1、第 1 页，共 13 页广东省江门市 2019 年高考模拟（第一次模拟）考试数学（文科）试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. R 是实数集， ， ，则 =|30,0) ( )A. B. C. D. =2 =12 =2 =22【答案】D【解析】解：抛物线 的准线： ，双曲线2=12 =3222232=1(0,0)的左焦点 ，(22+32,0)可得： 可得 ，解得 ，3=22+32. 32=2 =3双曲线的渐近线方程为： =32=22故选：D求出抛物线的准线方程，求出双曲线的焦点坐标，然后推出 mn 的关系，然后求解双曲线的渐近线方程本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用
2、，考查转化思想以及计算能力5. “ ”是“两直线 和 平行”的 =2 +3+2=0 2+(+1)2=0 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：两直线 和 平行的充要条件为+3+2=0 2+(+1)2=0，即 或 ，(+1)=23(2)22 =2 =3又“ ”是 “ 或 的充分不必要条件，=2 =2 =3即“ ”是 “两直线 和 平行”的充分不必要=2 +3+2=0 2+(+1)2=0条件，故选：A由两直线 和 平行的充要条件为+3+2=0 2+(+1)2=0，即 或 ，(+1)=23(2)22 =2 =3再判断“ ”与“
3、 或 的充要性即可得解=2 =2 =3本题考查了两直线平行的充要条件，属简单题6. 中， ， ， ， ，垂足为 D，则 =90 =3 =4 =( )A. B. C. D. 47+37 37+47 1625+925 925+1625第 3 页，共 13 页【答案】C【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，可得： ，(0,0)， ，(0,3)(4,0)由图可知： ，解得：=，=+(1)=(44,3)又 ，=(4,3)所以 ，4(44)+(3)3=0，=1625所以 ，=1625+925故选：C由平面向量基本定理、向量共线及垂直的运算得： ，解得：=，又 ， 所以=+(1)=(44,3)=(4,3)，
4、 ，所以 ，得解4(44)+(3)3=0 =1625 =1625+925本题考查了平面向量基本定理及向量共线、垂直的运算，属中档题7. 、 、 、 、 成等差数列，公差是 5，这组数据的标准差为 1 2 3 4 5 ( )A. 50 B. C. 100 D. 1052【答案】B【解析】解： 、 、 、 、 成等差数列，公差是 5，1 2 3 4 5这组数据的标准差为：15(10)2+(5)2+52+102=52故选：B利用等差数列的性质、标准差公式直接求解本题考查标准差的求法，考查等差数列的性质、标准差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8. 正方体的平面展开图如图，AB、CD、EF、G
5、H 四条对角线两两一对得到 6 对对角线，在正方体中，这 6 对对角线所在直线成 角的有 60 ( )A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对【答案】D第 4 页，共 13 页【解析】解：根据题意，如图为平面展开图对应的正方体，其中 AB 与 GH、AB 与 EF、GH 与CD、EF 与 CD 所成的角为 ，60共有 4 组；故选：D根据题意，作出平面展开图对应的正方体，分析其中 6 条对角线所在直线成 角的60情况，综合即可得答案本题考查正方体的几何性质，涉及异面直线所成的角，属于基础题9. 函数 在区间 上的零点的个数是 ()=2 10,10 ( )A. 10 B. 20 C
6、. 30 D. 40【答案】A【解析】解：画出图象函数 和 的图象，根据图象可得函数=2 =在区间 上的零点的个数是 10，()=2 10,10故选：A画出函数 和 的图象，通过图象读出即可=2 =题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题10. 能把圆 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数 已知2+2=9 .函数： ； ； ； ，=1 = 14+112 =(20,0)则 有 1+1 ( )A. 最大值 9 B. 最大值 18 C. 最小值 9 D. 最小值 18【答案】C【解析】根据 ，可得点 满足的图形为 、 、|+|+|=2 (,) (1,1)(1,1
7、)、 为顶点的正方形，可知 ， 时 取得最大值，(1,1)(1,1) =1 =1 =4+故 ，所以 ，当 取得4+=11+1=(1+1)(4+)=5+4+9 =16,=13故选：C根据 ，求出点 满足的图形，根据 的最值，求出|+|+|=2 (,) =4+a，b 的关系，再根据基本不等式求解本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）12. 是定义在 R 上的奇函数，若 时， ，则() 0 ()=2(1+)_(3)=【答案】 2【解析】解：根据题意， 时， ，则 ，0 ()=2(1+) (3)=24=2又由 是定义在 R 上的奇函数，则 ；() (
8、3)=(3)=2故答案为：2根据题意，由函数的解析式求出 的值，结合函数的奇偶性分析求出 的值，(3) (3)即可得答案本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意利用函数奇偶性的定义进行分析，属于基础题第 6 页，共 13 页13. 在直角坐标系 Oxy 中，直线 与坐标轴相交于 A、B 两点，则经过24=1O、A、B 三点的圆的标准方程是_【答案】 (1)2+(+2)2=5【解析】解：在直角坐标系 Oxy 中，直线 与坐标轴相交于 A、B 两点，24=1、 ，(2,0)(0,4)则经过 O、A、B 三点的圆的圆心为直角三角形 AOB 的斜边 AB 的中点 ，(1,2)半径为 AB 的一半，即 ，
9、=|2=5则经过 O、A、B 三点的圆的标准方程是 ，(1)2+(+2)2=5故答案为： (1)2+(+2)2=5先求出 A、B 的坐标，根据圆心为直角三角形 AOB 的斜边 AB 的中点 C，半径为 AB的一半，写出圆的标准方程本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题14. 数列 、 中， ， ，且 、 、 成等差数列，则数列 =2 +1的前 n 项和 _ =【答案】 323【解析】解：数列 、 中， ， ，且 、 、 成等差数列， =2 +1则： ，2=2+2+1所以： ，=322所以： ，=32(21+22+23+2)=32(2+12)=323故答案为： 323
10、首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前 n 项和公式求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前 n 项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型15. 在直角坐标系 Oxy 中，记 表示的平面区域为 ，在 中任取一点0201 ， 的概率 _(0,0) 3001 =【答案】45第 7 页，共 13 页【解析】解：由约束条件 作出可行域如图，0201作出直线 ，区域 表示三角形 OAB，满足 的点 在三角形3=1 3001 (0,0)ABC 内，联立 ，解得 ，2=0=1 (2,1)联立 ，解得 ，2=03=1 (25,15)， ，|=5
11、 |=55=45的概率 3001 =45故答案为： 45由约束条件作出可行域，求出满足 的点 M 所在区域，再由测度比是面积比3001得答案本题考查简单的线性规划，考查几何概型概率的求法，是中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）16. 平面四边形 ABCD 中，边 ， ，对角线 =5 =8 =7 求内角 C 的大小；( ) 若 A、B 、C、D 四点共圆，求边 AD 的长( )【答案】解： 在 中， 分 列式 分 ，计算 1 分( ) =2+222=12(3)( (2)分=3(5) 因为 A、B、C、D 四点共圆，所以 分( ) =23(6)在 中， 分2=2+22(8)，解
12、得 或 分49=25+2+5 =3 =8(11)，所以， 分0 =3(12)第 8 页，共 13 页【解析】 利用余弦定理，真假求内角 C 的大小；( ) 、 B、C 、D 四点共圆，求出 A，然后利用余弦定理，转化求解即可( )本题考查余弦定理的应用，考查计算能力17. 如图，三棱柱 的底面 ABC 是等边三角形，111侧面 ， 1111 1=45 求证： ；( ) 1 、N 分别是棱 、 上一点，若( ) 1 1， ，求四棱锥1=2=2 =1=12的体积【答案】 证明：作 ，垂足为 D，连接 CD 因为( ) 1面 ， ，所以1111 1111=1分11(1)，所以 分11 (2)不妨设
13、的边长为 a，因为 ， 1=45所以 ，由 得， 分=22 =22(3)因为 ，所以 分2+2=2=2 (4)因为 ，所以 平面 分= 1 (5)平面 ACD，所以 分 1(6) 解： 方法一 由 知 ， 分( ) ( ) ( ) 1 =12(+)=2(8)由 知 平面 ACD， 平面 ACD，所以侧面 平面 分( ) 1 1 11 (9)在 中，作 ，垂足为 E，则 面 分 11(10)DE 是等腰直角 斜边上的高， 分 =12=22(11)四棱锥 的体积 分=13=13=13(12)方法二 连接 AN，三棱锥 的体积 分( ) 1=13(7分 分)=12=34(8)1=13341=14(9
14、)同理可得，三棱锥 的体积 分 2=13=112(11)四棱锥 的体积 分=1+2=13(12)第 9 页，共 13 页【解析】 作 ，垂足为 D，连接 CD 证明 ， ，证明( ) 1 11 ，即可证明 平面 ACD，推出 1 1 方法一 推出侧面 平面 ACD，作 ，垂足为 E，则 面 ，( )( ) 11 11然后求解四棱锥 的体积方法二 连接 AN，三棱锥 的体积，同理可得，三棱锥 的体积，然后( ) 求解即可本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力18. 随着生活质量不断提高，人们越来越重视身材保养 根据统计，我国大多数男性体.重 与身高 之间近似满足
15、关系式 、c 为大于 0 的常数 按照某() () =( ).项指标测定，当体重与身高的比值在区间 内时为优等身材 现随机抽取(0.36,0.38) .6 位成年男性，测得数据如下：体重 () 57 61 63 65 68 77身高 () 163 167 170 177 181 185体重与身高的比 0.3500.3650.3710.3670.3760.416 从抽取的 6 位男性中再随机选取 2 位，求恰有一位优等身材的概率；( ) 对测得数据作如下处理： ， ，得相关统计量的值如表：( ) = =6=16=16=1()() 6=1()225.03530.943 0.024 0.012根据所
16、给统计量，求 y 关于 x 的回归方程；(1)已知某成年男性身高为 180cm，求其体重的预报值 结果精确到(2) .( 0.1)参考公式和数据：对于样本 2， ， ，其回归直线 的斜(,)(=1, ) =+率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，=1()()=1()2 =1=122； = 6.1420.00215【答案】解： 已知 6 位成年男性中，优等身材有 4 位，( )记为 、 、 、 ，另外两位记为 、 ，从中选取 2 位，不同的选取结果有：1 2 3 4 1 2、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、12 13 14 32 42 34 11 12 12 22 31 32、 、 、
17、，共 15 种 分41 42 12 (2)恰有一位优等身材的结果有：、 、 、 、 、 、 、 ，共 8 种 分11 12 12 22 31 32 41 42 (4)因为随机选取，不同结果等可能，所以恰有一位优等身材的概率 分=815.(5)第 10 页，共 13 页 由 得， 分( )(1)= =+(6)由 、 得， ，其中 分= = =+ =(7)由已知公式和数据得， 分=0.0240.012=2(8)， 分=25.035230.9436 6.142=6.1420.00215(9)所求 y 关于 x 的回归方程为 分=0.002152(10)由 得，当 时， 分(2)(1) =180 =0
18、.002151802=69.6669.7(11)答：预测这个成年男性体重为 分69.7(12)【解析】 已知 6 位成年男性中，优等身材有 4 位，记为 、 、 、 ，另外两( ) 1 2 3 4位记为 、 ，从中选取 2 位，利用列举法能求出恰有一位优等身材的概率1 2 由 得， ，由 、 得， ，其中( )(1)= =+= = =+，由此能求出 y 关于 x 的回归方程=当 时， ，由此能预测这个成年男性体重(2)=180 =0.002151802=69.66本题考查概率的求法，考查回归直线方程的求法及应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19. 在直角坐标系 O
19、xy 中，椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是 22 (1,0) 求椭圆的标准方程；( ) 是椭圆与 y 轴负半轴的交点，经过 F 的直线 l 与椭圆交于点 M、N ，经过 B( )且与 l 平行的直线与椭圆交于点 A，若 ，求直线 l 的方程|=2|【答案】解： 设椭圆的标准方程为 分( )22+22=1(0)(1)依题意， ， 分=1 =22(2)所以 ， ，=2 2=22=1所求椭圆的标准方程为 分22+2=1(3) 因为 ，所以 MN 与 x 轴不垂直，设直线 l 的方程为( ) |=2|分=(+1)(4)由 得， 分22+2=1=(+1) (2+12)2+22+21=0(5)设
20、、 ，则 ， 分(1,1) (2,2) 1+2=4222+1 12=22222+1(6)分|12|=(1+2)2412=8(2+1)22+1(7)依题意，直线 AB 的方程为 分=1(8)设 、 ，同理可得， 分(3,3) (4,4) |34|=|4|22+1(10)因为 ，所以 分|=2| 2+1|12|=2(2+1)|34|(11)从而 ， ，直线 l 的方程为 分8(2+1)=2|4|=33 =33(+1)(12)第 11 页，共 13 页【解析】 设椭圆的标准方程为 ，求出 c，利用 e 求解 a，然后( )22+22=1(0)求解椭圆的标准方程 因为 ，所以 MN 与 x 轴不垂直，
21、设直线 l 的方程为( ) |=2|，联立直线与椭圆方程，设 、 ，利用韦达定理，直线 AB=(+1) (1,1) (2,2)的方程为 ，设 、 ，转化求解即可=1 (3,3) (4,4)本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力20. 已知函数 ， 是常数()=+122 证明：曲线 在 处的切线经过定点；( ) =()=1 证明：函数 有且仅有一个零点( ) ()【答案】解： 分( )()=1+(1)曲线 在 处的切线为 分=()=1 (1)=(1)(1)(2)即 ， 当 时， ，(12)=(2)(1)=(2)32 =0 =32即切线过定点 分(0,32)(3) 当 时，
22、分( )(1)2 ()=1+20(4)单调递增，根据对数函数与幂函数性质，()当 x 是充分小的正数时， ，()0 () (6)当 时，解 得， ， (2)2 ()=1+=0 1=242 2=+242x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+)()+ 0 0 +() 极大值 极小值 分 ，(8)(1)=242 +12(242 )22242 =242 18(24)21其中 ，所以 分242 = 2+24 (0)=0+120(02)0所以， 在区间 有零点 分() (2,0) (11)由 的单调性知， 在区间 有且仅有一个零点() () (2,+)综上所述，函数 有且仅有一个零点 分() (12
23、)【解析】 求出函数的导函数，求出切线的斜率，推出切线方程，然后求解直线经( )过的定点第 12 页，共 13 页 当 时， ，判断函数的单调性，推出零点的个( )(1)2 ()=1+20数当 时，解 得， ， ，利用函数的单(2)2 ()=1+=0 1=242 2=+242调性结合函数的极值，求解函数的零点本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力21. 在直角坐标系 Oxy 中，曲线 ： 为参数 ，以 O 为极点，x 轴的正半1 =4+4=4( )轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 2 244=0 分别求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程
24、；( ) 1 2 是曲线 和 的一个交点，过点 P 作曲线 的切线交曲线 于另一点 Q，求( ) 1 2 1 2|【答案】解： 由 得，曲线 的普通方程为 ( ) 2+2=1 1 (4)2+2=16由 、 得，曲线 的直角坐标方程为 ，2=2+2 = 2 2+244=0 解 得， ， ( ) (4)2+2=162+244=0 =1 =7根据圆的对称性，不妨设 ，(1,7)则 ， 1=73 =37直线 PQ 的方程为 ，7=37(1)即 37+4=0圆心 到直线 PQ 的距离 ，2(2,0) =|32+4|9+7=52所以， |=28254=7【解析】 直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和
25、极坐标方程之间进行转( )换 利用点到直线的距离公式求出结果( )本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离的公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型22. 已知函数 ， ， ， 是常数()=|()=|4|+ 解关于 x 的不等式 ；( ) (|)+30 若曲线 与 无公共点，求 m 的取值范围( ) =()=(12)【答案】解： 依题意， 分( ) (|)+3=|4|+3(1)由 ，(|)+3=|4|+30得， 分|4|1 1 8,12+4,08,32+4,0.(8)的最小值为 4，所以 ，() 4即 m 的取值范围是 分(,4)(10)【解析】 得到关于 的不等式，求出 x 的范围即可；( ) | 令 ，求出 的分段函数的形式，求出 的最小值，从而求( ) ()=|+|124| () ()出 m 的范围即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题