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2019年高考数学理科第二伦专题:不等式与线性规划(仿真押题)

1、1.若不等式(2) na3 n1 ( 2) n0 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )A. B.(1,43) (12,43)C. D.(1,74) (12,74)答案 D解析 当 n 为奇数时,要满足 2n(1a) 3 n1 恒成立,即 1a n恒成立,只需 1a 1,解得 a ;13(32) 13(32) 12当 n 为偶数时,要满足 2n(a 1)3 n1 恒成立,即 a1 n恒成立,只需 a1 2,解得 a .13(32) 13(32) 74综上, a ,故选 D.12 742.已知 a0,b0,且 a1,b1,若 logab1,则( )A.(a1)(b 1)0 B.

2、(a1)(a b)0C.(b1)(ba)0 D.(b1)( b a)0答案 D解析 取 a2,b4,则(a 1)(b1)30,排除 A;则( a1)(ab)20,排除 B;(b1)( ba)60,排除 C,故选 D.3.设函数 f(x)Error!则不等式 f(x)f(1)的解集是( )A.(3, 1)(3,) B.(3,1)(2 ,)C.(1,1)(3,) D.(,3)(1,3)答案 A解析 f(1)3.由题意得Error!或Error!解得33.4. 若 a,b,c 为实数,则下列命题为真命题的是( )A.若 ab,则 ac2bc2B.若 ab0,则 a2abb 2C.若 ab0,则 1a

3、 1bD.若 ab0,则 ba ab答案 B解析 B 中,ab0,a 2aba(ab)0,abb 2b(ab)0.故 a2abb 2,B 正确.5.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB60,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长0.5 米,为了稳固广告牌,要求 AC 越短越好,则 AC 最短为 ( )A. 米 B.2 米(1 32)C.(1 )米 D.(2 )米3 3答案 D6.已知圆 C:(xa) 2(y b) 21,平面区域 :Error! 若圆心 C ,且圆 C 与 x 轴相切,则 a2b 2 的最大值为( ) 9已知 a,b(0,) ,且 ab 5,则 ab

4、的取值范围是( )1a 1bA1,4 B 2,)C(2,4) D (4,)解析:因为 ab (a b)(1 )5,又 a,b(0,),所以 ab ,当且仅1a 1b 1ab 51 1ab 51 ( 2a b)2当 ab 时,等号成立,即(a b) 25(ab) 40,解得 1ab4,故选 A.答案:A10若 x,y 满足约束条件Error!则( x2) 2(y3) 2 的最小值为( )A1 B.92C5 D9解析:可行域为如图所示的阴影部分,由题意可知点 P(2,3) 到直线 xy20 的距离为 ,所以(x2) 2( y3) 2 的最小值为 2 ,故选 B.| 2 3 2|2 32 (32)

5、92答案:B11已知变量 x,y 满足约束条件Error! 若使 zaxy 取得最小值的最优解有无穷多个,则实数 a 的取值集合是( )A 2,0 B1,2C0,1 D2,0,1解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分 所示由 zax y 得 yaxz.若 a0,则直线 yax zz,此时 z 取得最小值的最优解只有一个,不满足题意;若a0,则直线 yax z 在 y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线 yax 与直线2xy90 平行时满足题意,此时a2,解得 a2;若a1),当 xa 时,y 取得最小值 b,则 ab 等于( )9x 1A3 B2C3 D8解析:yx4

6、 x1 5,因为 x1,所以 x10, 0.所以由基本不等式,得9x 1 9x 1 9x 1yx1 52 51,当且仅当 x1 ,即(x 1) 29,即 x13,x2 时取9x 1 x 1 9x 1 9x 1等号,所以 a2,b1,ab3.答案:C15 若 x,y 满足约束条件Error!,且目标函数 zax2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围是( )A4,2 B(4,2)C4,1 D( 4,1)解析:作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,直线 zax2y 的斜率为 k ,从图中可看出,a2当10 在区间1,5 上有解,则实数 a 的取值范围为( )A. B.( 235,

7、 ) 235,1C(1,) D( ,1)解析:x 2ax20 ,即 ax2x 2.x1,5,a x 成立2xa min.又函数 f(x) x 在1,5上是减函数,(2x x) 2x min 5 ,a .故选 A.(2x x) 25 235 235答案:A17设 x,y 满足约束条件Error!,则 的取值范围是( )x 2y 3x 1A1,5 B2,6C2,10 D3,11解析:设 z 12 ,设 z ,则 z的几何意义 为动点 P(x,y) 到定点x 2y 3x 1 x 1 2y 1x 1 y 1x 1 y 1x 1D(1,1) 的斜率画出可行域如图阴影部分所示,则易得 zk DA,k DB

8、,易得 z1,5,z12z3,11答 案:D18已知函数 f(x) ,若 x10,x 20,且 f(x1)f (x2)1,则 f(x1x 2)的最小值为( )4x 14x 1A B14 45C2 D4解析:由题意得 f(x) 1 ,由 f(x1)f (x2) 1 得 2 1,化简得4x 14x 1 24x 1 24 1 24 14 12x 34 14 222 12x ,解得 2x1x 23,所以 f(x1x 2)1 1 .故选 B.24 1 232 1 45答案:B19已知 a,b 都是正实数,且 2ab1,则 的最小值是_1a 2b解析: (2ab) 4 42 8,当且仅当 ,即 a ,b

9、时, “”成立,故1a 2b (1a 2b) 4ab ba 4abba 4ab ba 14 12 的最 小值是 8.1a 2b答案:820对于实数 x,当且仅当 nxn1,nN *时, xn,则关于 x 的不等式 4x236x 450 的解集是_解析:由 4x236x 450 得 x ,又当且仅当 nxn1,nN *时,xn,所以所求解集是32 1522,8)答案:2,8)21已知函数 f(x)Error!为奇函数,则不等式 f(x)4 的解集为_解析:因为 f(x)为奇函数,所以 f(x)f(x),可得 a3,b1,所以 f(x)Error!.当 x0 时,由x23x4 解得 0x4;当 x

10、0 时,由x 23x4 解得 x0,所以不等式 f(x)4 的解集为( ,4) 答案:( ,4)22设不等式组Error!所表示的平面区域为 D,则可行域 D 的面积为_ _解析:如图,画出可行域易得 A ,B(0,2),C(0,4),可行域 D 的面积为 2 .(43,43) 12 43 43答案:4323.已知函数 f(x) .2xx2 6(1)若 f(x)k 的解集为x |x3,或 x2 ,求 k 的值;(2)对任意 x0,f(x )t 恒成立,求 t 的取值范围.24.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮

11、弹发射后的轨迹在方程 ykx (1k 2)x2(k0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的120射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物( 忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解 (1)令 y0,得kx (1k 2)x20,120由实际意义和题设条件知 x0,k0, 故 x 10,20k1 k2 20k 1k202当且仅当 k1 时取等号.所以炮的最大射程为 10 千米.(2)因为 a0,所以炮弹可击中目标 存在 k0,使 3.2ka (1k 2)a2 成立 关于 k 的方程 a2

12、k220aka 2640 有正根120判别式 (20a) 24a 2(a2 64)0 a6.所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. 25.已知函数 f(x) ax3bx 2 (2b)x1 在 xx 1 处取得极大值,在 xx 2 处取得极小值,且130x 11x 22.(1)证明:a0;(2)若 z a2b ,求 z 的取值范围 .(1)证明 求函数 f(x)的导 数f(x)ax 22bx2b.由函数 f(x)在 xx 1 处取得极大值,在 xx 2 处取得极小值,知 x1、x 2 是 f(x)0 的两个根,所以 f(x)a( xx 1)(xx 2).当 xx 1 时,f(x)为增函数,

13、f(x)0,由 xx 10,x x 20 得 a0. (2)解 在题设下,0x 11x 22 等价于 f(0) 0,f(1) 0,f(2) 0,)即 化简得2 b 0,a 2b 2 b 0,4a 4b 2 b 0,) 2 b 0,a 3b 2 0,4a 5b 2 0.)此不等式组表示的区域为平面 aOb 上的三条直线:2b0,a3b20,4a5b20 所围成的ABC 的内部,其三个顶点分别为 A ,B(2,2),(47,67)C(4,2).z 在这三点的值依次为 ,6,8.167所以 z 的取值范围为 .(167,8)26已知关于 x 的不等式( a24) x2( a2)x10 对任意实数 x

14、 恒成立,求实数 a 的取值范围27已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)x 22x.(1)求函数 g(x)的解析式;(2)解不等式 g(x)f(x)|x 1|.解析:(1)设函数 yf(x )的图象上任意一点 Q(x0,y 0)关于原点的对称点为 P(x,y),点 Q(x0,y 0)在函数 yf(x) 的图象上,yx 22x ,即 yx 22x,故 g(x)x 22x.(2)由 g(x)f(x) |x1| ,可得 2x2|x1|0.当 x1 时,2x 2x10,此时 不等式无解当 x1 时,2x 2x 10 ,解得1x .因此原不等式的解集为 .12 1,1228若对

15、一切 x2 均有不等式 x22x 8(m 2)xm 15 成立,求实数 m 的取值范围解析:由 x22x 8(m2) xm 15,得 x24x7m(x1),对一切 x2 均有不等式 m 成立x2 4x 7x 1m 应小于或等于 f(x) (x2)的最小值x2 4x 7x 1又 f(x) (x 1) 2x2 4x 7x 1 4x 12 22,(x 1) 4x 1当且仅当 x1 ,即 x 3 时等号成立 4x 1f(x) minf(3)2.故 m 的取值范围为(,2 29某居民小区要建造一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和EFGH 构成的,是面积为 200 平

16、方米的十字形地带计划在正方 MNPQ 上建一座花坛,造价是每平方米 4 200 元,在四个相同的矩形(图中阴影部分 )上铺上花岗岩地坪,造价是每平方米 210 元,再在四个空角上铺上草坪,造价是每平方米 80 元(1)设总造价是 S 元,AD 长为 x 米,试建立 S 关于 x 的函数关系式;(2)当 x 为何值时,S 最小?并求出最小值解析:(1)设 AMy,则 x2 4xy200.y .50x x4S4 200x 22104 xy804 y24 000x 2410 5 38 000(x0) 12 1x2(2)S4 000x 2410 5 38 0001x22 38 000118 000,4

17、 000x2400 000x2当且仅当 x 时等号成立,10即 x 米时, S 有最小值 118 000 元103 0在平面直角坐标系中,不等式组Error!(r 为常数) 表示的平面区域的面积为 ,若 x,y 满足上述约束条件,则 z 的最小值为_x y 1x 3解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由题意,知 r2,解得14r2.z 1 ,表示可行域内 的点与点 P(3,2)连线的斜率加上 1,由图知当可行域内的点与x y 1x 3 y 2x 3点 P 的连线与圆相切时斜率最小设切线方程 为 y2k( x3),即 kxy 3k20,则有 2,解|3k 2|k2 1得 k 或 k0(舍去),所以 zmin1 .125 125 75答案:7531.不等式组Error!所表示的平面区域的面积为 S,则当不等式 a 恒成立时,实数 a 的取值范围是S 3m 1_. 答案 ( ,6