1、专题 08 含参数的导数问题解题规律一知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C)_( C 为常数); ( x)_；(x 2)_； _；(1x)( ) _x(2)初等函数的导数公式(x n)_； (sin x) _；(cos x)_； (e x)_；(a x)_； (ln x)_；(log ax)_5导数的运算法则(1)f(x)g(x) _；(2)f(x)g(x)_；(3) _f（x）g（x）6复合函数的导数(1)对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数(函数yf(u)和 ug(x)的复合函数为 yf( g(x) （二）构
2、造函数例 2已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）当 , 为两个不相等的正数，证明： .【答案】 （1） 时， 在区间 内为增函数； 时， 在区间 内为增函数； 在区间 内为减函数； （2）见解析.【解析】 (1)求出 ，分两种种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）设 ，原不等式等价于，令 ，则原不等式也等价于即 .设 ，利用导数可得 在区间 内为增函数， ，从而可得结论.【详解】 （1）函数 的定义域为 ， .若 ， ，则 在区间 内为增函数；若 ，令 ，得 .则当 时， ， 在区间 内为增函数；当 时， ， 在区间
3、 内为减函数.（2）当 时， .不妨设 ，则原不等式等价于 ，令 ，则原不等式也等价于即 下面证明当 时， 恒成立.设 ，则 ，故 在区间 内为增函数， ，即 ， 所以 .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的 不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式 变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.练习 1.已知函数 .（1）证明: fx有两个零点
4、；（2）已知 1，若 0xR,使得 ，试比较 与 02x的大小.【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1) 在 0,3上单调递减，在 3,上单调递增，根据函数的最值情况确定零点个数； (2) 由 ， ，可得：，令 t， 函数 ht在1,上单调递增， ， ，又 在 1,上是增函数， 02x，即 0x.试题解析：（1）据题知 ，求导得： 令 0fx，有 3；令 0fx，得 3x，所以 fx在 0,3上单调递减，在 3,上单调递增，令 1x，有 0f；令 2xe，有故 f在 ,3和 ,各有 1 个零点. fx有两个零点.（2）由 ，而令 t， 则 ，函数 ht在 1,上单调递增，
5、故 . ，又 在 1,上是增函数， 02x，即 0x.（三）极值点偏移例 3已知函数 (其中 e 是自然对数的底数， kR) (1)讨论函数 的单调性；(2)当函数 有两个零点 时，证明： 【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。 （1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。 （2）根据题意将证明 的问题转化为证明 ，即证 ，构造函数 ，利用函数 的单调性证明即可。试题解析：（1）解： 。当 时，令 ，解得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增。当 时， 恒成立，函数 在 R 上单调递增 . 综上，当 时， 在
6、 上单调递减，在 上 单调递增。当 时， 在 R 上单调递增 .（2）证明：当 时，由（1）知函数 单调递增，不存在两个零点。所以 。设函数 的两个零点为 ，则 ，设 ，解得 ，所以 ，要证 ，只需证 ，设设 单调递增，所以 ，所以 在区间 上单调递增，所以 ，故 练习 1.已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）已知 存在两个极值点 ， ，令 ，若 ， ，求 的取值范围.【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】 （1）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间.（2）将 变形为 ，利用韦达将其转化为关于 a 的函数，求得最值，即可得到 的取值范围.当 时，在 上 ， 单调递增；在 上
7、， 单调递减.当 时，在 和 上 ， 单调递减；在 上 ， 单调递增.（2） ，则 ，由（1）可知， ， ，且 .则 ，从而 .令 ， ，则 .因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，则 ，即 .因为 ， ，即 ，所以 ，即 的取值范围为 .【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题（四）多变量问题 例 4已知函数 （ 0x） ， （ mR） （）求 fx的单调区间；（）求证：1 是 g的唯一极小值点；（）若存在 a， 0,b，满足 ，求 的取值范围.（只需写出结论）【答案】(1) 单调递增区间为 3,4， fx的单调递
8、减区间为 3,4 （2）见解析（3）34me【解析】试题分析：（）求出 fx， 0f求得 x 的范围，可得函数 fx增区间， 0fx求得 的范围，可得函数 f的减区间；（）先求得 （ 0） ，可得1g，又可证明 在定义域内递增，即可证明 1 是 g(x)的唯一极小值点；（）令两函数的值域有交集即可.（） 因为 令 0fx，得 因为 ，所以 34x 当 x变化时， f， f的变化情况如下：x30,43,4fx0fA极大值 A故 fx的单调递增区间为 30,4， fx的单调递减区间为 3,4 （）证明： （ 0x） ， 设 ，则 故 gx在 0,是单调递增函数， 又 1，故方程 0gx只有唯一实根
9、 1x 当 x变化时， ， 的变化情况如下：0,11 1,gx0A极小值 A故 gx在 1时取得极小值 1gm，即 1 是 gx的唯一极小值点. （）34me（五）与 三角函数有关的函数问题例 5已知函数 （ 0x）.(1)若 1a，求函数 fx的极大值；(2)若 0,2x时，恒有 0f成立，求实数 a的取值范围【答案】 （1） k；（2） 1,【解析】试题分析：（1）当 1a时， ，对其求导 ，判断导数与 0 的关系，故而可得其极值；（2）对 fx求导， ，当 1a时，函数单调递增，不等式成立；当 时，对其进行二次求导，可得 0fx恒成立， fx单调递增，结合零点存在定理可得 fx有唯一零点
10、 0x，进而可得当 0,时， f单调递减，且 ，即0f不恒成立；试题解析：（1） 1a时， ，当 ， kN时， 0fx， fx单调递增，当 ， kN时， 0fx， fx单调递减，所以，当时， fx取得极大值 21， .（2）当 10a，即 1时， 0fx，所以 fx单调递增，所以 ；当 时， ，所以 fx单调递增， ， ，所以 fx有唯一零点，记为 0x，当0,时， 0f， fx单调递减，且 ，即 不恒成立；综上所述，a的取值范围是 1,.练习 1.已知函数的 图象在点 处的切线方程为 54yx. (1)求 ,ab的值(2)求函数 fx在 ,42值域.【答案】 （1） 3,；（2） .【解析】
11、试题分析：（1）求得 fx的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得 ,ab的方程组，解方程即可得到所求；（2）求得 fx的导数，利用导数研究函数 的单调性，利用单调性即可得到函数 fx在 ,42值域.试题解析：（1） 为 ） ，又，解得 3,1ab.（2）由（1）知， ， 函数 fx在,4上递增， ， ， 函数 fx在 ,42上的值域为 .（六）构造函数求参数例 6设函数 .（1）当 a时，求函 数 gx的极值；（2）设 ，对任意 ，都有 ，求实数 b的取值范围.【答案】 （1） 无极大值；（2） 27b.【解析】试题分析：(1) 当 1a时， ，定义域为 0,， ，结合函数的单调性
12、可得，函数没有极大值.(2) 由已知 ，构造函数 ，则Gx在 0,2上单调递减，分类讨论可得：当 1时， 7b.当 ,x时， ,0，综上，由得： 2.（2）由已知 ，设 ，则 Gx在 0,2上单调递减，当 1,x时， ，所以 ，整理： 设 ，则 在 1,2上恒成立，所以 hx在 1,2上单调递增，所以 hx最大值是 .当 0,时， ，所以 ，整理： b 设 ，则 在 0,1上恒成立，所以 mx在 0,1上单调递增，所以 mx最大值是 ，综上，由得： 27b.练习 1.已知函数 在 处的切线斜率为 .（1）若函数 在 上单调，求实数 的最大值；（2）当 时，若存在不等的 使得 ，求实数 的取值范
13、围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】 (1)先根据切线的斜率求出 ，再根据函数单调，得到 恒成立，求出 b 的最大值.(2) 转化为存在不等的 ，且 使得 ，进而得到 k0.【详解】 （1）函数 在 处的切线斜率为解得 .所以 ，故因为函数 在 上单调故 或 在 上恒成立.显然 即 在 上不恒成立.所以 恒成立即可.因为可知 在 上单减， 单增故 ，所以实数 的最大值为 1.（2）当 时，由（1）知函数 在 上单调递增不妨设 ，使得即为存在不等的 ，且 使得.其否定为：任意 ，都有即：函数 在 上单调递增.由（1）知： 即所以若存在不等的 使得实数 的取值范围为 .（七）讨论参数求参数例
14、 7已知函数 ， （ e为自然对数的底数） （）当 1a时，求函数 fx在点 0,f处的切线方程；（）若函数 gx有两个零点，试求 a的取值范围；（）当 0时， 恒成立，求实数 的取值范围【答案】(1) 1yx (2) ,（3）【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到 01f， 1f，根据这两点可以写出切线方程。 （2）对函数 gx进行单调性的研究，分 a， ， 0a,三种情况讨论单调性，研究函数的图像变换趋势，得到参数方位。 （3）原不等式等价于 恒成立，对右侧函数研究单调性得最值即可。解析：（）当 1a时， . 01f， 1f.所以函数 fx在点 0,f处的切线方程为 yx.（）函数
15、 g的定义域为 R，由已知得 .当 0a时，函数 只有一个零点；当 ，因为 20xea，当 ,x时， g；当 ,x时， 0gx.所以函数 在 ,上单调递减，在 0上单调递增. 又 1， ga，因为 0x，所以 10x， xe所以 ，所以取 ，显然 0且 0g所以 ， .由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.当 0a时，由 ，得 0x，或 .)i当 12，则 0lna.当 x变化时， g， x变化情况如下表：注意到 01g，所以函数 gx至多有一个零点，不符合题意.)i当 2a，则 0lna， 在 ,单调递增，函数 gx至多有一个零点，不符合题意.若 ，则 .当 x变化时， gx，
16、变化情况如下表：注意到当 0x， a时， ， 01g，所以函数 gx至多有一个零点，不符合题意.综上， a的取值范围是 0,.（）当 x时， ，即 ,令 ，则令 ，则 当 0,ln2x时， 0x， x单调递减；当 时， ， 单调递增 又 ， 1，所以，当 ,1x时， 0x，即 0hx，所以 hx单调递减；当 ,时， ，即 ，所以 单调递增，所以 ，所以 点睛：本题考查利用导数研究 函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论的能力，属于较难的题利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性
17、得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.练习 1.设函数 xfe， lngx（）证明： ；（）若对所有的 0x，都有 ，求实数 a的取值范围【答案】 （）见解析；（） 2a.【解析】试题分析：（）令 ，求导得单调性，进而得 ，从而得证；（）记 求两次导得 hx在 0,递增， 又，进而讨论 2a的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.试题解析：（）令 ， 由 Fx在 (0,e递减，在 e,递增， x 即 成立 （） 记 ， 0hx在 ,恒成立， ， hx在 0,递增， 又
18、， 当 2a时， 0hx成立， 即 hx在 0,递增，则 ，即 成立； 当 2a时， hx在 0,递增，且 ， 必存在 ,t使得 t则 0,xt时， 0ht，即 0,x时， 与 h在 ,恒成立矛盾，故 2a舍去综上，实数 a的取值范围是 2a点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 0fx就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min0fx，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 .（八）利用特值缩小范围例 8.已知 ，其中 a为实常数，曲线 yfx在点 ,ef处的切线的纵截距为 ， （其中 e是无理数 2.71
19、828）（1）求 a； （2）不等式 2fxm对 0,恒成立，求实数 m的最大值.【答案】(1) 1a;(2) 实数 m的最大值为 .e【解析】试题分析：（1）根据曲线的切线的几何意义得到切线方程为 ，由截距已知，可以求出参数值。 （2）不等式恒成立求参变量分离可以转化为函数最值问题，代入特值 1x时，得到 me，现在验证 M 的最大值可以是 e,即可。再构造函数，研究最值即可。（） ， ， 曲线 yfx在 ,ef处的切线方程为0时， 解得 1a.（）当1x时，得到 me；下证当 时，不等式 对 0x恒成立设 ，则 1设 ， 0x， 1h， 10h， ,时， ， 1,x时， 所以 ,x时， ，
20、0,1时， 0x， 1,时， 0x，所以 ，结论成立；综述：实数 m的最大值为 .e点睛：这个题目考查了导数的几何意义，切线的几何意义，也考查了函数恒成立求参的问题。第二问的解决方法常见的是：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接含参讨论，研究函数最值；还有就是这个题目中用到的方法，先猜后证。练习 1.已知函数 （1）当 a =5 时，求 的单调 区间；（2）若 有两个极值点 12,x,且 ，求 a取值范围 （其中 e 为自然对数的底数） 【答案】(1) 单调递增区间为 0,和 ,，单调递减区间为 1,2 ；(2) 【 解析】 （1）求导，利用导数的符号确定函数的单调区间；（2）求导，利用导函
21、数，将函数存在极值问题转化为导函数对应方程的根的分布情况进 行求解.试题解析：（1） fx的定义域为 0， ，fx的单调递增区间为 10,2和 ,，单调递减区间为 1,2. （2）因为 ，令若 fx有两个极值点，则方程 g(x)=0 有两个不等的正根，所以 216a,即 4a (舍)或 a时，且 ， 12x又 13xe，于是， . 1()3xe，则 恒成立， hx在 1,3e单调递减，即 ，故 的取值范围为（九）分参法求参数例 9.已知函数(1)求 fx在 上的最小值；(2)若存在 01,e使得 成立，求实数 m 的取值范围.【答案】(1) te， ； 10te， ；(2) ,1.【解析】(1
22、)首先求得函数的导函数为 ，分类讨论可得：1te， ； 10te， ；(2)原问题等价于 ,x，构造新函数 ， 1,xe，结合函数 h(x)的性质可得实数 m 的取值范围是 ,1.试题解析：（1）令 0fx，解得 1xe，则 时， 0fx，函数 fx单调递增， ，函数 f单调递减 1te时，函数 fx在 单调递增因此，函数 f取得极小值即最小值， 10te时， 2t，则 1xe时，函数数 fx取得极小值即最小值， 综上， 1te， ； 10te， (2)存在 0,x使得 1,xe令 ， 1,xe，则令 ， ,e，则 ，可知 1,x时单调增， 1,xe时单调减且 ，因此 0ux令 0hx，解得
23、1x，可得 是函数 h的极大值点，即最大值， 1h， 1m，实数 m 的取值范围 ,.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用练习 1.已知函数 f（x）= 1xe，g（x）=1- ax2 （1）若函数
24、 f（x）和 g（x）的图象在 x=1 处的切线平行，求 a 的值； （2）当 x0，1时，不等式 f（x）g（x）恒成立，求 a 的取值范围【答案】(1) a= 12e (2) a 3【解析】试题分析：（1）分别求出 f（x ） ，g（x）的导数，计算得到 f（1）=g （1） ，求出 a 的值即可； （2）问题转化为 1-a21xe在01 ，恒成立，令 h（x）=2xe，x0，1 ，根据函数的单调性求出 h（x）的最大值，得到关于 a 的不等式，解出即可 试题解析：（1）f（x）= xe，f （1）=- e， g（x）=-2ax，g（1）=-2a， 由题意得：-2a=- ，解得： a= 2
25、； （2）当 x0 ，1时，不等式 f（x）g（x）恒成立， 即 1-a21xe在0，1 恒成立， 令 h（x）=2x，x 0，1， 则 h（x）= 1xe0， 故 h（x）在0 ，1递增， 故 h（x）h（ 1）= 3e， 故 1-a ，解得： a 练习 2.已知函数 .(1)求函数 fx的单调区间；(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 a的最小值.【答案】(1) 当 0a时， fx的单调递增区间为 0,，无减区间，当 时， fx的单调递增区间为 1,a，单调递减区间为 1,a;(2)2.【解析】试题分析：(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得 当 0a时， fx的单调递增区间为 0
26、,，无减区间，当 0a时， fx的单调递增区间为 1,a，单调递减区间为 1,a;(2)将原问题转化为 在 0,上恒成立，考查函数 的性质可得整数 a的最小值是 2.试题解析：(1) ，函数 fx的定义域为 0,.当 0a时， 0fx，则 在 0,上单调递增，当 时，令 f，则 1xa或 (舍负) ，当 10xa时， 0f， f为增函数，当 时， fx， fx为减函数，当 0a时， f的单调递增区间为 0,，无减区间，当 时， fx的单调递增区间为 1,a，单调递减区间为 1,a.(2)解法一：由 得 ， 0x，原命题等价于 在 0,上恒成立，令 ，则 ，令 ，则 hx在 0,上单调递增，由
27、10h， ，存在唯一 0,12x，使 0hx， .当 0时， g， g为增函数，当 x时， x， x为减函数， 0时， ， 01ax，又 0,2，则 01,2x，由 aZ，所以 .故整数 的最小值为 2.解法二： 得，令 ， 0a时， 0gx， gx在 0,上单调递减， ，该情况不成立. 0a时， 当 10,xa时， 0gx， gx单调递减；当 时， x， x单调递增， ，0gx恒成立 ，即 .令 ，显然 ha为单调递减函数.由 aZ，且 10h， ，当 2时，恒有 a成立，故整数 的最小值为 2.综合可得，整数 的最小值为 2.点睛：导数是研究函数的 单调性、极值(最值) 最有效的工具，而函
28、数是高中数学中重 要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用（十）任意存在问题例 10.函数 .（1）当 m， 0n时，求 fx的单调减区间；（2） 时，函数 ，若存在 0m，使得 0gx恒成立，求实数 a的取值范围.【答案】 （1）见解析 （2） a【解析】(1)原函数的导函数为
29、 ，对实数 n 分类讨论可得：当 1n时， fx的单调减区间为 0,；当 0时， f的单调减区间为 ,1n；当 1n时，减区间为 ,1n.(2)由题意结合恒成立的条件构造新函数设 ，结合函数 h(t)的性质分类讨论可得实数a的取值范围是 2a.试题解析：（1） ，定义域为 0,，当 1n时， ，此时 fx的单调减区间为 0,；当 0时， 时， 0f，此时 f的单调减区间为 ,1n；当 1n时， nx时， fx，此时减区间为 ,1n.当 2a时， ，故 0ht， ht在 1,上单调递增，因此 0ht；当 2a时，令 0t，得： ， ，由 21t和 2t，得： 1t，故 ht在 21,上单调递减，
30、此时 .综上所述， .练习 1.设函数 （1）若 为曲线 的切线，求实数 的值（2）当 时，对任意 ，都存在 使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） 或 ;（ 2）【解析】(1)由题意得到关于实数 a 的方程，解方程可得 或 ；(2)求导可得 ，利用导函数研究原函数可得 在 上递减，在 上递增，而二次函数的对称轴为 ，据此可得实数 的取值范围是 .试题解析：（1）令则得 或（2）当 时， 和 都为增函数 在 上递增且又当 时， ； 时， 在 上递减，在 上递增，则依题意，当 时，又 对称轴为 （ ） 在 上递增则，得故 得取值范围为点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用