1、2019 年北京市大兴区孙村中学中考数学一模试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1下列运算中，正确的是（ ）A2a 2a 22 B（a 3） 2a 5 Ca 2a4a 6 Da 3 a2 a2二元一次方程组 的解是（ ）A B C D3不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）A BC D4二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据如图，在下列选项中指出白昼时长低于 11 小时的节气（ ）A惊蛰 B小满 C立秋 D大寒5如图是某款篮球架的示意图，已知底座 BC0.60 米，底座 BC 与
2、支架 AC 所成的角ACB 75，支架 AF 的长为 2.50 米，篮板顶端 F 点到篮框 D 的距离 FD1.35 米，篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角 FHE60，求篮框 D 到地面的距离（精确到 0.01 米）（参考数据：cos750.26，sin75 0.97，tan753.73， 1.73）（ ）A3.04 B3.05 C3.06 D4.406如图，在扇形 AOB 中，AOB90，点 C 为 OA 的中点，CEOA 交 于点 E，以点 C 为圆心，OA 的长为半径作半圆交 CE 于点 D，若 OA4，则图中阴影部分的面积为（ ）A3 B32 C 2 D 7黄帅拿一张正方形的
3、纸按如图所示沿虚线连续对折后剪去带直角的部分，然后打开后的形状是（ ）A B C D8为响应国家要求中小学生每天锻练 1 小时的号召，某校开展了形式多样的“阳光体育运动”活动，小明对本校部分同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的部分数据的条形统计图（图 1）和扇形统计图（图 2），根据图中的信息，下列结论：小明本次调查最合理的方式是选择不同的年级、不同班级的学生进行随机调查；在调查的学生中喜欢乒乓球的同学有 5 人；估计该校 2000 名学生中喜欢足球的学生有 400 人；小洪是该校的一名同学，那么他喜欢“其它”兴趣爱好的概率是 0.2其中正确的结论有（ ）A B C D9如图，任意转动
4、正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于 3 的数的概率是（ ）A B C D10如图，网格中的每个小正方形的边长为 1，如果把阴影部分剪拼成一个正方形，那么这个新正方形的边长是 （ ）A B C D3二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11若分式 的值为零，则 x 的值为 12已知 x1，x 2 是一元二次方程 x2+6x+10 的两实数根，则 2x1x 1x2+2x2 的值为 13如图，在ABC 和DEF 中，点 B，F，C，E 在同一直线上，BFCE，ABDE，请添加一个条件，使ABCDEF ，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）14如图，将三角
5、形 AOC 绕点 O 顺时针旋转 120得三角形 BOD，已知 OA4，OC1，那么图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）15从3、 、2、1、 这五个数中随机抽取一个数记为 a，a 的值既使关于 x 的方程ax23x 有整数解，又在函数 y 的自变量取值范围内的概率是 16如图，若点 M 是 y 轴正半轴上任意一点，过点 M 作 PQx 轴，分别交函数 y （x0）和y （x 0）的图象于点 P 和 Q，连接 OP 和 OQ以下列结论：POQ 不可能等于 90； ； 这两个函数的图象一定关于 y 轴对称； 若 S POMS QOM ，则 k1+k20；POQ 的面积是 （|k 1|+|k2|）
6、其中正确的有 （填写序号）三解答题（共 7 小题）17化简并求值：（ ） ，其中 x，y 满足|x+2|+（2x+y1） 2018若点 C（2，3）关于 x 轴的对称点为 A，关于 y 轴的对称点为 B，（1）在坐标系 xOy 中画出 ABC，并求ABC 的面积；（2）将ABC 向上移 2 个单位，再向右移 4 个单位得到A 1B1C1，画出A 1B1C1，并写出A1，B 1，C 1 的坐标19某加工厂有工人 60 名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓 14个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？20问题发现：如图 1
7、，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一直线上，连接 BE（1）求证：ACDBCE；（2）求证：CDBE拓展探究：如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACB DCE90，点 A、D、E 在同一直线上，连接 BE，求AEB 的度数21如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，3），B（5，9），已知抛物线的顶点 D 的横坐标是 2（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在 x 轴上是否存在一点 C，与 A，B 组成等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得PAB 的面积最大，并求
8、出这个最大值22甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分布被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差甲 7 b 7 c乙 a 7.5 8 4.2（1）写出表格中 a，b，c 的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？23如图，已知 A（2，0），B（4，0），抛物线 yax 2+bx1 过 A、B 两点，并与过 A 点的直线 y x1 交于点 C（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使四边形 ACPO 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标，若不存
9、在，请说明理由；（3）点 M 为 y 轴右侧抛物线上一点，过点 M 作直线 AC 的垂线，垂足为 N问：是否存在这样的点 N，使以点 M、N、C 为顶点的三角形与 AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由2019 年北京市大兴区孙村中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】分别根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法分别计算可得【解答】解：A、2a 2a 2a 2，此选项错误；B、（a 3） 2a 6，此选项错误；C、a 2a4a 6，此选项正确；D、a 3 a2 a 3（2） a1 ，此选
10、项错误；故选：C【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方2【分析】根据方程组的解法解答判断即可【解答】解：解方程组 ，可得： ，故选：B【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，知道二元一次方程组的解是两个方程的公共解是解题的关键，此外，本题还可以逐项解方程组3【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可【解答】解： ，由得， x1，由得， x2，故此不等式组得解集为：x2在数轴上表示为：故选：A【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组得解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键4【分析】根据函数的图象确定
11、每个节气白昼时长，然后即可确定正确的选项【解答】解：A、惊蛰白昼时长为 11.5 小时，高于 11 小时，不符合题意；B、小满白昼时长为 14.5 小时，高于 11 小时，不符合题意；C、立秋白昼时长为 14 小时，高于 11 小时，不符合题意；D、大寒白昼时长为 9.8 小时，低于 11 小时，符合题意，故选：D【点评】考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够读懂函数的图象并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大5【分析】延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AGFM 于 G，解直角三角形即可得到结论【解答】解：延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AGFM 于 G
12、，在 Rt ABC 中，tanACB ，ABBCtan750.603.7322.2392，GM AB2.2392，在 Rt AGF 中，FAGFHD 60，sin FAG ，sin60 ，FG2.17，DM FG+GMDF 3.05 米答：篮框 D 到地面的距离是 3.05 米故选：B【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型6【分析】连接 OE，根据 CEOA 且 OA4 可知 OC 2，求出 cosEOC ，由此可得出COE 的度数，进而得出BOE 的度数，根据 S 阴影 S 扇形 AOBS 扇形 ACDS
13、扇形 BOES COE即可得出结论【解答】解：连接 OE，如图所示：C 为 OA 的中点，CEOA 且 OA4，OC2，cosEOC ，CE 2 ，COE60AOB90，BOE30，S 阴影 S 扇形 AOBS 扇形 ACDS 扇形 BOES COE 22 2 故选：C【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求出COE 的度数是解答此题的关键7【分析】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力【解答】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从直角顶点处剪去一个直角三角形，展开得到结论故选 C【点评】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，
14、答案就会很直观地呈现8【分析】根据题目中的扇形统计图和条形统计图逐项分析即可【解答】解：根据用样本估计总体的基本思想，则小明本次调查最合理的方式是选择不同的年级、不同班级的学生进行随机调查是最有说服力的故正确；由从条形图中得出打篮球的人数是 20 人，踢足球的人数为 10 人，其他的人数为 15 人，从扇形统计图中得出打篮球的人数占总人数的比例为 40%，可求出总人数2040% 50 人，则打乒乓球的人数502015105 人，故正确；由条形统计图可知：40 个人中喜欢足球的学生有 10 人，所以所占的百分比为100%20%，所以估计该校 2000 名喜欢足球的有 200020%400 人，故
15、正确；因为喜欢篮球、足球、乒乓球的概率分别为 0.4、0.2、0.1，所以他喜欢“其它”兴趣爱好的概率是 0.3，故错误故选：A【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小9【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【解答】解：共 6 个数，大于 3 的有 3 个，P（大于 3） ；故选：D【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种
16、结果，那么事件 A 的概率 P（A） 10【分析】先计算出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义即可求出新正方形的边长【解答】解：S 阴影 S 正方形 +S 三角形 4+ 428；故剪下的阴影部分可以拼成的正方形的边长为 故选：C【点评】此题主要考查了算术平方根在实际中的应用能够正确的计算出阴影部分的面积是解答此题的关键二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11【分析】分式的值为零：分子 2|x |0，且分母 x+20【解答】解：根据题意，得2|x| 0，且 x+20，解得，x2故答案是：2【点评】本题考查了分式的值为零的条件若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为
17、 0；（2）分母不为 0这两个条件缺一不可12【分析】根据根与系数的关系解答【解答】解：依题意得：x 1+x26，x 1x21，所以 2x1x 1x2+2x22（x 1+x2）x 1x22（6）113故答案是：13【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法13【分析】根据等式的性质可得 BCEF ，根据平行线的性质可得BE，再添加 ABED 可利用 SAS 判定ABCDEF 【解答】解：添加 ABED ，BFCE，BF+FCCE+FC，即 BCEF，ABDE ，BE ，在ABC 和DEF 中 ，ABCDEF（SAS），故答案为：ABED
18、 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS 、HL注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角14【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积扇形 OAB 的面积扇形 OCD 的面积，利用扇形的面积公式即可求解【解答】解：AOCBOD阴影部分的面积扇形 OAB 的面积扇形 OCD 的面积 5，故答案为 5【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积扇形 OAB的面积扇形 OCD 的面积是解题关键15【分析】既使关于 x 的
19、方程 ax23x 有整数解，又在函数 y 的自变量取值范围内 a的值为 ，可直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：关于 x 的方程 ax23x 解为：x ，a 的值既使关于 x 的方程 ax23x 有整数解有 、2、1，函数 y 的自变量取值范围为：x 且 x2，又在函数 y 的自变量取值范围内的为：3、 、1，既使关于 x 的方程 ax23x 有整数解，又在函数 y 的自变量取值范围内 a 的值为，则既使关于 x 的方程 ax23x 有整数解，又在函数 y 的自变量取值范围内的概率是 ，故答案为： 【点评】本题考查的是随机事件概率的求法如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相
20、同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 16【分析】根据POQ 的变化规律可以断定 错误；根据 为正，而 为负可以断定错误；根据两个反比例函数的图象关于 y 轴对称时比例系数是互为相反数可以断定错误；根据反比例函数比例系数的几何意义可以断定和 正确【解答】解：点 M 接近点 O 时，POQ 接近 180，点 M 沿着 y 轴正方向运动的过程中，POQ 越来越小，越来越接近于 0，从接近 180到接近 0的过程中，必然存在POQ 等于90的情况，所以错误由图可知：k 10，k 20，则 0，而 0，所以错误反比例函数 y （x0）图象关于 y 轴对称的图象的解析式为
21、y （x0），仅当k2k 1 时，这两个函数的图象才关于 y 轴对称，所以错误因为 PQx 轴，x 轴y 轴，所以 PQy 轴所以 SPOM k1，S QOM k2若 SPOM S QOM ，则 k1 k2，即 k1+k20，所以正确由得：S POM ，S QOM 所以 SPOQ （|k 1|+|k2|）所以 正确故答案为：、 【点评】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，以及反比例函数图象与其比例系数符号的关系；本题还注重推理能力的考查，是一道好题三解答题（共 7 小题）17【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据非负数的性质列出关于 x、y的方程组，解之求得 x、y
22、的值，最后代入计算可得【解答】解：原式 ，|x +2|+（2x+y 1） 20， ，解得： ，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及非负数的性质18【分析】（1）根据网格结构找出点 C，再根据平面直角坐标系找出点 A、B 的位置，然后顺次连接即可，再根据三角形的面积公式列式计算；（2）根据网格结构找出平移后的点 A1，B 1，C 1 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出 A1，B 1，C 1 的坐标【解答】解：（1）ABC 如图所示，ABC 的面积 6412；（2）A 1B1C1 如图所示，A 1（2，5），B 1（6，1），
23、C 1（2，1）【点评】本题考查了利用平移变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键19【分析】本题的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数60；生产的螺栓的数量2生产的螺母的数量由此可列出方程组求解【解答】解：设应安排 x 人生产螺栓，有 y 人生产螺母由题意，得 ，解这个方程组得： ，答：应安排 25 人生产螺栓，35 人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组20【分析】（1）先证出ACDBCE，那么ACDBCE，根据全等三角形证出 ADBE；（2）由
24、（1）证得ACDBCE，得到ADCBEC 通过等量代换得到DCBEBC ，有内错角相等得到 CDBE；（3）证明ACDBCE，得出ADCBEC ，由DCE 为等腰直角三角形，得到CDECED45，因为点 A，D ，E 在同一直线上，得到ADC135，BEC135，于是得到AEBBEC CED90【解答】解：（1）ACB 和DCE 均为等边三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60，ACD60CDBBCE，在ACD 和BCE 中， ，ACDBCE（SAS）（2）由（1）证得ACDBCE，ADCBEC，CDE60，ADCBEC120，DCB60BCE，CBE 180BECECB60ECB，DCB
25、EBC，CDBE ；（3）AEB90，AEBE+2CM理由：ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90，ACDBCE，在ACD 和BCE 中，ACDBCE（SAS），ADBE，ADCBEC ，DCE 为等腰直角三角形，CDECED45，点 A，D，E 在同一直线上，ADC135，BEC135，AEB BECCED 90【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键21【分析】（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x 2，抛物线过是 A（0，3），则：函数的表达式为：y ax 2+bx3，
26、把 B 点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分 ABAC 、AB BC、 ACBC，三种情况求解即可；（3）由 SPAB PHxB，即可求解【解答】解：（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x 2，抛物线过是 A（0，3），则：函数的表达式为：yax 2+bx3，把 B 点坐标代入上式得：925a+5b3，联立 、 解得： a ，b ，c3，抛物线的解析式为：y x2 x3，当 x2 时，y ，即顶点 D 的坐标为（2， ）；（2）A（0，3），B（5，9），则 AB13，当 ABAC 时，设点 C 坐标（ m，0），则：（m） 2+（ 3） 213 2，解得：m 4 ，即点 C 坐标
27、为：（4 ，0）或（4 ，0）；当 ABBC 时，设点 C 坐标（ m，0），则：（5m） 2+9213 2，解得：m 5 ，即：点 C 坐标为（5 ，0）或（52 ，0），当 ACBC 时，设点 C 坐标（m ，0），则：点 C 为 AB 的垂直平分线于 x 轴的交点，则点 C 坐标为（ ，0），故：存在，点 C 的坐标为：（4 ，0）或（4 ，0）或（5 ，0）或（52 ，0）或（ ，0）；（3）过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，设：AB 所在的直线过点 A（0，3），则设直线 AB 的表达式为 ykx 3，把点 B 坐标代入上式，95k3，则 k ，故函数的表达式为：y x
28、3，设：点 P 坐标为（m， m2 m3），则点 H 坐标为（m， m3），SPAB PHxB （ m2+12m），当 m2.5 时，S PAB 取得最大值为： ，答：PAB 的面积最大值为 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系22【分析】（1）根据表格中的数据求出乙的平均成绩，找出甲的中位数，方差，确定出a，b，c 的值即可；（2）综合平均数，中位数，众数以及方差分析，确定出合适人选即可【解答】解：（1）乙的平均成绩 a （3+6+4+83+72+9+1
29、0 ）7（环）；甲射击的成绩从小到大从新排列为：5、6、6、7、7、7、7、8、8、9，甲射击成绩的中位数 b 7（环），其方差 c （57） 2+2（67） 2+4（77） 2+2（87） 2+（97） 2 （4+2+2+4）1.2；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为 7 环，从中位数看甲射中 7 环以上的次数小于乙，从众数看甲射中 7 环的次数多而乙射中 8 环的次数多，从方差看甲的成绩比乙成绩稳定，综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选乙参赛，因为获得高分的可能更多【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键23【分
30、析】（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为 PC+PO 最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形设出点 N 坐标，表示点 M 坐标代入抛物线解析式即可【解答】解：（1）把 A（2，0），B（4，0）代入抛物线 yax 2+bx1，得解得抛物线解析式为：y抛物线对称轴为直线 x（2）存在使四边形 ACPO 的周长最小，只需 PC+PO 最小取点 C（0，1）关于直线 x1 的对称点 C（2， 1），连 CO 与直线 x1 的交点即为P 点设过点 C、O 直线解析式为：ykxky则 P 点坐标为（1， ）（3）当AOCMNC 时，如图，延长 MN 交 y 轴于点
31、 D，过点 N 作 NEy 轴于点 EACONCD，AOCCND90CDNCAO由相似，CAOCMNCDNCMNMNACM、D 关于 AN 对称，则 N 为 DM 中点设点 N 坐标为（a， a1）由EDNOACED2a点 D 坐标为（0， ）N 为 DM 中点点 M 坐标为（2a， ）把 M 代入 y ，解得a0（舍去）或 a4a4则 N 点坐标为（4，3）当AOCCNM 时，CAO NCMCMAB 则点 C 关于直线 x1 的对称点 C即为点 M由（2）M 为（2，1）由相似 CN ，MN由面积法求 N 到 MC 距离为则 N 点坐标为（ ， ）N 点坐标为（4，3）或（ ， ）【点评】本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想