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北京市2019年石景山区高三统一测试文科数学试题(含答案)

1、高三数学(文)试题第 1 页(共 15 页)2019 年石景山区高三统一测试数 学(文)本试卷共 6 页,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后上交答题卡第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1. 已知集合 , ,则下列关系中正确的是|1PxR ,2QA. PQ B. P QC. Q PD. PQR2. 设 是虚数单位,若复数 ,则复数 的模为i 1izzA. 1B. 2C. 3D. 23. 某几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为A.

2、2B. 4C. 6D. 124. 若 ,则下列各式中一定正确的是0xyA. sinB. ln()xyC. exyD. 1xy正(主)视图 侧(左)视图俯视图高三数学(文)试题第 2 页(共 15 页)5. 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法,右图是实现该算法的程序框图,如输入的 ,2,1nx依次输入的 为 1,2,3,运行程序,a输出的 的值为sA. 1B. 2C. 3D. 66. 已知平面向量 ,则 是 与 同向的(,2)(1,)akbkR 2abA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知 ,则2()sin)5fx(0)1(

3、2)3(2019)fffA. 0B. C. 0D. 8. 当 ,1时,下列关于函数 2ymx的图象与 的图象交点个yxm数说法正确的是A. 当 时,有两个交点0,1mB. 当 时,没有交点,2C. 当 时,有且只有一个交点,3是否 输入 ,nx开始结束kn0,ks输入 a1sx输出 s 出fdnjfnnn2a1n高三数学(文)试题第 3 页(共 15 页)D. 当 时,有两个交点3,m高三数学(文)试题第 4 页(共 15 页)第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9. 在平面直角坐标系 中,角 和角 均以 为始边,它们的终边关于 轴对称.xOy

4、Oxx若 ,则 =_1sin3sin10. 若变量 满足约束条件 则 的最小值为_.,xy1,xy 2zxy11. 已知抛物线 的准线为 , 与双曲线 的渐近线分别交于2(0)pxl214两点若 ,则 _ ,AB|412. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏在某种玩法中,用 表示na解下 个圆环所需的最少移动次数,已知 ,*(9,)nN 1a,则解下 个圆环所需的最少移动次数 为_12,na4413. 已知集合 ,请写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集5,2,A与集合 有且只有一个公共元素,这个不等式可以是_14. 在直角坐标系 中,点 和点 是单位圆 上两点,xOy1,Axy2

5、,Bxy21xy,则 =_; 的最大值为 _ =1AB12|n 为偶数n 为奇数高三数学(文)试题第 5 页(共 15 页)三、解答题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15. (本小题 13 分)设数列 的前 项和为 ,若 且 ( , ) nanS12a12nSn *N()求 ;S()若数列 满足 ,求数列 的前 项和 nb2nanbnT16.(本小题 13 分)在 中,角 的对边分别为 , , , ABC , , abc, , 23=c1os3B=()求 的值; sin()求 的面积17. (本小题 14 分)如图,在四棱锥 中,平面 平面 ,且四边形 为矩EA

6、BCDABEABCD形 , , , 分别为 的中点90BA=42=F,GH,()求证: 平面 ;()求证:平面 平面 ;FGHAE()在线段 求一点 ,使得 ,并求出 的值DEPFAPHFGCBDE A高三数学(文)试题第 6 页(共 15 页)18. (本小题 13 分)已知某单位全体员工年龄频率分布表为:年龄(岁) 25, 30)30, 35)35, 40)40, 45) 45, 50)50, 55)合计人数(人) 6 18 50 31 19 16 140经统计,该单位 35 岁以下的青年职工中,男职工和女职工人数相等,且男职工的年龄频率分布直方图和如下:()求 ;a()求该单位男女职工的

7、比例;()若从年龄在25,30)岁的职工中随机抽取两人参加某项活动,求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率25 30 35 40 45 50 55 年龄(岁)0.0250.040.08频 率组 距0.01a高三数学(文)试题第 7 页(共 15 页)19.(本小题 13 分)设函数 , ()e2xaf0()若曲线 在点 处的切线与 轴平行,求 ;y(1,)fxa()当 时,函数 的图象恒在 轴上方,求 的最大值1xx20 (本小题满分 14 分)已知椭圆 的离心率为 ,右焦点为 ,左顶点为 ,2:1(0)xyCab12(,0)FcA右顶点 在直线 : 上Bl()求椭圆 的方程;()设点 是椭圆

8、 上异于 , 的点,直线 交直线 于点 ,当点 运动时,PABAPlDP判断以 为直径的圆与直线 PF的位置关系,并加以证明D高三数学(文)试题第 8 页(共 15 页)2019 年石景山区高三统一测试数学(文)试卷答案及评分参考一、选择题:本大题共 8个小题,每小题 5分,共 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B C D D C A B二、填空题:本大题共 6个小题,每小题 5分,共 30分 9 ; 10 ; 11 ; 131812 ; 13 ;(答案不唯一) 14 , 7(4)60x34三、解答题:本大题共 6个小题,共 80分解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤1

9、5 (本小题 13 分)解:()因为 ( , ) , 12nSn *N所以 ( , ) na2又因为 ,12所以 ( ) na*N所以 2()Sn() , 24nab所以 13nnT高三数学(文)试题第 9 页(共 15 页)16 (本小题 13 分)解:()在 中, ,ABC 1cos3= , 22sin1()= , ,3bc由正弦定理 得 , siniBC23sin 6si3C=()由余弦定理 得 , 22+cosbaB211+93()=a ,20a解得 或 (舍) 1=3 sin2ABCSc 1317 (本小题 14 分)()证明:在矩形 中, , ABCDAB 分别为 的中点,FG,

10、E, ,且 , 12= , CD 平面 , 平面 ,FHFGH 平面 G()证明:在矩形 中, ,ABDAB又 ,90E高三数学(文)试题第 10 页(共 15 页) ,又ABEDA= 平面 , 又 /GF 平面 , AE 平面 ,H平面 平面 D()解:作 于 , P 平面 ,GFAE且 平面 , , 分别为 的中点,,HAE,D GP ,F= 平面 , A 平面 ,H , PF矩形 平面 ,且平面 平面 ,ABCDEABCDE=AB 平面 , E 平面 , 在直角三角形 中, , ,可求得 A4E=2A45AP18 (本小题 13 分)解:()由男职工的年龄频率分布直方图可得: (0.14

11、.0825.0)1a所以 2高三数学(文)试题第 11 页(共 15 页)()该单位25, 35)岁职工共 24 人,由于25, 35)岁男女职工人数相等,所以 25, 35)岁的男职工共 12 人 由()知,男职工年龄在25, 35)岁的频率为 ,0.15所以男职工共有 人, 1280.5所以女职工有 人, 4=6-所以男女比例为 3()由男职工的年龄频率分布直方图可得:男职工年龄在25, 30)岁的频率为 0.5由()知,男职工共有 80 人,所以男职工年龄在25, 30)岁的有 4 人,分别记为 1234,A又全体员工年龄在25, 30)岁的有 6 人,所以女职工年龄在25, 30)岁的

12、有 2 人,分别记为 12,B从年龄在 2530 岁的职工中随机抽取两人的结果共有 121314()()()AA, , , , , ,112324212342()()()()()()AAABB, , , , , , , , , , , , , , , , , ,种情况, 441BB, , , , , 5其中一男一女的有 12123132()()()()()()A, , , , , , , , , , , ,种情况, 4142()()A, , , 8所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为 81519 (本小题 13 分)解:() ,2)(axef, fx, ae)1(高三数学(文)试题第 1

13、2 页(共 15 页)由题设知 ,即 ,解得 0)1(f0aee经验证 满足题意。ea()方法一: 令 ,即 ,则 , 0fxxealn(1)当 时,即ln1e对于任意 有 ,故 在 单调递减; ,l0fxfx,lna对于任意 有 ,故 在 单调递增, ,xa,1因此当 时, 有最小值为 成立 lnfx3lnln02a(2 )当 时,即l1ae对于任意 有 ,故 在 单调递减, ,x0fxfx,1所以 ()ff因为 的图象恒在 轴上方,xx所以 ,10f因为 ,所以 ,即 , x10f2ae综上, 的最大值为 a2e方法二:由题设知,当 时, , x02xaf(1)当 时, 12x12a高三数

14、学(文)试题第 13 页(共 15 页)设 ,则 , 12xeg221301xxeeg故 在 单调递减,x0,因此, 的最小值大于 ,所以 . g12ge2ae(2)当 时, 成立 1x20fx(3)当 时, ,12eax因为 ,所以当 时 成立 102xee12xa综上, 的最大值为 a20 (本小题 14 分)解:()依题可知 , (0)Ba, 2因为 ,12ce所以 3b故椭圆 的方程为 C214xy()以 为直径的圆与直线 相切 BDPF证明如下:由题意可设直线 的方程为 A(2)0ykx则点 坐标为 , 中点 的坐标为 , 24)k( , BE( ,由 2(,13yx得 22(4)6

15、10kk 高三数学(文)试题第 14 页(共 15 页)设点 P的坐标为 0(,)xy,则201634kx所以206834kx, 02() 因为点 F坐标为 (1, ), 当 2k时,点 P的坐标为 3(, )2,直线 的方程为 ,PF1x点 D的坐标 为 (, )此时以 B为直径的圆 22(1)xy与直线 相切 当 12k时,直线 PF的斜率 024PFkkx所以直线 的方程为 24(1)y,即 10yk故点 E到直线 的距离2222144| 1| |()()kkd(或直线 PF的方程为 ,2244011kkxy故点 E到直线 的距离2281461()kkd3284|k)又因为 ,故以 BD

16、为直径的圆与直线 PF相切kRBD综上得,当点 运动时,以 为直径的圆与直线 相切 P解法二:()以 为直径的圆与直线 F相切 高三数学(文)试题第 15 页(共 15 页)证明如下: 设点 ,则0()Pxy2001()43y 当 时,点 的坐标为 (, ),直线 的方程为 , 01xPF1x点 D的坐标为 (2 ), 此时以 B为直径的圆 22(1)xy与直线 相切, 当 时直线 的方程为 , 1xAP0x点 D 的坐标为 ,BD中点 E的坐标为 ,故 04(2,)yx02(,)y02|yBEx直线 PF的斜率为 , 01PFk故直线 的方程为 ,即 , 0()yx01xy所以点 E到直线 PF的距离 00020|2|1()yxdBEx故以 BD为直径的圆与直线 相切综上得,当点 运动时,以 BD为直径的圆与直线 PF相切 【若有不同解法,请酌情给分】