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2019年高考数学理科第二伦专题:函数﹑基本初等函数的图像与性质(仿真押题)

1、1已知 f(x)x 1,f( a)2,则 f(a)( )1xA4 B2C1 D3解析:因为 f(x)x 1,所以 f(a)a 12,所以 a 3,所以 f(a)1x 1a 1aa 1 1314,故选 A.1a (a 1a)答案:A2下列函数中,既是偶函数又在区间(0,) 上单调递增的是( )Ay By | x|11xCy lgx Dy |x|(12)解析:A 中函数 y 不是偶函数且在(0 ,)上单调递减,故 A 错误;B 中函数满足题意,故 B 正确;C1x中函数不是偶函数,故 C 错误; D 中函数不满足在(0,)上单调递增,故选 B.答案:B3下列四个函数:y3x;y 2 x1 (x0)

2、;yx 22x10;yError!其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A1 B2C3 D44设函数 f(x) 在区间3,4上的最大值和最小值分别为 M,m ,则 ( )2xx 2 m2MA. B.23 38C. D.32 83解析:易知 f(x) 2 ,所以 f(x)在区间3,4上单调递减,所以 Mf(3)2 6,mf(4 )2xx 2 4x 2 43 22 4,所以 .44 2 m2M 166 83答案:D5函数 f(x) 的图象大致为( )exx解析:由 f(x) ,可得 f(x) ,则当 x( ,0) 和 x(0,1)时,f(x)0,f (x)单调递增又当 x0 的解集为( )A.x

3、|x1B.x|11 且 x0D.Error!答案 D解析 因为 f(4)2a3,所以 a1.所以不等式 f(x)0 等价于Error!即 x ,或Error!即10 的解集为 Error!.28.已知函数 f(x2)(x R)为奇函数,且函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称,当 x0,1 时,f (x) ,x2 018则 f(2 018)等于 ( )A.2 018 B.12 018C. D.011 009答案 D解析 由题意知,f(x 2)f(x2),f(x)f(x4),又 f(x)f(x 2),f(x4)f(x2) ,f(x2)f(x ),f(x4)f(x),f(x)的周期为 4,故 f

4、(2 018)f (2 0162)f(2)f(0)0.29.已知函数 f(x) cos ,则 f _. x2x 1 (x 12 ) 2 018 k 1( k2 019)答案 1 009解析 由所给函数知,f(x)f (1x) cos x2x 1 (x 12 ) 1 x21 x 1cos 1cos cos 1,(1 x 12 ) (x 12 ) (x 12 )所以 f 1 009.2 018 k 1( k2 019) 2 018230.设函数 f(x)Error!则满足 f(x)f 1 的 x 的取值范围是 _.(x 12)答案 ( 14, )解析 由题意知,可对不等式分 x0,0x ,x 三段

5、讨论 .12 12当 x0 时,原不等式为 x1 x 1,12解得 x ,14 x0.14当 0x 时,原不等式为 2xx 1,显然成立.12 12当 x 时,原不等式为 2x2x 1,显然成立.12 12综上可知,x 的取值范围是 .( 14, )31.已知函数 f(x)Error!若 af(a)f (a)0 ,则实数 a 的取值范围为_.答案 ( , 2)(2,)解析 当 a0 时,a 2a3(a)0 a22a0a2;当 a0 时,3a( a) 2(a)0 a1 时, (0,1) ;当 x1 时,12 (12) 12 52 1xx23,),所以函数 f(x)的值域为3,)答案: 3,)52

6、34若函数 f(x)2 xa2 x 为奇函数,则实数 a_.解析:依题意得 f(0)1a0,所以 a1.答案:135 已知函数 f(x) sin x,则 f(2 017)f(2 016)f(0)f(2 016) f (2 017)_.22x 1解析:因为 f(x) sin x,所以 f(x) sin x sin x,所以 f(x)f(x) 2.则 f(2 017)22x 1 22 x 1 22x2x 1f(2 017) 2,f(2 016)f(2 016) 2.而 f(0) sin 01,所以 f(2 017)f(2 016) f (0)f (2 220 1016)f(2 017) 5.答案:

7、536已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:函数 yf(x1)的图象关于点(1,0)对称;xR ,f f ;(34 x) (34 x)当 x 时,f(x )log 2(3x1)( 32, 34则 f(2 017)_.解析:由知 f(x)为奇函数又由可得 f(x)是以 3 为周期的周期函数,所以 f(2 017)f(1)f(1)log 23(1)1 log 242.答案:237.若函数 f(x) 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是_.2x a, x 0,ln x, x 0 )解析 当 x0 时,由 f(x)ln x0,得 x1.因为函数 f(x)有两个不同的零点,则当 x0 时 , 函

8、数 f(x)2 x a 有一个零点,令 f(x)0 得 a2 x,因为 02 x201,所以 0 a1,所以实数 a 的取值范围是 0 a1.答案 (0,138.已知函数 y f(x)是 R 上的偶函数,对 xR 都有 f(x4) f(x) f(2)成立.当 x1, x20,2,且x1x2时,都有 0,给出下列命题:f( x1) f( x2)x1 x2 f(2)0;直线 x4 是函数 y f(x)图象的一条对称轴;函数 y f(x)在4,4上有四个零点; f(2 014)0.其中所有正确命题的序号为_.解析 令 x2,得 f(24) f(2) f(2),解得 f(2)0,因为函数 f(x)为偶

9、函数,所以 f(2)0,正确;因为 f(4 x) f(4 x4) f(x), f(4 x) f(4 x4) f( x) f(x),所以f(4 x) f(4 x),即 x4 是函数 f(x)的一条对称轴,正确;当 x1, x20,2,且 x1x2时,都有 0,说明函数 f(x)在0,2上是单调递减函数,又 f(2)0,因此函数 f(x)在f( x1) f( x2)x1 x20,2上只有一个零点,由偶函数知函数 f(x)在2,0上也只有一个零点,由 f(x4) f(x),知函数的周期为 4,所以函数 f(x)在(2,4与4,2)上也单调,因此,函数在4,4上只有 2 个零点,错;对于,因为函数的周

10、期为 4,即有 f(2) f(6) f(10) f(2 014)0,正确.答案 39.定义在1,1上的奇函数 f(x),已知当 x1,0时, f(x) (aR).14x a2x(1)写出 f(x)在0,1上的解析式;(2)求 f(x)在0,1上的最大值.解 (1) f(x)是定义在1,1上的奇函数, f(0)0, a1,当 x1,0时, f(x) .14x 12x设 x0,1,则 x1,0, f( x) 4 x2 x,14 x 12 x f(x)是奇函数, f( x) f(x), f(x)2 x4 x. f(x)在0,1上的解析式为 f(x)2 x4 x.(2)f(x)2 x4 x, x0,1

11、,令 t2 x, t1,2, g(t) t t2 ,(t12)2 14 g(t)在1,2上是减函数, g(t)max g(1)0,即 x0, f(x)max0.40.已知函数 f(x) ax22 ax2 b(a0)在区间2,3上有最大值 5,最小值 2.(1)求 a, b 的值;(2)若 b1, g(x) f(x)2 mx 在2,4上单调,求 m 的取值范围.解 (1) f(x) a(x1) 22 b a.当 a0 时, f(x)在2,3上为增函数,故 f( 3) 5,f( 2) 2) 9a 6a 2 b 5,4a 4a 2 b 2) a 1,b 0.)当 a0 时, f(x)在2,3上为减函

12、数,故 f( 3) 2,f( 2) 5) 9a 6a 2 b 2,4a 4a 2 b 5) a 1,b 3. )故 或a 1,b 0) a 1,b 3. )(2) b1, a1, b0,即 f(x) x22 x2,g(x) x22 x22 mx x2(22 m)x2.若 g(x)在2,4上单调,则 2 或 4,2 2m2 2m 222 m2 或 2m6,即 m1 或 mlog26.故 m 的取值范围是(,1lo g26,).41.已知函数 f(x) x22e x m1, g(x) x (x0).e2x(1)若 g(x) m 有实根,求 m 的取值范围;(2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)

13、 f(x)0 有两个相异实根.解 (1) x0, g(x) x 2 2e,e2x e2等号成立的条件是 xe.故 g(x)的值域是2e,),因而只需 m2e,则 g(x) m 就有实根.故 m2e,).(2)若 g(x) f(x)0 有两个相异的实根,即 g(x) f(x)中函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点,作出 g(x) x (x0)的大致图象.e2x f(x) x22e x m1( xe) 2 m1e 2.其对称轴为 xe,开口向下,最大值为 m1e 2.故当 m1e 22e,即 me 22e1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x) f(x)0 有两个相异实根.

14、 m 的取值范围是(e 22e1,).42已知函数 f(x) x2 (x0, aR)ax(1)判断函数 f(x)的奇偶性;(2)若 f(x)在区间2,)上是增函数,求实数 a 的取值范围解析:(1)当 a0 时, f(x) x2(x0)为偶函数;当 a0 时, f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)解法一 设 x2 x12, f(x1) f(x2) x x x1x2(x1 x2) a,由 x2 x12,得21ax1 2 ax2 x1 x2x1x2x1x2(x1 x2)16, x1 x20, x1x20.要使 f(x)在区间2,)上是增函数,只需 f(x1) f(x2)0,即 x1x2(x1

15、x2) a0 恒成立,则 a16.学-科网故 a 的取值范围是(,16解法二 f(x)2 x ,要使 f(x)在区间2,)上是增函数,只需当 x2 时, f( x)0 恒成立,即ax22x 0,则 a2x316,)恒成立,故当 a16 时, f(x)在区间2,)上是增函数故 a 的取值ax2范围是(,1643 f(x)的定义域为 R,对任意 x, yR,有 f(x y) f(x) f(y),且当 x0 时, f(x)0, f(1)2.(1)证明: f(x)是奇函数;(2)证明: f(x)在 R 上是减函数;(3)求 f(x)在区间 3,3上的最大值和最小值解析:(1)函数 f(x)的定义域 R

16、 关于原点对称,又由 f(x y) f(x) f(y),得 fx( x) f(x) f( x), f(x) f( x) f(0)又 f(00) f(0) f(0), f(0)0.从而有 f(x) f( x)0, f( x) f(x)由于 xR, f(x)是奇函数44已知函数 f(x)e xe x(xR,且 e 为自然对数的底数)(1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性(2)是否存在实数 t,使不等式 f(x t) f(x2 t2)0 对一切 x 都成立?若存在,求出 t;若不存在,请说明理由解析:(1) f(x)e x ,且 ye x是增函数,(1e)x y 是增函数, f(x)是增函数(1e)x f(x)的定义域为 R,且 f( x)e xe x f(x), f(x)是奇函数(2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数,由 f(x t) f(x2 t2)0 对 xR 恒成立,则 f(x t)f(t2 x2) t2 x2 x tx2 xt2 t 对 xR 恒成立 min对一切 xR 恒成立(t12)2 (x 12)2 0 t .(t12)2 12即存在实数 t ,使不等式 f(x t) f(x2 t2)0 对一切 x 都成立12