知 0，解得1x1，函数 的定义域为(1,1) ；可知函数 的定义域关于原点对称f(x)log a -log a f(x)， 因此 是奇函数（2）任取 x1，x 2（1，1） ，且 x1x 2，因为又1 x 1x 2 1，所以 ，因此有 又 ，所以 ，即 f（x 1）f （x 2） 所以当 时，f（x）在（1，1）上是减函数设 ,可知 是减函数，则 ，解得： 。【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，求函数的奇偶性的方法和步骤，属于中档题练习 3是否存在实数 a， 使得函数 在区间 1,上的最大值为 14？若
19、存在，求出 的值；若不存在，说明理由.【答案】 1或 .【解析】令 tax，分为 和 10a两种情形，由 x的范围得到新的变量 t的范围，故转化为二次函数 在给定区间内求最值.试题解析：令 tax，则 ，开口向上，对称轴为 1t，当 1时， ,，故函数 在 a,1上单调递增，故 ，解得 3a或 5（舍去）当 10时， at， ，故函数 在 a1， 上单调递增，故 ，解得 3a或 5（舍去）综上所述： 的值为 13或 .考点：二次函数的性质.【方法点睛】本题主要考查了换元法以及二次函数在给定区间内的最值问题，注重对基础的考查，难度一般；换元法的作用是利用整体代换，常设 tax，转化为一元二次方程
20、、二次函数等问题，要注意换元后t的取值范围；二次函数在给定区间内求最值主要是根据所给区间与二次函数对称轴的关系，判断函数在该区间上的单调性，得其最值.8.创新题型例 8.若定义运算 ，则函数 的值域是（ ）A 0 1， B 0 ， C ， D R【答案】B考点：函数的值域的求解【方法点晴】本题主要考查了函数的值域的计算问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质，对数不等式的求解，对数函数的值域，以及对数函数的单调性的判定及应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据函数的新定义，得到新函数的解析式是解答的关键，试题有一定难度，属于中档试题练习 1若点
21、 ,AB分别是函数 yfx与 ygx的图象上的点，且线段 AB的中点恰好为原点0,O，则称 ,为两函数的一对“孪生点”.若 ，则这两函数的“孪生点”共有（ ）A1 对 B2 对 C3 对 D4 对【答案】B【解析】由题意， yfx与 ygx “孪生点”的对数就是 yfx与 （与 ygx关于原点对称）的交点个数，由 2x，得 ，画出 12xy与 l的图象，如图，由图知，两图象有 个交点， 与 2xg这两函数的“孪生点”共有 对，故选 B.【方法点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象、函数图象的对称变换，新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，
22、或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义两函数的“孪生点”达到考查对数函数、指数函数的图象以及函数图象的对称变换的目的.9.对称问题例 9设曲线 在点 1,处的切线与 x轴的交点的横坐标为 nx，则2076logx的值为（ ）A B C D1【答案】B【解析】 ，所以曲线 在点 ,处的切线的斜率为，所以切线方程为 ，令 y=0，可得 1nx，所以 20176logx=。故选 B。练习 1定义在 上的函数 ，已知函数 的图象关于直线 对称，对任意的 ，（ ） ，都有 ，则下列结论正确的是（ ）A BC D【答案】A【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，所以函数 的图象关于直线 轴对称，所以函数 为偶函数，由对任意的 ， （ ） ，都有 知在 上是减函数，所以 在 上是增函数，又因为 ，所以.故选 A