1、第 1 页，共 13 页广东省东莞市 2019 届高三第二学期第一次统考（省一模）模拟考试文科数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 2， ， ，则 =1, 5=|2 =( )A. B. C. D. 1 5 1,2 2,5【答案】C【解析】解：集合 2， ， ，则 =1, 5=|2 =(1,2故选：C直接求解交集即可本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查2. 已知 i 是虚数单位， ，则 =4(1+)43 |=( )A. 10 B. C. 5 D. 10 5【答案】B【解析】解： ，=4(1+)43=4(2)23=13|=(1)2+(3)2=10故选：B利
2、用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3. 现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 ( )A. B. C. D. 12 13 16 112【答案】B【解析】解：现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数 ，=24222222=6乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数 ，=222222=2乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率 =26=13故选：B先求出基本事件总数 ，再求出乙、丙两人恰好参加同一项活动包含
3、的=24222222=6第 2 页，共 13 页基本事件个数 ，由此能求出乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率=222222=2本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4. 双曲线 的焦点到渐近线的距离为 242=1 ( )A. 1 B. C. 2 D. 32【答案】A【解析】解：双曲线中，焦点坐标为 ，(5,0)渐近线方程为： ，=12双曲线 的焦点到渐近线的距离：242=1=|5|1+4=1故选：A分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质
4、5. 由 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸=2(414) 2长到原来的 2 倍后，所得图象对应的函数解析式为 ( )A. B. =2(814) =2(2+14)C. D. =2(218) =2(214)【答案】D【解析】解：由 的图象向左平移 个单位，可得=2(414) 2的图象，=2(4+24)=2(44)再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍后，可得 的图象，=2(24)故选：D由题意利用函数 的图象变换规律，得出结论=(+)本题主要考查函数 的图象变换规律，属于基础题=(+)6. 函数 且 的图象恒过点 A，且点 A 在角 的终边上，=(+4)+2(0 1
5、) 则 2=( )A. B. C. D. 513 513 1213 1213第 3 页，共 13 页【答案】C【解析】解：对于函数 且 ，令 ，求得 ，=(+4)+2(0 1) +4=1 =3，=2可得函数的图象恒过点 ，(3,2)且点 A 在角 的终边上， ，则 ， =23 2=22+2=22+1=1213故选：C令对数的真数等于零，求得 x、y 的值，可得定点 A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得 ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值2本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题7. 如图
6、所示， 中， ，点 E 是线段 AD 的=2中点，则 ( )A. B. =34+12 =34+C. D. =54+12 =54+【答案】C【解析】解：如图所示， ， ， ，=+=12=+=12 =54+12故选：C利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8. 已知 是等差数列， 是正项等比数列，且 ， 1=1， ， ，则 3=2+2 4=3+5 5=4+26 2018+9=( )A. 2274 B. 2074 C. 2226 D. 2026【答案】A【解析】解：设等差数列 的公差为 d，正项等比数列 的公比为 ， 0，
7、 ， ， ，1=1 3=2+2 4=3+5 5=4+26， ， ，2=+2 3=21+64=31+13解得 ， =2 1=1则 2018+9=1+2017+28=2274第 4 页，共 13 页故选：A利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9. 设 m、n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( )A. ， ， B. ， ， = = /C. ， ， D. ， ， / /【答案】B【解析】解：由 m、n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，得： 在 A 中， ， ， ，则 n 与
8、 相交、平行或 ，故选 A； = 在 B 中， ， ， ，则由线面平行的性质定理得 ，故 B 正确；= / /在 C 中， ， ， ，则 与 相交或平行，故 C 错误； 在 D 中， ， ，则 m 与 n 平行或异面，故 D 错误/故选：B在 A 中，n 与 相交、平行或 ；在 B 中，由线面平行的性质定理得 ；在 C 中， /与 相交或平行；在 D 中，m 与 n 平行或异面 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数表结合思想，是中档题10. 三棱锥 中， 平面 ABC， ， 的面积为 2，则三棱锥 =30 的外接球体积的最小值为 (
9、 )A. B. C. D. 443 64 323【答案】D【解析】解：设 ，由于 平面 ABC， 平面 ABC， ，则= 的面积为 ，则 ， =12=2 =4由正弦定理知， 的外接圆直径为 ， 2= 30=2所以，三棱锥 的外接球直径为 ， 2=2+(2)2=162+42216242=4当且仅当 ，即当 时，等号成立，则 162=42 =2 2所以，该三棱锥 的外接球的体积为 4334323=323因此，三棱锥 的外接球体积的最小值为 323故选：D先证明 ，并设 ，利用 的面积得出 ，然后利用正弦定理得 = =4出 的外接圆直径 2r 的表达式，并利用公式 并结合基本不等式 2=2+(2)2
10、第 5 页，共 13 页可得出外接球半径的最小值，最后利用球体体积公式可得出答案本题考查球体体积的计算，考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题11. 在 中， ， ，则 的最大值为 =2 =6 +3 ( )A. B. C. D. 47 37 27 7【答案】A【解析】解： 中， ， ，=2 =6则： ，2=4则： ，+3，=4+43，=4(56)+43，=2+63，=47(+)由于： ，01 ()2 ( )A. B. C. D. 1,2 0,2 1,+) 0,+)【答案】D【解析】解：当 时， 的可变形为 ， ，1 212 11 00
11、1当 时， 的可变形为 ，1 122 12，1故答案为 0,+)故选：D分类讨论： 当 时； 当 时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后1 1求出它们的并集即可本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解第 6 页，共 13 页二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 曲线 在点 处的切线的斜率为_=1 (1,(1)【答案】 +1【解析】解：曲线 ，可得 ，=1 =+12所以曲线 在点 处的切线的斜率为： =1 (1,(1) |=1=+1故答案为： +1求出函数的导数，代入 ，得到切线的斜率即可=1本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力14
12、. 若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为_102+100 =2+【答案】 1【解析】解：画出约束条件 表示的平面区域如图所示，102+100 由图形知，当目标函数 过点 A 时取得最小值，=12+由 ，解得 ，=01=0 (0,)代入计算 ，=0+(1)=1所以 的最小值为 =12+ 1故答案为： 1画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数 的最=12+小值本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题15. 设双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 l 交双曲线左支于2926=1 1 2 1A，B 两点，则 的最小值等于_|2|+|2|第 7
13、 页，共 13 页【答案】16【解析】解：根据双曲线 ，得： ， ，2926=1 =3 =6由双曲线的定义可得： ，|2|1|=2=6，|2|1|=2=6可得： ，+ |2|+|2|(|1|+|1|)=12过双曲线的左焦点 的直线交双曲线的左支于 A，B 两点， 1，当 是双曲线的通径时 最小|1|+|1|=| |2|+|2|(|1|+|1|)=|2|+|2|=12|2|+|2|=|+1222+12=263+12=16故答案为：16根据双曲线的标准方程可得： ， ，再由双曲线的定义可得：=3 =6， ，所以得到|2|1|=2=6 |2|1|=2=6，再根据 A、B 两点的位置特征得到答案|2|
14、+|2|(|1|+|1|)=12本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用16. 圆锥底面半径为 1，高为 ，点 P 是底面圆周上一点，则一动点从点 P 出发，绕22圆锥侧面一圈之后回到点 P，则绕行的最短距离是_【答案】 33【解析】解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即 2圆锥的母线长为 扇形的圆心角 ， 3.23一动点从点 P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是： 2332=33故答案为： 33利用圆锥的侧面展开图，确定扇形的圆心角，即可求得结论本题考查旋转体表面上的最短距离，考查学生的计算能力，属于基础题三、解答题
15、（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知等差数列 的首项 ，且 、 、 构成等比数列 1=1 2+1 3+1 4+2求数列 的通项公式(1) 设 ，求数列 的前 n 项和(2)=2+1 【答案】解： 等差数列 的首项 ，公差设为 d，(1) 1=1、 、 构成等比数列，可得2+1 3+1 4+2，(3+1)2=(2+1)(4+2)第 8 页，共 13 页即为 ，(2+2)2=(2+)(3+3)解得 或 ，=2 1当 时， ，不成立，舍去，=1 2+1=0则 ， ，=2 1=1可得 ；=21，(2)=2+1= 2(21)(2+1)= 121 12+1前 n 项和 =113+1315+
16、 121 12+1=112+1=22+1【解析】 设公差为 d，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得(1)公差 d，即可得到所求通项公式；求得 ，由数列的裂项相消求和，化简计算可(2) =2+1= 2(21)(2+1)= 121 12+1得所求和本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题18. 某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试方式二：周六一天培训 4 小时，周日测试公司有多个班组，每个班组 60 人，现任选两组 记为甲组、乙组 先培训；甲组选( )方式一，乙组选
17、方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周 第二周 第三周 第四周甲组 20 25 10 5乙组 8 16 20 16用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间 精确到 ，并据(1) ( 0.1)此判断哪种培训方式效率更高？在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人，(2)再从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中至少有 1 人来自甲组的概率【答案】解： 设甲乙两组员工受训的平均时间分别为 、 ，(1) 1 2则 小时 - 分1=205+2510+1015+52060 =10( ) (2)小时 - 分2=84+168+2012+161660
18、10.9() (4)据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为 10 小时和 小时，10.9因 ，据此可判断培训方式一比方式二效率更高 -100) +22=0， ，=|+22|2 =3 =2又 ， ，22=2 =3又 椭圆 E 的焦点在 x 轴上， 椭圆 E 的方程为： 23+2=1当直线 l 的斜率不存在时， ；(2) |=2当直线 l 的斜率存在时，设 l： ， =+1联立 ，得： ，=+123+2=1 (1+32)2+6=0， ，=0 =61+32，|=1+2|=1+2 6|1+32第 11 页，共 13 页，设 ，则|2=362(1+2)(1+32)2 1+32=1 2=
19、13记 ，()=4(2+2)2 =42(1)2+1+1，即 ， 时， 取得最大值 ，此时直线 l： 或1=14 =4 =1 |=() 922 =+1=+1【解析】 根据点到直线的距离列式求得 c，再求得 a；(1)根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值(2)本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题21. 已知函数 ()=+(+)若 ，求 的单调区间；(1)= ()当 时，记 的最小值为 m，求证： (2) 分01 (3)所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 分() (0,1) (1,+).(4)证明：由 得 的定义域是 ，(2) (1)() (0,+)，令 ，()=+1(+) ()=
20、+则 ， 在 上单调递增， 分()=(+1)0 ()(0,+) (5)因为 ，+=0故存在 ，使得 分0(0,) (0)=00+=0. (6)当 时， ， ， 单调递减；(0,0) ()0 ()0 ()故 时， 取得最小值，即 ，=0 () =(0)=00+(0+0)分(8)由 ，得 ，00+=0 =00+(00)=+()分(9)令 ， ，则 ，=0 ()=当 时， 0/， 单调递增，(0,1) ()=分(10)当 时， ， 单调递减，(1,+) ()=第 12 页，共 13 页分(11)故 ，即 时， 取最大值 1，故 分=1 =1 ()= 1. (12)【解析】 代入 a 的值，求出函数的
21、导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调(1)区间即可；求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间，得到(2)，令 ， ，根据函数的=00+(00)=+() =0 ()=单调性证明即可本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴非负半轴重合，直线 l的参数方程为： 为参数， ，曲线 C 的极坐标方程为：=1+( 0,)=4写出曲线 C 的直角坐标方程；(1)设直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，若 ，求直线 l 的斜率(2) |=15【答案】解： 曲线 C 的极坐标方
22、程为： (1) =4转换为直角坐标方程为： 2+2=4曲线 C 的直角坐标方程为 2+(2)2=4把 代入 ，(2)=1+ 2+2=4整理得 223=0设其两根分别为 和 ，1 2则 ， ，1+2=212=3得 ， ，|=|12|=(1+2)2412=42+12=15=32 =3或 23直线 l 的斜率为 3【解析】 直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转(1)换利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果(2)本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23. 设函数 ()
23、=|+1|+|2|求不等式 的解集；(1) ()3当 时， 恒成立，求 m 的取值范围(2)2,3()2+2+【答案】解： ，(1)()=|+1|+|2|=12,13,1221,2由 ，解得： ，()3 12故不等式的解集是 ；|12第 13 页，共 13 页当 时， ，(2)2,3()=21由 ，得 ，()2+2+ 212+2+即 在 恒成立，21 2,3故 ，3即 m 的范围是 (,3【解析】 通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可；(1)问题转化为 在 恒成立，求出 m 的范围即可(2) 21 2,3本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及转化思想，分类讨论思想，是一道常规题