1、高三数学（文）试题第 1 页（共 15 页）2019 年石景山区高三统一测试数 学（文）本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合 ， ，则下列关系中正确的是|1PxR ,2QA. PQ B. P QC. Q PD. PQR2. 设 是虚数单位，若复数 ，则复数 的模为i 1izzA. 1B. 2C. 3D. 23. 某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为A.
2、2B. 4C. 6D. 124. 若 ，则下列各式中一定正确的是0xyA. sinB. ln()xyC. exyD. 1xy正（主）视图 侧（左）视图俯视图高三数学（文）试题第 2 页（共 15 页）5. 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的 ，2,1nx依次输入的 为 1，2，3，运行程序，a输出的 的值为sA. 1B. 2C. 3D. 66. 已知平面向量 ，则 是 与 同向的(,2)(1,)akbkR 2abA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知 ，则2()sin)5fx(0)1(
3、2)3(2019)fffA. 0B. C. 0D. 8. 当 ,1时，下列关于函数 2ymx的图象与 的图象交点个yxm数说法正确的是A. 当 时，有两个交点0,1mB. 当 时，没有交点,2C. 当 时，有且只有一个交点,3是否 输入 ,nx开始结束kn0,ks输入 a1sx输出 s 出fdnjfnnn2a1n高三数学（文）试题第 3 页（共 15 页）D. 当 时，有两个交点3,m高三数学（文）试题第 4 页（共 15 页）第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9. 在平面直角坐标系 中，角 和角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称.xOy
4、Oxx若 ，则 =_1sin3sin10. 若变量 满足约束条件 则 的最小值为_.,xy1,xy 2zxy11. 已知抛物线 的准线为 ， 与双曲线 的渐近线分别交于2(0)pxl214两点若 ，则 _ ,AB|412. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏在某种玩法中，用 表示na解下 个圆环所需的最少移动次数，已知 ，*(9,)nN 1a，则解下 个圆环所需的最少移动次数 为_12,na4413. 已知集合 ，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集5,2,A与集合 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是_14. 在直角坐标系 中，点 和点 是单位圆 上两点，xOy1,Axy2
5、,Bxy21xy，则 =_； 的最大值为 _ =1AB12|n 为偶数n 为奇数高三数学（文）试题第 5 页（共 15 页）三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. （本小题 13 分）设数列 的前 项和为 ，若 且 （ ， ） nanS12a12nSn *N（）求 ；S（）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 nb2nanbnT16.（本小题 13 分）在 中，角 的对边分别为 ， ， ， ABC ， ， abc， ， 23=c1os3B=（）求 的值； sin（）求 的面积17. （本小题 14 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且四边形 为矩EA
6、BCDABEABCD形 ， ， ， 分别为 的中点90BA=42=F,GH,（）求证： 平面 ；（）求证：平面 平面 ；FGHAE（）在线段 求一点 ，使得 ，并求出 的值DEPFAPHFGCBDE A高三数学（文）试题第 6 页（共 15 页）18. （本小题 13 分）已知某单位全体员工年龄频率分布表为:年龄（岁） 25, 30）30, 35）35, 40）40, 45) 45, 50）50, 55）合计人数（人） 6 18 50 31 19 16 140经统计，该单位 35 岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如下：（）求 ；a（）求该单位男女职工的
7、比例；（）若从年龄在25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率25 30 35 40 45 50 55 年龄（岁）0.0250.040.08频 率组 距0.01a高三数学（文）试题第 7 页（共 15 页）19.（本小题 13 分）设函数 ， ()e2xaf0（）若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；y(1,)fxa（）当 时，函数 的图象恒在 轴上方，求 的最大值1xx20 （本小题满分 14 分）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，左顶点为 ，2:1(0)xyCab12(,0)FcA右顶点 在直线 : 上Bl（）求椭圆 的方程；（）设点 是椭圆
8、 上异于 ， 的点，直线 交直线 于点 ，当点 运动时，PABAPlDP判断以 为直径的圆与直线 PF的位置关系，并加以证明D高三数学（文）试题第 8 页（共 15 页）2019 年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B C D D C A B二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 5分，共 30分 9 ； 10 ； 11 ； 131812 ； 13 ；（答案不唯一） 14 ， 7(4)60x34三、解答题：本大题共 6个小题，共 80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤1
9、5 （本小题 13 分）解：（）因为 （ ， ） ， 12nSn *N所以 （ ， ） na2又因为 ，12所以 （ ） na*N所以 2()Sn（） ， 24nab所以 13nnT高三数学（文）试题第 9 页（共 15 页）16 （本小题 13 分）解：()在 中， ，ABC 1cos3= ， 22sin1()= ， ，3bc由正弦定理 得 ， siniBC23sin 6si3C=（）由余弦定理 得 ， 22+cosbaB211+93()=a ，20a解得 或 （舍） 1=3 sin2ABCSc 1317 （本小题 14 分）（）证明：在矩形 中， ， ABCDAB 分别为 的中点，FG，
10、E， ，且 ， 12= ， CD 平面 ， 平面 ，FHFGH 平面 G（）证明：在矩形 中， ，ABDAB又 ，90E高三数学（文）试题第 10 页（共 15 页） ，又ABEDA= 平面 ， 又 /GF 平面 ， AE 平面 ，H平面 平面 D（）解：作 于 ， P 平面 ，GFAE且 平面 ， ， 分别为 的中点，,HAE,D GP ，F= 平面 ， A 平面 ，H ， PF矩形 平面 ，且平面 平面 ，ABCDEABCDE=AB 平面 ， E 平面 ， 在直角三角形 中， ， ，可求得 A4E=2A45AP18 （本小题 13 分）解：（）由男职工的年龄频率分布直方图可得： (0.14
11、.0825.0)1a所以 2高三数学（文）试题第 11 页（共 15 页）（）该单位25, 35)岁职工共 24 人，由于25, 35)岁男女职工人数相等，所以 25, 35)岁的男职工共 12 人 由（）知，男职工年龄在25, 35)岁的频率为 ，0.15所以男职工共有 人， 1280.5所以女职工有 人， 4=6-所以男女比例为 3（）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在25, 30)岁的频率为 0.5由（）知，男职工共有 80 人，所以男职工年龄在25, 30)岁的有 4 人，分别记为 1234,A又全体员工年龄在25, 30)岁的有 6 人，所以女职工年龄在25, 30)岁的
12、有 2 人，分别记为 12,B从年龄在 2530 岁的职工中随机抽取两人的结果共有 121314()()()AA， ， ， ， ， ，112324212342()()()()()()AAABB， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，种情况， 441BB， ， ， ， ， 5其中一男一女的有 12123132()()()()()()A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，种情况， 4142()()A， ， ， 8所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为 81519 （本小题 13 分）解：（） ，2)(axef， fx， ae)1(高三数学（文）试题第 1
13、2 页（共 15 页）由题设知 ，即 ，解得 0)1(f0aee经验证 满足题意。ea（）方法一： 令 ，即 ，则 ， 0fxxealn（1）当 时，即ln1e对于任意 有 ，故 在 单调递减； ,l0fxfx,lna对于任意 有 ，故 在 单调递增， ,xa,1因此当 时， 有最小值为 成立 lnfx3lnln02a（2 ）当 时，即l1ae对于任意 有 ，故 在 单调递减， ,x0fxfx,1所以 ()ff因为 的图象恒在 轴上方，xx所以 ，10f因为 ，所以 ，即 ， x10f2ae综上， 的最大值为 a2e方法二：由题设知，当 时， ， x02xaf（1）当 时， 12x12a高三数
14、学（文）试题第 13 页（共 15 页）设 ，则 ， 12xeg221301xxeeg故 在 单调递减，x0,因此， 的最小值大于 ，所以 . g12ge2ae（2）当 时， 成立 1x20fx（3）当 时， ，12eax因为 ，所以当 时 成立 102xee12xa综上， 的最大值为 a20 （本小题 14 分）解：（）依题可知 ， (0)Ba， 2因为 ，12ce所以 3b故椭圆 的方程为 C214xy（）以 为直径的圆与直线 相切 BDPF证明如下：由题意可设直线 的方程为 A(2)0ykx则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 ， 24)k（ ， BE（ ，由 2(,13yx得 22(4)6
15、10kk 高三数学（文）试题第 14 页（共 15 页）设点 P的坐标为 0(,)xy，则201634kx所以206834kx， 02() 因为点 F坐标为 (1, )， 当 2k时，点 P的坐标为 3(, )2，直线 的方程为 ，PF1x点 D的坐标 为 (, )此时以 B为直径的圆 22(1)xy与直线 相切 当 12k时，直线 PF的斜率 024PFkkx所以直线 的方程为 24(1)y,即 10yk故点 E到直线 的距离2222144| 1| |()()kkd（或直线 PF的方程为 ,2244011kkxy故点 E到直线 的距离2281461()kkd3284|k）又因为 ，故以 BD
16、为直径的圆与直线 PF相切kRBD综上得，当点 运动时，以 为直径的圆与直线 相切 P解法二:（）以 为直径的圆与直线 F相切 高三数学（文）试题第 15 页（共 15 页）证明如下: 设点 ,则0()Pxy2001()43y 当 时,点 的坐标为 (, )，直线 的方程为 ， 01xPF1x点 D的坐标为 (2 )， 此时以 B为直径的圆 22(1)xy与直线 相切， 当 时直线 的方程为 ， 1xAP0x点 D 的坐标为 ,BD中点 E的坐标为 ,故 04(2,)yx02(,)y02|yBEx直线 PF的斜率为 , 01PFk故直线 的方程为 ,即 , 0()yx01xy所以点 E到直线 PF的距离 00020|2|1()yxdBEx故以 BD为直径的圆与直线 相切综上得，当点 运动时，以 BD为直径的圆与直线 PF相切 【若有不同解法，请酌情给分】