1、【考向解读】 集合与常用逻辑用语在高考中是以选择题或填空题的形式进行考查的，属于容易题但命题真假的判断，这一点综合性较强，联系到更多的知识点，属于中挡题预测高考会以 集合的运算和充要条件作为考查的重点【命题热点突破一】集合的关系及运算集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为最低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高在复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用1集合的运算性质及重要结论(1)AAA
2、，A A，AB BA.(2)AAA，A ，ABBA.(3)A(UA)，A( UA)U .(4)ABAAB，AB ABA.2集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用 Venn 图求解例 1、(2018全国)已知集合 A(x，y )|x2y 23，xZ，yZ，则 A 中元素的个数为( )A.9 B.8 C.5 D.4答案 A解析 将满足 x2y 23 的整数 x，y 全部列举出来，即(1，1)，(1，0) ，(1，1)，(0 ，1)，(0，0) ，(0，1)，(1 ，1)，(1，0)，(1，1)，
3、共有 9 个.故选 A.【举一反三】(2018全国)已知集合 A ，则 RA 等于( )x|x2 x 2 0A.x| 1x2 B.x|1x2C.x|x1 x|x2 D.x|x1 x| x2答案 B解析 x 2x20，(x 2)(x1)0，x2 或 x 1，即 Ax|x2 或 x1.在数轴上表示出集合 A，如图所示.由图可得 RAx |1x2.故选 B.【变式探究】【2017 课标 3，理 1】已知集合 A= ，B= ，则 A B 中元素的个数为A3 B2 C1 D0【答案】B【变式探究】设集合 ，则 ST（ ）(A) 2， 3 (B)（- ，2 U 3,+ ） (C) 3,+ ） (D)（0，
4、2 U 3,+）【答案】D【解析】由 解得 3x或 2， 所以 ，所以，故选 D 【感悟提升】(1)集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后可借助 Venn 图或数轴求解(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证【变式探究】(1)已知集合 A x|x24x34，即 c4.【点评】(1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即“|” 前面的表述(2)当集合之间的关系不易确定时，可借助 Venn 图或列举实例 【命题热点突破二】四种命题与充要条件逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重
5、点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主在复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真 假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查1四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假2若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 pq，则 p，q 互为充要条件例 2、 （2018 年天津卷）设 ，则“ ”是“ ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式 ，由 .据此可知
6、 是 的充分而不必要条件.本题选择 A 选项.【举一反三】 （2018 年北京卷）设 a，b 均为单位向量，则“ ”是“ab”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ，因为 a，b 均为单位向量，所以ab，即“ ”是“ab”的充分必要条件.选 C.【变式探究】 【2017 天津，理 4】设 ，则“ ”是“ ”的R1sin2（A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】 【解析】 ，但 ，不满足 ，所以是1sin2充分不必要条件，选 A.【变式探究】设 a0 且 a1，则“
7、log ab1”是“ba”的( )A.必要不充分条件 B.充要条件C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件答案 C解析 log ab1log aaba1 或 0a 时，b 有可能为 1.所以两者没有包含关系，故选 C.【感悟提升】充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若 pq，则 p 是 q 的充分条件( 或 q 是 p 的必要条件)；若 pq，且 qp，则p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件) (2)集合法：利用集合间的包含关系例如，若 AB，则 A 是 B 的充分条件( B 是 A 的必要条件)；若AB，则 A 是 B 的充要条件(3)
8、等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题【变式探究】(1)设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m.则“m” 是“ ”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 m ，m / ，但 m，m ，所以 m 是 的必要而不充分条件(2)给出下列命题：若 A，B ，C，D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；AB DC ab 的充要条件是|a| | b|且 a b；在ABC 中，sinAsin B 的充要条件为 AB；在ABC 中，设命题 p：ABC 是等边三角形，命题 q：abcsin BsinCsinA，那么命
9、题 p 是命题 q 的充分不必要条件其中正确的命题为_(把你认为正确的命题序号都填上)【答案】正确由正弦定理知 sinA ，sinB ，当 sinAsinB 成立时，得 ab，则 AB；当 AB 时，则有a2R b2Rab，则 sinAsinB，故命题正确不正确若ABC 是等边三角形，则 abc，sinB sinCsinA，即命题 p 是命题 q 的充分条件；若abcsin BsinCsinA，则 ，又由正弦定理得 ，即 ，所以 ，即 c2ab，sinCsinA bc asinA csinC sinCsinA ca ca bc同理得 a2bc，b 2ac ，所以 cab，所以ABC 是等边三角
10、形因此命题 p 是命题 q 的充要条件综上所述，正确命题的序号是.【点评】判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A，且 A 不能推出 B；而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A.(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明(3)准确转化：若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则 p是 q 的充分不必要条件；若綈 p 是綈 q 的充要条件，那么 p 是 q 的充要条件【命题热点突破三】 逻辑联结词、量词1命题 pq，只要 p，q 有一真，即为真；命
11、题 pq，只有 p，q 均为真，才为真；綈 p 和 p 为真假对立的命题2命题 pq 的否定是(綈 p)(綈 q)；命题 pq 的否定是( 綈 p)(綈 q)3 “xM，p(x )”的否定为“ x0M，綈 p(x0)”；“x 0M ，p(x 0)”的否定为“ xM，綈 p(x)”例 3、 【2017 山东，理 3】已知命题 p: ；命题 q：若 ab，则 b2 ，下列命题为真命题的是（A） （B） （C） （D）pqpqpqp【答案】B【解析】由 时 有意义，知 p 是真命题，由 可0x知 q 是假命题，即 均是真命题，故选 B.,pq【变式探究】 【2016 高考浙江理数】命题“ ，使得 2
12、nx”的否定形式是（ ）A ，使得 2nx B ，使得 2nx C ，使得 D ，使得【答案】D【解析】 的否定是 ， 的否定是 ， 2nx的否定是 2nx故选 D【感悟提升】(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2) 判断命题的真假要先明确命题的构成由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算【变式探究】(1)已知 m，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是 ( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在
13、 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面(2)已知命题 p：若 xy，则xy，则 x2y2.在命题pq；pq；p(綈 q)；(綈 p)q 中，真命题是( )A BC D【答案】(1)D (2)C【解析】(1)对于 A， 垂直于同一平面， ， 关系不确定，A 错；对于 B，m，n 平行于同一平面，m，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故 B 错；对于 C， ， 不平行，但 内能找出平行于 的直线，如 中平行于 ， 交线的直线平行于 ，故 C 错；对于 D，若假设 m，n 垂直于同一平面，则 mn，其逆否命题即为 D 选项，故 D 正确(2)当 xy 时
14、，x y 时，x 2y2 不一定成立，故命题 q 为假命题，从而綈 q 为真命题由真值表知，pq 为假命题；pq 为真命题；p(綈 q)为真命题；(綈 p)q 为假命题故选 C.【点评】利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法在解答时要有意识地去练习【高考真题解读】1. （2018 年浙江卷）已知全集 U=1，2，3，4，5，A=1，3 ，则A. B. 1，3 C. 2，4，5 D. 1，2，3，4，5【答案】C【解析】因为全集 ， ，所以根据补集的定义得 ，故选 C.2. （2018 年天津卷）设全集为 R，集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得： ，结合交集的定义可得： .本题选择 B选项.3. （2018 年北京卷）设集合 则A. 对任意实数 a， B. 对任意实数 a， （2，1）C. 当且仅当 a2n，则綈 p 为 ( )AnN，n 22n BnN，n 22nCn N，n 22n DnN ，n 22 n答案 C解析 将命题 p 的量词“ ”改为“ ”， “n22n”改为“ n22n”