1、专题 06 导数的几何意义灵活应用【学习目标】1了解导数概念的实际背景2理解导数的意义及几何意义3能根据导数定义求函数 yC (C 为常数) ，yx，y x 2，yx 3，y ，y 的导数1x x4能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导【知识要点】1平均变化率及瞬时变化率(1)函数 yf( x)从 x1 到 x2 的平均变化率用_表示，且 .yx f（x2） f（x1）x2 x1(2)函数 yf( x)在 xx 0 处的瞬时变化率是：0limx 0lix .limx 0yx lim x 0f（x0 x） f（x0）x2导数的概念(1)函数 yf( x)在 xx 0 处的导
2、数就是函数 yf( x)在 xx 0 处的瞬时变化率，记作 f(x0)或 y|xx 0，即 f(x0) 0lix .limx 0f（x0 x） f（x0）x(2)函数 yf( x)在 xx 0 处的导数 f(x0)是一个确定的数，当 x 变化时，f (x)是 x 的一个函数，称 f(x)为 f(x)的导函数(简称导数)，即 f(x) 0limx.limx 0 f（x x） f（x）x3导数的几何意义和物理意义几何意义：函数 yf (x)在 xx 0 处的导数就是曲线 yf(x)上_的斜率 k，即k_；切线方程为_物理意义：若物体位移随时间变化的关系为 sf( t)，则 f(t0)是物体运动在
3、tt 0 时刻的_4基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C)_( C 为常数); ( x)_；(x 2)_； _；(1x)( ) _x(2)初等函数的导数公式(x n)_； (sin x) _；(cos x)_； (e x)_；(a x)_； (ln x)_；(log ax)_5导数的运算法则(1)f(x)g(x) _；(2)f(x)g(x)_；(3) _f（x）g（x）6复合函数的导数(1)对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数(函数yf(u)和 ug(x)的复合函数为 yf( g(x) (2)复合函数 yf(g( x)
4、的导数和函数 yf (u)，ug(x) 的导数间的关系为_，即 y 对 x的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积1.变化率例 1. 【河南 2019 名校模拟】已知：函数 ， 、 为其图像上任意两点，则直线 的斜率的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】 ，而 ，易得， 在 上单调减少，在 上单调增加，故 ,故选 B.练习 1设 fx在 0可导，则 等于（ ）A 04 B f C 02fx D 03fx【答案】A【解析】由题得 = =4 0fx，故选 A.练习 2设定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则（ ）A BC D【答案】A【解析】由 ， ，故 ，即 ，故选：
5、A2.导数的定义例 2 【山西 2019 联考】设 为可导函数，且 ，求 的值（ ）A B C D【答案】B【解析】根据导数的定义得到 = ,即可得到答案.【详解】根据极限的运算和导数的定义得到： = 故答案为：B.【点睛】这个题目考查了导数的定义， ， ，凑出分子是 y 的变化量，分母是 x 的变化量即可.练习 1设函数 fx在 1处可导，则 （ ）A f B 2 C 21f D 1f【答案】B【解析】函数 fx在 1处可导， ， 选 B练习 2已知函数 在 处可导，若 ，则A B C D【答案】B【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算.3.求倾斜角例 3 【福建省莆田第六中学 201
6、9 第一次模拟】将函数 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 （ 0,） ，得到曲线 C，若对于每一个旋转角 ，曲线 C都仍然是一个函数的图象，则 的最大值为（ ）A B 2 C 3 D 4【答案】D【解析】函数 的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于 90时，其图象都依然是一个函数图象，因为 0x是 1yx是 的减函数，且 01y,当且仅当 x时等号成立，故在函数 的图象的切线中， 处的切线倾斜角最大，其值为 4，由此可知 4max，故选 D.练习 1设点 P 在曲线 上，点 Q 在直线 y=2x 上，则 PQ 的最小值为（ ）A2 B1 C D【答案】D【解析
7、】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线 平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.练习 2若函数 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是（ ）A B C D【答案】B【解析】根据题意，设切线的斜率为 k，其倾斜角是 ，求出函数 f（x）的导数，利用导数的几何意义可得kf（1） ，即 tan ，结合 的范围，分析可得答案【详解】根据题意，设
8、切线的斜率为 k，其倾斜角是 ，f（x） lnxx，则 f（x） x2 1，则有 kf（1） ，则 tan ，又由 0，则 ，故选：B【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题练习 3.曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】求出曲线 在 处切线斜率，从而可得进而得到 .【详解】函数的定义域为 ， 时， ，即 且 为锐角，则故选 A.4.曲线上某点处的斜率例 4 【陕西省彬州市 2018-2019 学年上学期高 2019 届】已知函数 ，在点 处的切线为 ，则切线 的方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意，求
9、得 ，得到 ，得出切线为 的斜率为 ，利用直线的点斜式方程，即可求解。【详解】由题意，函数 ，则 ，所以 ，即在点 处的切线为 的斜率为 ，所以切线 的方程为 ，即 ，故选 B。【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中正确求解函数的导数，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，再利用直线的点斜式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。练习 1已知函数 的图像在点 处的切线与直线 平行，则实数 （ ）A2 B C D-2【答案】A【解析】求出原函数的导函数，得到函数在 x2 处的导数，由导数值等于 求得实数 a 的值【详解】由 f（x ） ，得，则
10、考点：导数的几何意义及但点到直线的距离公式的综合运用.【易错点晴】导数是研究和刻画函数的单调性和极值等的重要工具,也是中学数学中的重要知识点和高考命题的重要内容和考点.本题以 所满足等式条件为背景,考查的是函数求导法则及导数的几何意义的灵活运用.求解时先运用求导法则求出函数 的导数为 xy12/,然后依据题设求出切线与直线 平行时,切点 P到这条直线的距离最小,所以 12t,解之得 t, 21,求出切点坐标,从而使得问题获解.练习 1已知 ，则 的最小值为 （ ）A 503 B 518 C 516 D 512【答案】B【解析】设 )3,(aP， ),(bQ，则 ， )3,(aP的轨迹为直线 3xy，),(bQ的轨迹为双曲线 xy3，双曲线上一点 )3,(0x到直线 0y的距离为， 的最小值为 518【命题意图】本题主要考查距离公式、 基本不等式等知识，考查学生转化与化归、逻辑推理能力