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2019年高考数学理科第二伦专题:平面向量与复数(命题猜想)

1、【考向解读】 1.命题角度:复数的四则运算和几何意义;以平面图形为背景,考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度:复数题目为低档难度,平面向量题目为中低档难度.【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化;(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量例 1、(2018全国)在ABC 中,AD 为 BC 边上的中 线,E 为 AD 的中点,则 等于( )EB A. B. 34AB

2、 14AC 14AB 34AC C. D. 34AB 14AC 14AB 34AC 答案 A解析 作出示意图如图所示. ( ) ( ) .EB ED DB 12AD 12CB 1212AB AC 12AB AC 34AB 14AC 故选 A. 【方法技巧】(1)向量加法的平行四边形法则:共起点;三角形法则:首尾相连;向量减法的三角形法则:共起点连终点,指向被减.(2)已知 O 为平面上任意一点,则 A,B,C 三点共线的充要条件是存在 s,t,使得 s t ,且OC OA OB st1,s ,tR.(3)证明三点共线问题,可转化为向量共线解决.【变式探究】 【2017 课标 1,理 13】已知

3、向量 a,b 的夹角为 60,| a|=2,| b|=1,则| a +2 b |= .【答案】 23【解析】利用如下图形,可以判断出 的模长是以 2 为边长的菱形对角线的长度,2所以 .【变式探究】如图,在ABC 中,N 是 AC 边上一点,且 ,P 是 BN 上的一点,若 m AN 12NC AP AB 29,则实数 m 的值为( )AC A. B. C.1 D.319 13答案 B解析 , ,AN 12NC AN 13AC m m .AP AB 29AC AB 23AN 又 B,N,P 三点共线,m 1,m .23 13【变式探究】(1)设 00,2得 2sincos ,tan .12方法

4、一 因为 a, b,D 为 BC 的中点,AB AC 所以 (ab) AD 12所以 (ab)AE 12AD 14所以 CE CA AE AC AE b (ab)14 a b.14 34所以 x ,y ,所以 x y .14 34 12方法二 易得 EF MD,MD CF,12 12所以 EF CF,所以 CE CF.14 34因为 b a,CF CA AF AC AF 13所以 (b a) a b.CE 34 13 14 34所以 x ,y ,则 xy .14 34 12【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底;同时注意共线向量定理的灵活运用 (2)运算过程中重视数形结合,

5、结合图形分析向量间的关系【变式探究】如图,在正方形 ABCD 中,M,N 分别是 BC,CD 的中点,若 ,则 等于AC AM BN ( )A.2 B. C. D.83 65 85答案 D解析 方法一 如图以 AB,AD 为坐标轴建立平面直角坐标系,设正方形边长为 1, , AM (1,12) BN , (1 ,1).( 12,1) AC ,AC AM BN (1,12) ( 12,1) ( 2,2 )Error! 解得Error!故 .85方法二 以 , 作为基底,AB AD M,N 分别为 BC,CD 的中点, , ,AM AB BM AB 12AD BN BC CN AD 12AB ,A

6、C AM BN ( 2)AB (2 )AD 又 ,AC AB AD 因此Error! 解得Error! 所以 .85【命题热点突破二】平面向量的数量积(1)数量积的定义:ab| a|b|cos.(2)三个结论若 a(x,y),则|a| .aa x2 y2若 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则| | .AB x2 x12 y2 y12若 a(x 1,y 1),b( x2,y 2), 为 a 与 b 的夹角,则 cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y2例 2、 (2018 年天津卷)如图,在平面四边形 ABCD 中, , , , . 若点 E 为边 CD 上的

7、动点,则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则 , , , ,点 在 上,则 ,设 ,则:,即 ,据此可得: ,且:, ,由数量积的坐标运算法则可得:,整理可得: ,结合二次函数的性质可知,当 时, 取得最小值 .本题选择 A 选项. 【命题热点突破四】复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算,其关键是进行分母实数化,分子分母同时乘分母的共轭复数对一些常见的运算,如(1i) 22i, i, i 等要熟记1 i1 i 1 i1 i例 4、(2018全国)设 z 2i,则| z|等于( )1 i1 iA.0 B. C.1 D.12 2答案 C解析

8、z 2i 2i 2ii ,1 i1 i 1 i21 i1 i 2i2|z| 1.故选 C.【变式探究】 【2017 山东,理 2】已知 aR,i 是虚数单位,若 ,则 a=(A)1 或-1 (B) 7-或 (C)- 3 (D) 3【答案】A【解析】由 得 24a,所以 1a,故选 A.【变式探究】已知 ,abR, i 是虚数单位,若 ,则 ab的值为_.【答案】2【解析】由 ,可得 10,所以 21, ,故答案为 2【变式探究】(1)若复数 z ,则|z| ( )21 3iA B 12 32C1 D2(2)已知复数 z (i 为虚数单位 ),则复数 z 在复平面内对应的点在( )1 iiA第一

9、象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】(1)C (2)B 【解析】 (1)z i, ,所以|z| 1.21 3i 2(1 3i)4 12 32 (12)2 (32)2(2)z 1i,则复数 z1i,对应的点在第二象限1 ii【高考真题解读】1. (2018 年浙江卷)已知 a,b,e 是平面向量,e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ,向量 b 满足 b24eb+3=0,则| ab|的最小值是A. 1 B. +1 C. 2 D. 2【答案】A【解析】设 ,则由 得 ,由 得因此 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径 1,为 选 A.2. (2018 年天津卷)如图,在平面

10、四边形 ABCD 中, , , , . 若点 E 为边 CD 上的动点,则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则 , , , ,点 在 上,则 ,设 ,则:,即 ,据此可得: ,且:, ,由数量积的坐标运算法则可得:,整理可得: ,结合二次函数的性质可知,当 时, 取得最小值 .本题选择 A 选项.3. (2018 年全国 I 卷理数) 设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F,过点(2,0)且斜率为 的直线与 C 交于M,N 两点,则 =A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】根据题意,过点(2,0)且斜率为 的直线方程为 ,

11、与抛物线方程联立 ,消元整理得: ,解得 ,又 ,所以 ,从而可以求得,故选 D.4. (2018 年全国 I 卷理数) 在 中, 为 边上的中线, 为 的中点,则A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据向量的运算法则,可得,所以 ,故选 A.5. (2018 年全国卷理数)已知向量 , 满足 , ,则A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B【解析】因为所以选 B.6. (2018 年江苏卷)在平面直角坐标系 中,A 为直线 上在第一象限内的点, ,以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 ,则点 A 的横坐标为_ 5.【2017 天津,理 13】在 中, , ,

12、.若 ,ABC 60 3AB2CBDC,且 ,则 的值为_.【答案】 31【解析】 ,则.6.【2017 山东,理 12】已知 12,e是互相垂直的单位向量,若 123e与 12e的夹角为 60,则实数 的值是 .【答案】 3【解析】 ,解得: 37【2017 浙江,15】已知向量 a,b 满足 则 的最小值是_,最大值是_【答案】4, 25【解析】设向量 的夹角为 ,由余弦定理有: ,,ab,则:,令 ,则 ,据此可得: ,即 的最小值是 4,最大值是 258.【2017 浙江,10】如图,已知平面四边形 ABCD,ABBC,ABBCAD2,CD3,AC 与 BD 交于点 O,记 , , ,

13、则1IAB 2IOC 3IDA B C D321I231II213I312II【答案】C【解析】因为 , , ,所以OAB,故选 C。9.【2017 江苏,12】如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为 1,1, , 与 的夹角为 ,C2OAC且 tan =7, 与 的夹角为 45.若 , 则 .OBC(,)mnRnA C BO(第 12 题) 【答案】3 10.【2017 江苏,16】 已知向量(1)若 ab,求 x 的值;(2)记 ,求 的最大值和最小值以及对应的 的值.()f()f x【答案】 (1) (2) 时, 取得最大值,为 3; 时, 取得最小值,为56x0xfx56fx.

14、3【解析】解:(1)因为 , ,ab,所以 .若 ,则 ,与 矛盾,故 .cos0xsinx cos0x于是 . 又 ,所以 .0,x56x(2) .因为 ,所以 ,0,x从而 .于是,当 ,即 时, 取到最大值 3;6x0xfx当 ,即 时, 取到最小值 .6x56xfx231.【 2017 课标 1,理 3】设有下面四个命题1p:若复数 z满足 R,则 z; 2p:若复数 z满足 2R,则 z;3:若复数 12,满足 12,则 1; 4:若复数 ,则 .其中的真命题为A. 13,pB 14,pC 23,pD 24,p【答案】B【解析】令 ,则由 得 0b,所以 zR,故 1p正确; 当 i

15、z时,因为 ,而 izR知,故 2p不正确;当 12时,满足 ,但 1,故 3不正确;对于 4p,因为实数的共轭复数是它本身,也属于实数,故 4正确,故选 B.2.【2017 课标 II,理 1】 3i( )A 12i B 2i C 2i D 2i【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有: ,故选 D。3.【2017 山东,理 2】已知 aR,i 是虚数单位,若 ,则 a=(A)1 或-1 (B) 7-或 (C)- 3 (D) 3【答案】A【解析】由 得 24a,所以 1a,故选 A. 3.【2016 高考新课标 2 理数】已知 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m的取值范围是( )(A)

16、 (31), (B) (13), (C ) (1,)+ (D) (3)-,【答案】A【解析】要使复数 z对应的点在第四象限应满足: m301,解得 3m1,故选 A.4.【2016 年高考北京理数】设 aR,若复数 ()ia在复平面内对应的点位于实轴上,则a_.【答案】1【解析】 ,故填:15.【2016 高考山东理数】若复数 z 满足 其中 i 为虚数单位,则 z=( )(A)1+2i (B) 1 2i (C) 2 (D) 12i【答案】B【解析】设 biaz,则 ,故 ,则 iz,选 B.6.【2016 高考天津理数】已知 ,aR,i 是虚数单位 ,若 ,则 ab的值为_.【答案】2【解析

17、】由 ,可得 10ba,所以 21, ,故答案为 27.【2016 高考江苏卷】复数 其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是_. 【答案】5【解析】 ,故 z 的实部是 51(2015新课标全国,2)若 a 为实数,且(2ai)(a2i)4i,则 a( )A1 B0 C1 D22(2015 广东,2)若复数 z i(32i)(i 是虚数单位) ,则 z( )A32i B32i C23i D23i解析 因为 zi(32i)23i,所以 z23i ,故选 D.答案 D3(2015四川,2)设 i 是虚数单位,则复数 i3 ( )2iAi B3i Ci D3i解析 i 3 i i2i i. 选 C.2i 2ii2答案 C4(2015山东,2)若复数 z 满足 i,其中 i 为虚数单位,则 z( )z1 iA1i B1i C1i D1i解析 i,zi(1i)i i 21i ,z 1i.z1 i答案 A5(2015新课标全国,1)设复数 z 满足 i ,则|z| ( )1 z1 zA1 B. C. D22 3解析 由 i,得 1z izi,z i,|z| |i|1.1 z1 z 1 i1 i答案 A