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高考数学命题热点名师解密专题:线性规划求解技巧(理)

1、专题 35 线性规划求解技巧一 【学习目标】1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线 性规划问题,并能加以解决2掌握确定平面区域的方法;理解目标函数的几何意义,注意线性规划问题与其他知识的综合二 【知识要点】1二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式 Ax By C0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax By C0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面),不包括边界直线不等式 Ax By C0 所表示的平面区域(半平面)包括边界直线(2)在平面直角坐标系中,设直线 Ax By C0( B

2、不为 0)及点 P(x0, y0),则若 B0, Ax0 By0 C0,则点 P(x0, y0)在直线的上方,此时不等式 Ax By C0 表示直线Ax By C0 的上方的区域若 B0, Ax0 By0 C0,则点 P 在直线的下方,此时不等式 Ax By C0 表示直线 Ax By C0 的下 方的区域若是二元一次不等式组,则其平面区域是所有平面区域的公共部分2线性规划相关概念名称 意义约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由 x, y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数 关于 x, y 的函数解析式可行解 满足线性约束条件的解可行域 所有可行解组成的集合线性目

3、标函数 目标函数是关于变量的一次函数最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值3.常见简单的二元线性规划实际问题一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来 完成该项任务 解线性规划问题的一般步骤:审题、设元列出约束条件 (通常为不等式组)建立目标函数作出可行域求最优解三解题方法总结1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法第一种:若用 ykxb 表示的直线将平面分成上下两部分不等式 区 域ykxb 表示直线上方的半平面区域ykx

4、b 表示直线下方的半平面区域第二种:用 AxByC0(B 0)表示的直线将平面分成上下两部分(B0 读者完成) 不等式 B0 B0AxByC0 表示直线上方的半平面区域 表示直线下方的半平面区域AxByC0 表示直线下方 的半平面区域 表示直线上方的半平面区域联系:将 AxByC0 表示的直线转化成 ykxb 的形式即是第一种.第三种:选特殊点判定(如原点),取一点坐标代入二元一次不等式(组),若成立,则平面区域包括该点,反之,则不包括.2.线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时,找出约束条件和目标函数是关键,一般步骤如下:作:确定约束条件,并在坐标系中作出可行域;移:由 zaxby 变

5、形为 y x ,所求 z 的最值可以看成是求直线 y x 在 y 轴上的截ab zb ab zb距的最值(其中 a,b 是常数,z 随 x,y 的变化而变化),将直线 axby0 平移,在可行域中观察使 最大zb(或最小)时所经过的点;求:求出取得最大值或最小值的点的坐标,并将其代入目标函数求得最大值和最小值;答:写出最后结论.(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域,也可以是一个封闭的多边形,若是一个多边形,目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.(3)若要求的最优解是整数解,而通过图象求得的是非整数解,这时应以与线性目标函数的距离为依据,在直线的附近寻求与此直线最近的整点,或者用 “

6、调整优值法”去寻求最优解.四典例分析例 1设 满足约束条件 ,则 的最大值是 A 0 B4 C5 D6【答案】D由 ,解得 ,即 ,此时 ,故选 D【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ;(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解) ;(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.学-科网-练习 1已知实数 x,y 满足 ,若不等式 axy0 恒成立,则实数 a 的取值范围为( )A (, ) B (4,) C

7、( ,4) D ( ,4)【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示:若 axy0 恒成立即 yax 恒成立,即平面区域在直线 yax 的下方即可即 A(1,4)在 yax 的 下方或在直线上即可,即 a4,故选:B练习 2若 满足 则 的最小值等于A B C D【答案】B【解析】由 , 满足 作出可行域如图,即为线段 AB,联立 ,解得 ,化目标函数 为 ,由图可知,当直线 过 A 时,直线在 轴上的截距最小,有最小值为 ,故选:B (二)含绝对值的不等式例 2. 设 ,xy满足约束条件 ,则 zxy的最大值是_ 【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示

8、由图形得,当 0,xy时, ,且当直线经过点 0,2A时 z有最大值 2,故可得z的最大值为 2答案:2 练习 1已知实数 x, y满足条件 ,则 2zxy的最小值为( )A 3 B 4 C 5 D 6【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图,目标函数可变形为 z=2x+y,即 2yxz,求截距的最小值,过点 C(2,1)时, min5z,选 C.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式:(1)截距型: ,与直线的截距相关联,若 0b,当 z的最值情况和 z 的一致;若 0b,当 z的最值情况和 z的相反;(2)斜率型: 与 ,xy的斜率,常见的变形: , .(3)点点距离型: 表示 ,x

9、y到 ,mn两点距离的平方;(4)点线距离型: 表示 ,xy到直线 的距离的 2ab倍.练习 2若实数 ,xy满足 ,则 21xy的取值范围是( )A 0,4 B 13 C 2,6 D 0,3【答案】A【解析】 作出不等式组表示的可行域如图令 2zxy ,则 ,则 12z 表示直线 在 轴上的截距,截距越大, 越大由题意可得 1A( , ) ,此时 1C( , )又可行域过点 B时, z最大, 过点 D时 z最小, ,则故选 A3若实数 满足不等式组 ,则 的最大值是( )A 15 B 14 C11 D10【答案】B【解析】由题可知,作出目标函数的可行域,如图所示,由知,当目标函数 经过点 取

10、得最大值,即 ,故选 B(三)与圆有关的线性规划例 3设 满足约束条件 ,则 的最小值为_ 【答案】【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,当直线平移到和圆弧相切时, 取得最小值,此时直线方程为 ,由点到直线的距离公式得 , (取负值) ,即 的最小值为.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识,考查线性型目标函数的最值的求法,属于基础题.题目所给的约束条件中, 表示的是圆心为 ,半径为 的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数 ,由于 ,当直线截距最大时, 取得最小值,这个在解题过程中要特别注意.练习 1若点 满足 ,点 在圆 上,则 的最大值为A B C D【答案】A【解析】根据所给不等式

11、组,画出可行域如下图所示因为 在圆 上,所以即求可行域内到点 距离加半径即可由图可知,可行域内点(1,1)到点(-2,3)的距离最大,所以 ,所以 PQ 最大值为 5+1=6所以选 A练习 2设不等式组 表示的平面区域为 D,若圆 C: 不经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围为 A B C D【答案】A【解析】作出不等式组 表示的平面区域,得到如图的 及其内部,其中 , ,圆 : 表示以 为圆心,半径为 的圆 ,由图可得,当半径满足 或 时,圆 不经过区域 上的点,当 或 时,圆 不经过区域 上的点,故选练习 3若 ,则函数 的最小值等于 _【答案】故答案为:(四)目标函数为平方和例 4已

12、知 满足约束条件 则目标函数 的最小值为( )A B C1 D【答案】B【解析】由已知得到可行域如图:目标函数 的几何意义是区域内的点到原点距离,所以原点到图中 OP 的距离即为所求,d,所以目 标函数 的最小值为: ;故选:B练习 1若实数 , 满足 ,则 的最小值为( )A B C D【答案】D【解析】 ,而 表示正方形及其外部(如图) ,所以的最小值为点(1,0)到 AB:y=-x+2 的距离 平方减去 1,即 ,选 D.【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点

13、到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.(五)分式型目标函数例 5.已知实数 x,y 满足 ,则 的取值范围是_.【答案】【解析】实数 x,y 满足 x24x+3+y 20,即(x 2) 2+y21,表示以 C(2,0)为圆心,半径等于 1 的圆则 1 ,表示圆上的点 M(x,y)与定点 A(1,3)连线的斜率 k 加上1,如图当切线位于 AB 这个位置时,k 最小,k +1 最小当切线位于 AE 这个位置时,k 不存在,k +1 不存在设 AB 的方程为 y+3k (x 1) ,即 kxyk30,由 CB1,可得 1,求得 k 而 AE 的方程为 x1,故 k+1 的范

14、围为 ,+ ) ,故答案为: ,+ ) 练习 1若点 位于由曲线 与 围成的封闭区域内(包括边界) ,则 的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】画出曲线 与 围成的封闭区域,如图阴影部分所示表示封闭区域内的点 和定点 连线的斜率,设 ,结合图形可得 或 ,由题意得点 A,B 的坐标分别为 , , 或 , 的取值范围为 故选 D练习 2若变量 满足约束条件 则 的最大值是( )A B0 C1 D2【答案】C【解析】由约束条件 作出可行域如图:表示可行域内的点与定点 连线的斜率,由图像易知, 点与定点 连线的斜率最大,由得 ,所以 的最大值是 .故答案为 1练习 3若实数 x, y 满

15、足不等式组 ,则目标函数 的最大值是 A 1 B C D【答案】B 【解析】实数 x, y 满足不等式组 的可行域如图:目标函数 ; 的几何意义是可行域内的点与 连 线的斜率,目标函数 的最大值转化为 的最小值,由图形可知最优解为 ,所以目标函数 的最大值是: 故选: B练习 4已知 满足不等式组 ,若 ,则 的取值范围为_ .【答案】【解析】作出不等式组 表示的平面区域,如下图:由 得: ,所以 表示点 到点 距离的平方。由图可知,的取值范围为练习 5已知实数 满足 ,则 的最小值为_。【答案】【解析】由题意作出实数 x,y 满足 平面区域,z(x1) 2+(y5) 2 可看成阴影内的点 P

16、 到点 D(1,5)的距离的平方,阴影内的点 P 到点 D(1, 5)的距离的平方最小值转化为:D 到 xy+10的距离的平方,解得 .故答案为: (六)其它形式的目标函数例 6. 已知点 满足 , 的取值范围是_ 【答案】 .【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示 , 表示可行域内的点到直线 和 的距离之和的 倍,结合图形可得 无最大值由 解得 ,所以点 A 的坐标为 此时 由 解得 ,所以点 A 的坐标为 此时 的最小值为 2,故得 的取值范围为 练习 1已知 , 满足 , 的最小值、最大值分别为 , ,且 对 上恒成立,则 的取值范围为( )A B C D【答案】B【解析】作出

17、 表示的平面区域(如图所示) ,显然 的最小值为 0,当点 在线段 上时,;当点 在线段 上时,;即 ;当 时,不等式 恒成立,若 对 上恒成立,则 在 上恒成立,又 在 单调递减,在 上单调递增,即 ,即 练习 2设不等式组 表示的平面区域为 ,则( )A 的面积是 B 内的点到 轴的距离有最大值C点 在 内时, D若点 ,则【答案】C【解析】画出可行域如下图所示:有图可知,可行域面积是无限大的,可行域内的点到 轴的距离也是没有最大值的,故 两个选项错误.注意 到 在可行域内,而 ,故 D 选项错误.有图可知,可行域内的点和 连线的斜率比 的斜率要小,故 C 选项正确.所以选 C.练习 3已

18、知变量 , 满足条件 则目标函数 的最大值为( )A B C D【答案】C【解析】点睛:本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ;(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移或旋转变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解) ;(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.练习 4已知实数 x, y满足不等式组 ,若直线 1ykx把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分,则 k( )A 1 B 3 C 12 D 34【答案】B【解析】不等式组对应平面区域是以 A

19、(-1,0),B(1,-1),C(0,2)为顶点的三角形(如图) ,因为 1ykx过定点 A(-1,0) ,由题意直线 1ykx过 BC 的中点 E 1,2,所以斜率 13k,选 B.(七)线性规划的实际应用例 7. “五一”期间,为了满足广大人民的消费需求,某共享单车公司欲投放一批共享单车,单车总数不超过100 辆,现有 A,B 两种型号的单车:其中 A 型车为运动型,成本为 400 元 辆,骑行半小时需花费 元;B 型车为轻便型,成本为 2400 元 辆,骑行半小时需花费 1 元 若公司投入成本资金不能超过 8 万元,且投入的车辆平均每车每天会被骑行 2 次,每次不超过半小时 不足半小时按

20、半小时计算 ,问公司如何投放两种型号的单车才能使每天获得的总收入最多,最多为多少元?【答案】公司投放两种型号的单车分别为 80 辆 20 辆才能使每天获得的总收入最多,最多为 120 元【解析】根据题意,设投放 A 型号单车 x 辆,B 型号单车 y 辆,单车公司每天可获得的总收入为 Z,则有 ,即 ,且 ,画出不等式组 表示的平面区域,由 ,解得 .当目标函数 ,经过点 时, 取得最大值为: .答:公司投放两种型号的单车分别为 80 辆 20 辆才能使每天获得的总收入最多,最多为 120 元。【点睛】用线性规划的方法来解决实际问题:先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示,进而

21、把问题中所有的量都用这两个字母表示出来,建立数学模型,再画出表示的区域。练习 1电视台应某企业之约播放两套连续剧,其中,连续剧甲 每次播放时间 80 分钟,其中广告时间 1 分钟,收视观众 60 万;连续剧乙每次播放时间 40 分钟,其中广告时间 1 分钟,收视观众 20 万.现在企业要求每周至少播放广告 6 分钟,而电视台每周至多提供 320 分钟节目时间.(1)设每周安排连续剧甲 次,连续剧乙 次,列出 , 所应该满足的条件;(2)应该每周安排两套电视剧各多少次,收视观众最多?【答案】 (1) (2)每周应安排甲、乙连续剧 2 套、4 套【解析】 (1)由题意可得: ;(2)收视观众数为

22、万,则 ,所以 ,因此直线 在 y 轴截距最大时, 取最大值;画出可行域易知当 , 时, 有最大值,最大值是 200,收视观众 200 万.每周应安排甲、乙连续剧 2 套、4 套练习 2两类药片有效成分如下表所示,若要求至少提供 12mg 阿司匹林,70mg 小苏打,28mg 可待因,问两类药片最小总数是多少?怎样搭配价格最低?成分种类阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)A(mg/片) 2 5 1 0.1B(mg/片) 1 7 6 0.2【答案】当 A 类药品 3 片、B 类药品 8 片时,药品价格最低【解析】设 两种药品分别为 片和 片,则有 ,两类药片的总数为 ,两类药片的价格和为 。

23、如图所示,作直线 ,将直线 向右上方平移至 位置时,直线经过可行域上一点 ,且与原点最近解方程组 ,得交点 坐标为 .由于 不是整点,因此不是 的最优解,结合图形可知,经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是 ,经过的整点是 ,因此 的最小值为 .药片最小总数为 片同理可得,当 时, 取最小值 ,因此当 类药品 片、 类药品 片时,药品价格最低。练习 3 九章算术中记载了 “今有共买豕,人出一百,盈一百;人出九十,适足。问人数、豕价各几何?”.其意思是“若干个人合买一头猪,若每人出 100,则会剩下 100;若每人出 90,则不多也不少。问人数、猪价各多少?”.设 分别为人数、猪价,则 _, _.【答案】10 900 【解析】由题意可得 ,解得 .故答案为 10 900