1、2019 年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷（一）一、选择题（每小题四个选项中，只有一项最符合题意本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36分）1在下列实数中：0， ，3.1415， ， ，0.343343334无理数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D3下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（ ）A对广水市中学生每天学习所用时间的调查B对全国中学生心理健康现状的调查C对某班学生进行 6 月 5 日是 “世界环境日”知晓情况的调查D对广水市初中学生视力情况的调查4正比例函数 ykx（k 0）的图象
2、大致是（ ）A BC D5下列图形中，能确定12 的是（ ）A BC D6已知ABC 中，A70，B60，则C（ ）A50 B60 C70 D807一元二次方程 x（x 2）0 根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根8如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 与 AD 相交于点F，EDF38，则DBE 的度数是（ ）A25 B26 C27 D389在 RtABC 中，各边都扩大 5 倍，则角 A 的三角函数值（ ）A不变 B扩大 5 倍 C缩小 5 倍 D不能确定10根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图
3、所示的折线统计图根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（ ）A李飞或刘亮 B李飞 C刘亮 D无法确定11如图，过边长为 1 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线一点，当 PACQ 时，连结 PQ 交 AC 于 D，则 DE 的长为（ ）A B C D12已知：如图，在等边ABC 中取点 P，使得 PA，PB，PC 的长分别为 3，4，5，将线段 AP 以点 A 为旋转中心顺时针旋转 60得到线段 AD，连接 BD，下列结论：ABD 可以由APC 绕点 A 顺时针旋转 60得到；点 P 与点 D 的距离为3； APB150；SA
4、PC +SAPB ，其中正确的结论有（ ）A B C D二、填空题（本大题共 8 小题；共 24 分）132 的倒数是 14若关于 x 的一元二次方程（m 2）x 2+x+m240 的一个根为 0，则 m 值是 15若关于 x 的不等式的解集在数轴上表示为如图，则其解集为 16在ABC 中，已知B55，C80，则A 17如图，点 D 在O 的直径 AB 的延长线上，点 C 在O 上，且 ACCD，ACD120，CD是O 的切线：若 O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为 18将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“稻草人”中的“”的个数，则第 20 个“稻草人”中有 个“”19如
5、图，O 为坐标原点，矩形 OABC 中，A（8，0），C（0，6），将矩形 OABC 绕点 O 旋转60，得到矩形 OABC ，此时直线 OA与直线 BC 相交于 P则点 P 的坐标为 20如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，D 的坐标为（1，0），（3，0），（0，1），点 C 在第四象限，ACB90，AC BC 若ABC 与ABC关于点 D 成中心对称，则点 C的坐标为 三、解答题（本大题共 8 小题；共 60 分）21计算： + 22解方程： 1 23如图，某地方政府决定在相距 50km 的 A、B 两站之间的公路旁 E 点，修建一个土特产加工基地，且使 C、D 两村到 E 点的距离相
6、等，已知 DAAB 于 A，CBAB 于B，DA30km，CB20km，那么基地 E 应建在离 A 站多少千米的地方？24水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与 AE 的长度之比）为 1：0.6，背水坡坡比为 1：2，大坝高DE30 米，坝顶宽 CD10 米，求大坝的截面的周长和面积25一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过 60 棵，每棵售价为 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元，该校最终向园林公司支付树苗款8800 元，请问该校共购买了多少棵树苗
7、？26东坡商贸公司购进某种水果的成本为 20 元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来 48 天的销售单价 p（元/kg）与时间 t（天）之间的函数关系式为 p，且其日销售量 y（ kg）与时间 t（天）的关系如表：时间 t（天） 1 3 6 10 20 40 日销售量y（kg）118 114 108 100 80 40 （1）已知 y 与 t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第 30 天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前 24 天中，公司决定每销售 1kg 水果就捐赠 n 元利润（n9）给“精准扶贫”对象现发现：在前 24 天
8、中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 n的取值范围27如图，已知 P 是正方形 ABCD 边 BC 上一点，BP3PC，Q 是 CD 的中点，（1）求证：ADQQCP ；（2）若 AB10，连接 BD 交 AP 于点 M，交 AQ 于点 N，求 BM，QN 的长28探究与发现：如图 1 所示的图形，像我们常见的学习用品圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC 与A、B、C 之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：如图
9、2，把一块三角尺 XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ 恰好经过点B、C，若A50，则ABX+ACX ；如图 3，DC 平分ADB，EC 平分AEB，若DAE 50，DBE130，求DCE 的度数；如图 4，ABD，ACD 的 10 等分线相交于点 G1、G 2、G 9，若BDC140，BG 1C77，求A 的度数2019 年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题四个选项中，只有一项最符合题意本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36分）1在下列实数中：0， ，3.1415， ， ，0.343343334无理数有（ ）A1 个
10、B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案【解答】解： ，0.343343334是无理数，故选：B【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数2下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误故选：C【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称
11、轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合3下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（ ）A对广水市中学生每天学习所用时间的调查B对全国中学生心理健康现状的调查C对某班学生进行 6 月 5 日是 “世界环境日”知晓情况的调查D对广水市初中学生视力情况的调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可【解答】解：对广水市中学生每天学习所用时间的调查适宜采用抽样调查方式；对全国中学生心理健康现状的调查适宜采用抽样调查方式；对某班学生进行 6 月 5 日是“世界环境日”知晓情况的调查
12、适宜采用全面调查方式；对广水市初中学生视力情况的调查适宜采用抽样调查方式；故选：C【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查4正比例函数 ykx（k 0）的图象大致是（ ）A BC D【分析】根据正比例函数的性质；当 k0 时，正比例函数 ykx 的图象在第一、三象限选出答案即可【解答】解：因为正比例函数 ykx（k0），所以正比例函数 ykx 的图象在第一、三象限，故选：D【点评】本题主要考查了正比例
13、函数的性质，关键是熟练掌握：在直线 ykx 中，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，直线经过第一、三象限；当 k0 时， y 随 x 的增大而减小，直线经过第二、四象限5下列图形中，能确定12 的是（ ）A BC D【分析】分别根据对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质对四个选项进行逐一判断即可【解答】解：A、1 与2 是对顶角，12，故本选项错误；B、若两条直线平行，则12，若所截两条直线不平行，则1 与2 无法进行判断，故本选项正确；C、1 是2 所在三角形的一个外角， 12，故本选项正确；D、已知三角形是直角三角形， 由直角三角形两锐角互余可判断出12故选：C【点评】本题考查的是
14、对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键6已知ABC 中，A70，B60，则C（ ）A50 B60 C70 D80【分析】根据三角形的内角和定理得到A+B+C180，然后把A70，B60代入计算即可【解答】解：A+B+C180，而A70，B60，C180AB180706050故选：A【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为 1807一元二次方程 x（x 2）0 根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【分析】先把原方程变形为：x 22x0，然后计算，得到40，根据的含义即可判断方程
15、根的情况【解答】解：原方程变形为：x 22x0，（2） 241040，原方程有两个不相等的实数根故选：A【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0，（a0）根的判别式b 24ac：当0，原方程有两个不相等的实数根；当0，原方程有两个相等的实数根；当0，原方程没有实数根8如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 与 AD 相交于点F，EDF38，则DBE 的度数是（ ）A25 B26 C27 D38【分析】根据翻折的性质可得12，根据两直线平行，内错角相等可得13，从而得到23，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解【解答】解：由翻折的性质得，1
16、2，矩形的对边 ADBC，13，23，在BDE 中，2+3+EDF18090，即 22+3890，解得226，DBE26故选：B【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键9在 RtABC 中，各边都扩大 5 倍，则角 A 的三角函数值（ ）A不变 B扩大 5 倍 C缩小 5 倍 D不能确定【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变【解答】解：各边都扩大 5 倍，新三角形与原三角形的对应边的比为 5：1，两三角形相似，A 的三角函数值不变，故选：A【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相
17、等三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关10根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（ ）A李飞或刘亮 B李飞 C刘亮 D无法确定【分析】根据折线统计图得出两人射击成绩，再计算出两人成绩的方差，据此即可作出判断【解答】解：李飞的成绩为 5、8、9、7、8、9、10、8、9、7，则李飞成绩的平均数为 8，所以李飞成绩的方差为 （58） 2+2（78） 2+3（88） 2+3（98） 2+（108）21.8；刘亮的成绩为 7、8、8、9、7、8、8、9、7、9，则刘亮成绩的平均数为 8，刘亮成绩的方差为 3（78）
18、 2+4（88） 2+3（98） 20.6，0.61.8，应推荐刘亮，故选：C【点评】本题主要考查折线统计图与方差，解题的关键是根据折线统计图得出解题所需数据及方差的计算公式11如图，过边长为 1 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线一点，当 PACQ 时，连结 PQ 交 AC 于 D，则 DE 的长为（ ）A B C D【分析】过 P 作 PFBC 交 AC 于 F，得出等边三角形 APF，推出 APPFQC，根据等腰三角形性质求出 EFAE ，证PFD QCD，推出 FDCD，推出 DE AC 即可【解答】解：过 P 作 PFBC 交 AC 于
19、F如图所示：PFBC， ABC 是等边三角形，PFDQCD，APF 是等边三角形，APPFAF，PEAC，AEEF，APPF，APCQ，PFCQ在PFD 和QCD 中， ，PFDQCD（AAS），FDCD，AEEF，EF+FDAE +CD，AE+CDDE AC，AC1，DE 故选：A【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；证明三角形全等是解决问题的关键12已知：如图，在等边ABC 中取点 P，使得 PA，PB，PC 的长分别为 3，4，5，将线段 AP 以点 A 为旋转中心顺时针旋转 60得到线段 AD，连接 BD，下
20、列结论：ABD 可以由APC 绕点 A 顺时针旋转 60得到；点 P 与点 D 的距离为3； APB150；SAPC +SAPB ，其中正确的结论有（ ）A B C D【分析】由线段 AP 以点 A 为旋转中心顺时针旋转 60得到线段 AD，根据旋转的性质有ADAP，DAP60，再根据等边三角形的性质得BAC 60，ABAC，易得DAPPAC，于是ABD 可以由APC 绕点 A 顺时针旋转 60得到；ADP 为等边三角形，则有 PDPA3；在PBD 中，PB4，PD3，由 得到 BDPC5，利用勾股定理的逆定理可得PBD 为直角三角形，且BPD90，则APBAPD+BPD60+90150；由A
21、DBAPC 得 SADB SAPC ，则有 SAPC +SAPB S ADB +SAPB S ADP +SBPD ，根据等边三角形的面积为边长平方的 倍和直角三角形的面积公式即可得到 SADP +SBPD 32+ 346+ ，可判断不正确【解答】解：连 PD，如图，线段 AP 以点 A 为旋转中心顺时针旋转 60得到线段 AD，ADAP，DAP60，又ABC 为等边三角形，BAC60，AB AC，DAB+BAPPAC+ BAP，DAPPAC，ABD 可以由APC 绕点 A 顺时针旋转 60得到，所以正确；DAPA，DAP60，ADP 为等边三角形，PDPA3，所以正确；在PBD 中，PB 4，
22、PD3，由得到 BDPC 5，3 2+425 2，即 PD2+PB2BD 2，PBD 为直角三角形，且BPD90，由得 APD60，APB APD+BPD60+90150，所以正确；ADBAPC，S ADB S APC ，S APC +SAPB S ADB +SAPB S ADP +SBPD 32+ 346+ ，所以不正确故选：C【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理二、填空题（本大题共 8 小题；共 24 分）132 的倒数是 【分析】根据倒数定
23、义可知，2 的倒数是 【解答】解：2 的倒数是 【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数14若关于 x 的一元二次方程（m 2）x 2+x+m240 的一个根为 0，则 m 值是 2 【分析】根据一元二次方程解的定义，将 x0 代入关于 x 的一元二次方程（m2）x2+x+m240，然后解关于 m 的一元二次方程即可【解答】解：根据题意，得x0 满足关于 x 的一元二次方程（m 2）x 2+x+m240，m 240，解得，m2；又二次项系数 m20，即 m2，m2
24、；故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为 0”这一条件15若关于 x 的不等式的解集在数轴上表示为如图，则其解集为 3x5 【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右向左两个不等式的公共部分就是不等式组的解集【解答】解：由图可得，则其解集为3x5，故答案为：3x5【点评】本题考查了不等式的解集在数轴上表示的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解
25、集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示16在ABC 中，已知B55，C80，则A 45 【分析】根据三角形的内角和等于 180列式进行计算即可得解【解答】解：B55，C80，A180BC45，故答案为：45【点评】本题考查了三角形的内角和等于 180，是基础题，认真计算即可17如图，点 D 在O 的直径 AB 的延长线上，点 C 在O 上，且 ACCD，ACD120，CD是O 的切线：若 O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为 2 【分析】连接 OC，求出D 和COD ，求出边 DC 长，分别
26、求出三角形 OCD 的面积和扇形COB 的面积，即可求出答案【解答】解：连接 OC，ACCD，ACD120，CADD30，DC 切O 于 C，OCCD ，OCD90，COD60，在 Rt OCD 中，OCD 90，D 30，OC2，CD2 ，阴影部分的面积是 SOCD S 扇形 COB 22 2 ，故答案为：2 【点评】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，扇形的面积，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积，题目比较典型，难度适中18将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“稻草人”中的“”的个数，则第 20 个“稻草人”中有 385 个“”【分
27、析】分析数据可得：第 1 个图形中小圆的个数为 1+45；第 2 个图形中小圆的个数为1+5+1 7；第 3 个图形中小圆的个数为 1+6+411；第 4 个图形中小圆的个数为 1+7+917；由此得出第 n 个图形中小圆的个数为 1+（n+3）+ （n1） 2据此可以求得答案【解答】解：第 1 个图形中小圆的个数为 1+45；第 2 个图形中小圆的个数为 1+5+17；第 3 个图形中小圆的个数为 1+6+411；第 4 个图形中小圆的个数为 1+7+917；第 n 个图形中小圆的个数为 1+（n+3）+ （n1） 2第 20 个“稻草人”中的“”的个数为 1+23+192385 ，故答案为
28、：385【点评】此题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形19如图，O 为坐标原点，矩形 OABC 中，A（8，0），C（0，6），将矩形 OABC 绕点 O 旋转60，得到矩形 OABC ，此时直线 OA与直线 BC 相交于 P则点 P 的坐标为 （2，6）或（2 ，6） 【分析】作出图形，有两个解，利用直角三角形的 30的性质可以解决问题【解答】解：如图，矩形 OABC 绕点 O 旋转 60，可能顺时针旋转，也可能逆时针旋转，所以有两种可能，见图AOP 160，AOC90，COP 130，在 RTCOP 1
29、 中，OC6， COP 130，CP 12 ，点 P1 坐标为（2 ，6），根据对称性，P 1、P 2 关于 y 轴对称，P 2 坐标（2 ，6）故答案为（2 ，6）或（2 ，6）【点评】本题考查矩形的性质直角三角形的 30 度角的性质，解题的关键是正确画出图形，熟练掌握 30 度角的性质，善于观察利用对称性就很容易解决问题，善于中考常考题型20如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，D 的坐标为（1，0），（3，0），（0，1），点 C 在第四象限，ACB90，AC BC 若ABC 与ABC关于点 D 成中心对称，则点 C的坐标为 （2，3） 【分析】如图，作 CHAB 于 H设 C（m ，n
30、）求出点 C 坐标，利用中点坐标公式即可解决问题【解答】解：如图，作 CHAB 于 H设 C（m ，n）A（1，0），B（3，0），OA1，OB3，AB2，ABC 的等腰直角三角形，CH AB ，AHHB 1，CH AB1，C（2，1），C，C关于 D 对称，D（0，1）， 0， 1，m2，n3，C（2，3）故答案为（2，3）【点评】本题考查中心对称，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型三、解答题（本大题共 8 小题；共 60 分）21计算： + 【分析】先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可【解答】解：原式2 +32 +35 【点
31、评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍22解方程： 1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2xx2+1，移项合并得：x1，经检验 x1 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根23如图，某地方政府决定在相距 50km 的 A、B 两站之间的公路旁 E 点，修建
32、一个土特产加工基地，且使 C、D 两村到 E 点的距离相等，已知 DAAB 于 A，CBAB 于B，DA30km，CB20km，那么基地 E 应建在离 A 站多少千米的地方？【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形 DAE 和直角三角形 CBE 中利用斜边相等两次利用勾股定理得到 AD2+AE2BE 2+BC2，设 AE 为 x，则BE10x，将 DA8，CB 2 代入关系式即可求得【解答】解：设基地 E 应建在离 A 站 x 千米的地方则 BE（50x ）千米在 Rt ADE 中，根据勾股定理得：AD 2+AE2DE 230 2+x2DE 2在 Rt CBE 中
33、，根据勾股定理得：CB 2+BE2CE 220 2+（50x） 2CE 2又C、D 两村到 E 点的距离相等DECEDE 2CE 230 2+x220 2+（50x） 2解得 x20基地 E 应建在离 A 站多少 20 千米的地方【点评】考查了勾股定理的应用，本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可24水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与 AE 的长度之比）为 1：0.6，背水坡坡比为 1：2，大坝高DE30 米，坝顶宽 CD10 米，求大坝的截面的周长和面积【分析】先根据两个坡比求出 AE 和 BF 的长，然后利用勾股定理求出 AD 和 BC，再由大坝的截面的周长
34、DC+ AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案【解答】解：迎水坡坡比（DE 与 AE 的长度之比）为 1：0.6，DE 30m，AE18 米，在 RTADE 中， AD 6 米背水坡坡比为 1：2，BF60 米，在 RTBCF 中，BC 30 米，周长DC+AD+ AE+EF+BF+BC6 +10+30 +88（6 +30 +98）米，面积（10+18+10+60）3021470（平方米）故大坝的截面的周长是（6 +30 +98）米，面积是 1470 平方米【点评】本题考查了坡度和坡比问题，利用三角函数求得梯形的各边，还涉及了勾股定理的应用，解答本题关键是理解坡比所表示的意义2
35、5一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过 60 棵，每棵售价为 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元，该校最终向园林公司支付树苗款8800 元，请问该校共购买了多少棵树苗？【分析】根据设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得：x120 0.5（x60）8800，进而得出即可【解答】解：因为 60 棵树苗售价为 120 元607200 元8800 元，所以该校购买树苗超过 60 棵，设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得：x120 0.5（x60）8800
36、，解得：x 1220，x 280当 x220 时，1200.5（22060）40100，x220（不合题意，舍去）；当 x80 时，1200.5（8060）110100，x80答：该校共购买了 80 棵树苗【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元”得出方程是解题关键26东坡商贸公司购进某种水果的成本为 20 元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来 48 天的销售单价 p（元/kg）与时间 t（天）之间的函数关系式为 p，且其日销售量 y（ kg）与时间 t（天）的关系如表：时间 t（天） 1
37、3 6 10 20 40 日销售量y（kg）118 114 108 100 80 40 （1）已知 y 与 t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第 30 天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前 24 天中，公司决定每销售 1kg 水果就捐赠 n 元利润（n9）给“精准扶贫”对象现发现：在前 24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 n的取值范围【分析】（1）设 ykt +b，利用待定系数法即可解决问题（2）日利润日销售量每公斤利润，据此分别表示前 24 天和后 24 天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结
38、论（3）列式表示前 24 天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求 n 的取值范围【解答】解：（1）设 ykt +b，把 t1，y118；t3，y114 代入得到：解得 ，y2t+120将 t30 代入上式，得：y 230+12060所以在第 30 天的日销售量是 60kg（2）设第 t 天的销售利润为 w 元当 1t24 时，由题意 w（2t+120）（ t+3020） （t 10） 2+1250，t10 时，w 最大值为 1250 元当 25t48 时，w（2t+120）（ t+4820）t 2116t+3360，对称轴 t58，a10，在对称轴左侧 w 随 t 增大而减小，t25
39、时，w 最大值1085，综上所述第 10 天利润最大，最大利润为 1250 元（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为 m 元由题意 m（2t+120）（ t+3020）（2t+120）n t2+（10+2n）t +1200120n，在前 24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大， 23.5，（见图中提示）n6.75又n9，n 的取值范围为 6.75n9【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键27如图，已知 P 是正方形 ABCD 边 BC 上一点，BP3
40、PC，Q 是 CD 的中点，（1）求证：ADQQCP ；（2）若 AB10，连接 BD 交 AP 于点 M，交 AQ 于点 N，求 BM，QN 的长【分析】（1）根据正方形的性质可表示出 PC，DQ ，CQ，AD 的长，从而根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来进行判定（2）根据相似三角形的对应边成比例及已知不难求得 BM，QN 的长【解答】证明：（1）正方形 ABCD 中，BP3PC，Q 是 CD 的中点PC BC，CQ DQ CD，且 BCCDADPC：DQCQ：AD1：2PCQADQ90PCQADQ（2）BMPAMDBM：DMBP：AD3：4AB10，BD10 ，BM同
41、理 QN【点评】此题主要考查学生对正方形的性质及相似三角形的判定及性质的综合运用28探究与发现：如图 1 所示的图形，像我们常见的学习用品圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC 与A、B、C 之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：如图 2，把一块三角尺 XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ 恰好经过点B、C，若A50，则ABX+ACX 40 ；如图 3，DC 平分ADB，EC 平分AEB，若DAE 50，DBE13
42、0，求DCE 的度数；如图 4，ABD，ACD 的 10 等分线相交于点 G1、G 2、G 9，若BDC140，BG 1C77，求A 的度数【分析】（1）根据题意观察图形连接 AD 并延长至点 F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到BDCBDF+CDF；（2） 由（1 ）的结论可得ABX +ACX+ABXC，然后把A50，BXC90代入上式即可得到ABX+ ACX 的值结合图形可得DBEDAE+ADB+AEB，代入DAE50，DBE130即可得到ADB+AEB 的值，再利用上面得出的结论可知DCE （ADB+AEB）+A，易得答案由（ 2）的方法，进而可得
43、答案【解答】解：（1）连接 AD 并延长至点 F，由外角定理可得BDFBAD+B，CDFC +CAD；且BDCBDF+CDF 及BACBAD+CAD；相加可得BDCA+B+C；（2） 由（1 ）的结论易得：ABX +ACX+ABXC，又因为A50，BXC90，所以ABX + ACX905040；由（ 1）的结论易得 DBEA+ADB+AEB，易得ADB+AEB80；而DCE （ADB+AEB）+ A ，代入DAE50，DBE 130，易得DCE90；BG 1C （ABD +ACD）+A，BG 1C77，设A 为 x，ABD+ACD140x （140x）+x77，14 x+x77，x70A 为 70【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系