1、专题 34 均值不等式的灵活应用一 【学习目标】会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力二 【知识要点】1.不等式建模应用问题实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思 路仍然是：理解问题假设建模求解模型检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.2.不等式综合应用类型类型 1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题.类型 2：讨论方程根的存在性、根
2、的分布及根的个数等问题.类型 3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置 关系，参变量取值范围，最值问题等.类型 4：探究数列的递增(递减 )性，前 n 项和的最值等问题 .3基本不等式(1)a2b 22ab；变式： ab；当且仅当 ab 时等号成立；a2 b22(2)如果 a0，b0，则 ；变式：ab ，当且仅当 ab 时，等号成立，其中 叫a b2 ab (a b2 )2 a b2做正数 a，b 的算术平均数， 叫做正数 a，b 的几 何平均数ab4(1)若 a0，b0，且 abP(定值)，则由 ab 可知，当 ab 时，ab 有最大值 ； (a b2 )2 P24 P24(2)若 a0，b0 且
3、abS(定值)，则由 ab2 2 可知，当 ab 时，ab 有最小值 2 .ab S S三题型方法规律总结1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是
4、以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组) 解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言 ”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.(2)建模：建立数学模型，即根据题意
5、找出常量与变量的不等关系.(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.四典例分析（一）基本不等式比较大小例 1若 ， ， 则下列结论： ， ，其中正确的个数是 （ ）A 1 B2 C3 D4【答案】D练习 1若 m，n，a，b，c， d 均为正数， ，则 p，q 的大小关系为( )A pq Bpq Cpq D不确定【答案】B【解析】q p，当且仅当 时取等号练习 2若 ， ， ， ，则A B C D【答案】B【解析】 ， ，且 ， ，即 故选 B练习 3设 f(x)e x,0p Dprq【答案】C【解析】由题意得 ， ，
6、 ，又函数 为增函数， 故选 C（二）利用基本不等式证明例 2.已知 ，求证： .【答案】证明见解析【解析】 ， ， ，上面三式相加，得： ，所以， .练习 1设 a、 ，原命题 “若 ，则 ”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是 A逆命题与否命题均为真命题 B 逆命题为假命题，否命题为真命题C逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D否命题为假命题，逆否命题为真命题【答案】A【解析】 原命题：“设 a、 ，原命题“若 ，则 ”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若 ，则 ”，是真命题，原命题的否命题是真命题故选：A练习 2已知 ， ， 为不全相等的正实数，且 .求证
7、： .【答案】见解析【解析】因为 ， ， 都是正实数，且 ，所以 ， ， ，以上三个不等式相加，得： ，即 ，因为 ， ， 不全相等，所以上述三个不等式中的“ ”不都同时成立，所以 .练习 3下列条件： ， ， ， ， ， ，其中能使 成立的条件的序号是_ 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.练
8、习 1若正数 满足 ，则 的最小值为 ( )A 9 B8 C5 D4【答案】A【解析】x0，y 0，x +4yxy， ,x+y（x+y） （ ）5+ 5+2 9，当且仅当 x2y 取等号，结合 x+4yxy ，解得 x6，y3x+y 的最小值为 9，故答案为：A练习 2已知 ，且 ，则 的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意，可知 ，且 ，则 ，则 ，当且仅当 ，即 等号成立，即 最小值是 ，故选 A.练习 3已知 ， 且 ，则 的最小值为 _【答案】15（五）条件等式求最值例 5若直线 过圆 的圆心，则 的最小值为( )A 10 B C D【答案】C【解析】圆 x2+y2+4
9、x4 y10 的圆心（2，2）在直线 ax by+20 上，所以2 a2 b+20，即 1 a+b，（ ） （ a+b）5 5+2 （ a0， b0 当且仅当 a b 时取等号）故选： C练习 1已知实数 ，且 ，则 的最小值为_【答案】【解析】由于 a+b2，且 ab0，则 0b1a2，所以， ，令 t2a1（1，3） ，则 2at+1，所以，当且仅当 ，即当 时，等号成立因此， 的最小值为 故答案为： 练习 2若实数 ， 满足 ，则 的最小值为_.【答案】4【解析】a1，b2 满足 2a+b60，2（a1）+b22，a10，b20，则 （ ）2（a1）+ b2 ，（4 ） ，当且仅当 且
10、2a+b60 即 a ，b3 时取得最小值为 4故答案为：4练习 3已知点 在圆 上运动，则 的最小值为_ 【答案】1【解析】点 在椭圆 上运动， 即 ，则，当且仅当 时，取等号，即所求的最小 值为 .练习 4已知 ， ， ，则 的最小值为 _【答案】3【解析】因为 ， ，所以 =（六）基本不等式的恒成立问题例 6.已知函数 .(1)求关于 的不等式 的解集；(2) ,使得 成立,求实数 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意得不等式 可化为 或 或 或解得 所以不等式 的解集为 (2) ，使得 成立，等价于 .由(1)知 ，当 时， ，当且仅当 ，即当 时，等号成立所以 ，
11、解得 ，又 ，所以 故实数 的取值范围为 【点睛】解绝对值不等式的常用方法 (1)平方法：两边平方去掉绝对值符号(2)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组) 求解(3)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(4)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解练习 1已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】依题意 ，当 等号成立.故恒成，化简得 ，解得 ，故选 C.练习 2已知不等式 对任意
12、正实数 x， y 恒成立，则正实数 m 的最小值是 A 2 B4 C6 D8【答案】B【解析】不等式 对任意的正实数 x， y 恒成立，则 对任意的正实数 x， y 恒成立，又 ， ，解得 或 不合题意，舍去 ， ，即正实数 m 的最小值是 4 故选： B练习 3 （1）已知 x0，y 0，x+y+xy=8，则 x+y 的最小值？（2）已知不等式 的解集为x|axb，点（a，b）在直线 mx+ny+1=0 上，其中 m，n0，若对任意满足条件的 m，n，恒有 成立，则 的取值范围？【答案】(1)4 (2)（，9【解析】 （1）x0，y 0， ，当且仅当 x=y 时取等号由 x+y+xy=8，可
13、得：8（x+y ） 令 x+y=t （t0） 得 8t ， （t0）.解得：t4，即 x+y4故 x+y 的最小值为 4（2）由不等式 的解集为x|axb，可得方程（x+2） （x +1）=0 的两个根 =a=2， =b=1点（a，b）在直线 mx+ny+1=0 上，得：2mn+1=0 ，即 2m+n=1对任意满足条件的 m，n，恒有 成 立，则： 当且仅当 n=m 时取等号9即 的取值范围是（ ，9练习 4若不等式 0 在满足条件 a bc 时恒成立，求实数 的取值范围【答案】(，4)（七）对勾函数求最值例 7已知 。（1 ）比较 ，在 的大小关系；（2 ）若 在 上恒成立，求实数 的取值范
14、围。【答案】 （1） ；（2）【解析】 （1）= ，即（2） 在 上恒成立， 在 上恒成立，即 ，又 在 上递增， ，即 （1）将该厂家 2019 年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；（2）该厂家 2019 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？【答案】 （1） ；（2）2019 年的年促销费用投入 2.5 万元时，该厂家利润最大【解析】 （1）由题意有 ，得 故 （2）由（1）知：当且仅当 即 时， 有最大值. 答: 2019 年的年促销费用投入 2.5 万元时，该厂家利润最大.练习 1某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积 为 6400 立方米，深度为 4 米池底每平方
15、米的造价为 120 元，池壁每平方米的造价为 100 元设池底长方形的长为 x 米（）求底面积，并用含 x 的表达式表示池壁面积；学_科网（）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?【答案】 （）见解析；（）池底设计为边长 米的正方形时，总造价最低，其值为 元.【解析】 （）设水池的底面积为 S1，池壁面积为 S2，则有 (平方米)池底长方形宽为 米，则S28 x8 8( x ) （）设总造价为 y，则y1201 6001008 19200064000256000当且仅当 x ，即 x40 时取等号 所以 x40 时，总造价最低为 256000 元答：当池底设计为边长 40 米的正方形时，
16、总造价最低，其值为 256000 元练习 2某投资公司计划投资 ， 两种金融产品，根据市场调查与预测， 产品的利润 与投资金额 的函数关系为 ， 产品的利润 与投资金额 的函数关系为 .（注：利润与投资金额单位：万元）（1）该公司已有 100 万元资金，并全部投入 ， 两种产品中，其中 万元资金投入 产品，试把 ， 两种产品利润总和表示为 的函数，并写出定义域； （2）试问：怎样分配这 100 万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【答案】 （1） ；（2）20，28.练习 3已知某公司生产某款手机的年固定成本为 400 万元，每生产 1 万部还需另投入 160 万元 设公司一年内共生产该款手机 万部且并全部销售完，每万部的收入为 万元，且 写出年利润 万元 关于年产量 （万部）的函数关系式；当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润【答案】 （1） ， ;（2）当 时，y 取得最大值 57600 万元【解析】 （1）由题意，可得利润 关于年产量 的函数关系式为， .由 可得，当且仅当 ，即 时取等号，所以当 时，y 取得最大值 57600 万元