1、专题 28 快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧一 【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。一 【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点 12,F的距离的和等于常数(大于 12,F之间的距离) 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 12,F叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距2椭圆的标准方程(1) ，焦点 ，其中 (2) ，焦点 ，其中3椭圆的几何性质以 为例(1)范围： (2)对称性：对称轴： x轴， y轴；对称中心： (0,)O(3)顶点：长轴端点： ，短轴端点：
2、 ；长轴长 12|Aa，短轴长12|Bb，焦距 12|Fc.(4)离心率 越大，椭圆越扁， e越小，椭圆越圆(5) ,abc的关系： 22ab.4双曲线的定义： 平面内与两个定点 12,F的距离的差的绝对值等于常数(小于 12,F之间的距离) 的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点 12,F叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距5双曲线的标准方程(1) ，焦点 ，其中 (2) ，焦点 ，其中6双曲线的几何性质以 为例(1)范围： (2)对称性：对称轴： x轴， y轴；对称中心： (0,)O(3)顶点：实轴端点： ，虚轴端点： ；实轴长 12|Aa，虚轴长12|Bb，焦距 12|Fc.(4)离心率 ,cea
3、(5) 渐近线方程 yx.7抛物线的定义： 平面内与一个定点和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F叫做抛物线的焦点，直线l叫抛物线的准线.8抛物线的标准方程(1) 对应的焦点分别为：.(2)离心率 1e.三【典例分析及训练】（一）圆锥曲线定义的灵活应用例 1已知抛物线 的焦点为 ，过点 作斜率为 的直线 与抛物线 相交于点 ， ，直线 交抛物线 于另一点 ，直线 交抛物线 于另一点 ，若 ，则 _【答案】练习 1已知 是抛物线 的焦点， ， 是抛物线上两点， 为坐标原点，若 ，则_【答案】8【解析】 ，则 ， ， ,为公共点，则 三点共线，由题可得 ，则,故答案为练习 2.
4、已知双曲线 的左焦点为 ，顶点 ， 是双曲线 右支上的动点，则的最小值等于_.【答案】6【解析】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知 ，得到 ，所以，而 ，所以，所以最小值为 6.练习 3有公共焦点 F1，F 2 的椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，点 A 为两曲线的一个公共点，且满足F 1AF290，则 的值为 _ 故答案为： .（五）圆锥曲线的方程的灵活应用例 5已知椭圆 ，抛物线 的焦点均在 轴上， 的中心和 的顶点均为坐标原点.下表给出坐标的五个点中，有两个点在 上，另有两个点在 上. 则椭圆 的方程为_， 的左焦点到 的准线之间的距离为_. 【答案】 【解析】注意到 在椭圆上，故
5、 ，根据椭圆的范围可知，横坐标为 的点不在椭圆上.设抛物线方程为 ， 在抛物线上，即 ，即 ，且 在抛物线的图像上，抛物线准线为 .设椭圆的方程为 ，将 代入，求得 ，不符合题意.将点 代入，求得 ，符合题意，故椭圆方程为 .故左焦点为 .所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为 .练习 1给出下列命题，其中所有正确命题的序号是_抛物线 的准线方程为 ；过点 作与抛物线 只有一个公共点的直线 仅有 1 条； 是抛 物线 上一动点，以 为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点 .抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标为 .【答案】【解析】抛物线 的标准方程为 不是 ；故错误过点 作与抛物线 只有
6、一个公共点的直线 有两条，一条是过点 与抛物线 相切的直线，一条是过点 平行于 轴的直线，故错误设 ,则以 P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆的方程为 ,化简可得,当 时恒成立，故此圆一定过定点 ，故正确设抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标为则当 时， 取最小值则抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标为 ，故正确综上其中所有正确命题的序号为练习 2在平面直角坐标系 中，点 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 且与轴垂直的直线与椭圆交于 ， 两点若 为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_【答案】【解析】点 F1、F 2 分别是椭圆 1（ab0）的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆
7、交于 A、B 两点，F 1（c，0） ， F2（c，0） ，A（c， ） ，B（c， ） ， 是锐角三角形，AF 1 F245，tan AF 1 F21， 1，整理，得 b22ac，a 2c22ac，两边同时除以 a2，并整理，得 e2+2e10，解得 e 1，或 e 1， （舍） ，0e1，椭圆的离心率 e 的取值范围是（ 1，1 ） 故答案为：（ 1，1） （六）定点问题例 6.已知椭圆 C： 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，当 l的斜率为 2 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 求 a、b 的值；上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，
8、有 成立？若存在，求出所有的点 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由【答案】 （1） ， ；（2）见解析【解析】 设 ，直线 l 的方程为 ，坐标原点 O 到 l 的距离为 ， ， ， ， ，即 ；由 知椭圆的方程为 ，即 ，假设存在满足题设条件的直线，由题意知直线的斜率不为 0，设直线的方程为 l： ，设 、 ，把 l： 代入椭圆方程，整理得 ，显然 由韦达定理有： ， ，在椭圆上， 代入椭圆方程整理得 ，解得无解，故不存在这样的点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 成立练习 1已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 4.（）求椭圆 的方程；（）过点 作两条直线，分别交椭圆 于
9、两点（异于 ） ，当直线 ， 的斜率之和为 4 时，直线 恒过定点，求出定点的坐标.【答案】 （1） （2）见解析【解析】 （）由题意知： ， ， .解得 ， ， ，所以椭圆方程为 .（）当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ， ， .由 ，得 ，联立 ，消去 得 ，由题意知二次方程有两个不等实根， ， .代入 得 ，整理得 . ， ， ， ，所以直线 恒过定点 .当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ， ， ，其中 ， .由，得 ， .当直线 的斜率不存在时，直线 也过定点 .综上所述，直线 恒过定点 .练习 2.已知椭圆 ： 过点 ，且离心率为 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）设过点
10、为 的直线 与椭圆交于 两点，点 关于 轴的对称点为 （点 与点 不重合） ，证明：直线 恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】 （1） (2)见证明【解析】 （1）由题意知， ，解得 ，则椭圆 的方程是 .（2）设 ， ，则 ，由已知得直线 的斜率存在，设斜率为 ，则直线 的方程为： ，由 ，得 ，所以 ， ，直线 的方程为： ，所以 ，令 ，则 ，所以直线 与 轴交于定点 .练习 3.已知点 和直线 ， 为曲线 上一点， 为点 到直线 的距离且满足 .（1）求曲线 的轨迹方程；（2）过点 作曲线 的两条动弦 ，若直线 斜率之积为 ，试问直线 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经
11、过，请说明理由.【答案】 （1） （2）见解析【解析】 （1）设点 为曲线 上任一点，则依题意得： ，化简得： 曲线 的轨迹方程为： .（2） 一定经过一定点.设 ，当直线 的斜率不存在时，设 的方程为 ， 则： ， ，不合题意.故直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，并代入椭圆方程，整理得： ，由 ，得： .设 ，则 是方程的两根，由根与系数的关系得：， ，由得： ，即 ，整理得： ，又因为 ，所以 ，此时直线 的方程为 .所以直线 恒过一定点 .练习 4.已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 4.（）求椭圆 的方程；（）过点 作两条直线，分别交椭圆 于 ， 两点（异于 点）.当直线 ， 的斜率
12、之和为定值时，直线 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】 （）由题意知： ， ， .解得 ， ， ，所以椭圆方程为 . ， ， ，即 .所以直线 过定点 .当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ， ， ，其中 . ，由 ，得 ， .当直线 的斜率不存在时，直线 也过定点 .综上所述，直线 恒过定点 .（七）定值问题例 7. 已知椭圆 的左右焦点分别为 与 ，椭圆上的点到右焦点 的最短距离为， 为坐标平面上的一点，过点 作直线 和 分别与椭圆交于点 ， 和 ， ，如图所示.（1）求椭圆 的标准方程；（2）设点 在双曲线 （顶点除外）上运动
13、，证明 为定值，并求出此定值.【答案】 （1） ； （2） .【解析】 （1）依题意有 ，而 ，故 ， ，从而椭圆 ： .（2）设 ，则 ，因双曲线 的顶点恰为椭圆 的焦点，而 因而直线 与 的斜率都存在，分别设为 ，则由于 ，设直线 的斜率为 ，则 ，代入椭圆方程并化简得设 ，则从而 .同理有 ，从而有 从而 为定值 .练习 1已知椭圆 ： 的四个顶点围成的四边形的面积为 ，其离心率为（1）求椭圆 的方程；（2）过椭圆 的右焦点 作直线 （ 轴除外）与椭圆 交于不同的两点 ， ，在 轴上是否存在定点 ，使为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解
14、析】 （1）由 得： 所以椭圆方程为（2）由于直线 l 过右焦点 F（1，0） ，可设直线 l 方程为：x=my+1, 代入椭圆方程 并整理 得：（4+3m 2)x2-8x+4-12m2=0(或（4+3m 2)y2+6my-9=0)=64-（4+3m 2) (4-12m2)0设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程的两个解，由韦达定理得：x 1+x2= , x1x2= ，y 1+y2= ,y1y2假设在 x 轴上存在定点 P(x0,0)，使 为定值，则：(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2+y1y2-x0(x1+x2)+ x02= + - +x02=由题意，上
15、式为定值，所以应有： 即：12x 02-48=-15-24x0+12x02解得：x 0= ,此时练习 2已知圆 ，点 ，点 是圆 上任意一点，线段 的中垂线与 交于点 . （）求点 的轨迹 的方程.（）斜率不为 0 的动直线 过点 且与轨迹 交于 ， 两点， 为坐标原点.是否存在常数 ，使得为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.【答案】 （） （）见解析【解析】 （）由 ，得 ，所以 ，半径为 4.因为线段 的中垂线与 交于点 ，所以 ，所以 .所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，且长轴长为 的椭圆，所以 .所以点 的轨迹 的方程为 .（）设直线 ， ， .联立 化简整理得 ，所以
16、， .因为 ，所以.当 ，即 时， 取定值 .练习 3.已知椭圆 ，离心率 ，过点 的动直线 与椭圆 相交于 ， 两点.当 轴时， .（1）求椭圆 的方程；（2） 已知 为椭圆 的上顶点，证明 为定值.【答案】 （1） （2）详见解析【解析】 （1）由 可得 ，所以 ，即 ，从而椭圆 当 轴时， ，由 ，不妨取 ， ，代入椭圆 ，得 ，故椭圆 （2）依题意， 当 的斜率存在时，设 ， ， ，将 代入 的方程，得 ， 当 时， ， ，因 为 ， ，所以 由（1）得，当 的斜率不存在时， ， ，所以 综上， （八）定点定值综合例 8. 已知椭圆 ，离心率 ，过点 的动直线 与椭圆 相交于 ， 两点
17、.当 轴时， .（1）求椭圆 的方程；（2） 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？并说明理由.【答案】 （1） （2）答案见解析.（2）假设存在 满足题设当 的斜率存在时，设 ， ， ，将 代入 的方程，得 ，当 时， ， ，因为 ， ，所以 所以当 时， 由（1）得，当 的斜率不存在时， ， ，所以 综上，存在定点 ，使得 练习 1. 已知圆 ，圆 过点 且与圆 相切，设圆心 的轨迹为曲线 （1）求曲线 的方程；（2）点 ， 为曲线 上的两点（不与点 重合） ，记直线 的斜率分别为 ，若 ，请判断直线 是否过定点. 若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由【答案】 （1） (2)见解析【
18、解析】 （1）设圆 C 的半径为 r，依题意，| CB|r，| CD|4r，进而有|CB| |CD| 4，所以圆心 C 的轨迹是以 D，B 为焦点的椭圆，所以圆心 C 的轨迹方程为 （2）设点 的坐标分别为 ，设直线 的方程为 （直线 的斜率存在） ，可得 ，整理为： ，联立 ，消去 得： ，由 ，有 ，有 ， ， ，可得 ，故有： 整理得： ，解得： 或 ，当 时直线 的方程为 ，即 ，过定点 不合题意，当 时直线 的方程为 ，即 ，过定点 练习 2椭圆 的右焦点为 ， 为圆 与椭圆 的一个公共点，.（）求椭圆 的标准方程；（）如图，过 作直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 为点 关于 轴的对
19、称点.（1）求证： ；（2）试问过 ， 的直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】 （） ；（） （1）见解析；（2）见解析【解析】 （）解：设 是椭圆的左焦点，连接 ， ， . ， . . . .又 ， ， .椭圆 的标准方程为 .（） （1）证明： 当直线 斜率为 0 时， 的方程为 ， ，等式显然成立；当直线 斜率不为 0 时，由题意，设 的方程为 . ， ，点 为点 关于 轴的对称点，则 .整理，得 .， .等式 成立.（2）解：过 ， 的直线过定点.当直线 斜率不为 0 时， ，直线 的方程为 ，即 ，即 .由（1）可知 ， ， . .过 ， 的直线过定点 ；
20、当直线 斜率为 0 时， 的方程为 ，直线 也过定点 .综上可知，过 ， 的直线过定点 . （九）范围问题例 1已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，其右焦点为 ，过点 作直线交椭圆于另一点 .（）若 ，求 的面积；（）若过点 的直线与椭圆 相交于两点 、 ，设 为 上一点，且满足（ 为坐标原点） ，当 时，求实数 的取值范围.【答案】 （）3 或 1（） 或 .当 的坐标为 时， ， ，且 ， ；当 的坐标为 时， ， ，所以 为直角三角形， ，综上可知： 或 1. （）由题意可知直线 的斜率存在.设 ， ， ，由 得：由 得： ， ， 即 ，结合 得： ，从而 ， ，点 在椭圆上， ，整理得：
21、即 ， ，或 .练习 1已知椭圆 直线 ，若椭圆 上存在两个不同的点， 关于 对称，设 的中点为 .（1）证明：点 在某定直线上；（2）求实数 的取值范围.【答案】(1)见证明；(2) 或 .【解析】 （1）当 时，显然不符合题意，舍；当 时，设直线 方程为 ， ， ， 则由 相减，整理得， ，即 ， .又 ， . ，即 .故点 在定直线 上.（2）由（1）易得点 ，由题意知，点 必在椭圆内部，解得 或 .练习 2已知椭圆 的离心率为 ，且过点 （）求椭圆方程；（）设不过原点 的直线 ，与该椭圆交于 两点，直线 的斜率分别为 ，满足 （i）当 变化时， 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的
22、结论；若不是，请说明理由；（ii）求 面积的取值范围【答案】 （） y21；（ ） （i ）见解析；（ii） （0，1）.【解析】 （）由题设条件，设 c k，a2k ，则 bk ，椭圆方程为 1，把点（ ， ）代入，得 k21，椭圆方程为 y21（） （i）当 k 变化时，m 2 是定值 证明如下：由 ，得（1+4 k2）x 2+8kmx+4（m 21）0，设 ， 直线 OP，OQ 的斜率依次为 k1，k 2，4kk 1+k2 ，2kx 1x2m（ x1+x2） ，由此解得 ，验证0 成立当 k 变化时， 是定值 S OPQ |x1x2|m| ，令 t1，得 SOPQ 1，OPQ 面积的取值
23、范围 SOPQ（0，1） 练习 3已知椭圆 C： 的左右顶点为 A、B ，右焦点为 F，一条准线方程是 ，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点 P、Q 为椭圆 C 上异于 A、B 的两点，点 R 为 PQ 的中点求椭圆 C 的标准方程；直线 PB 交直线 于点 M，记直线 PA 的斜率为 ，直线 FM 的斜率为 ，求证： 为定值；若 ，求直线 AR 的斜率的取值范围【答案】 （1） （2）见解析（3）【解析】 椭圆的一条准线方程是 ，可得 ，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得 ， 解得 ， ， ，即有椭圆方程为 ；证明：由 ， ，设直线 PB 的方程为 ，联立椭圆方程 ，可得 ，解得 或 ，即有 ， ，则 ，即 为定值 ；由 ，可得 ，即 ，设 AP 的方程为 ，代入椭圆方程 ，可得 ，解得 或 ，即有 ，将 t 换为 可得 ，则 R 的坐标为 ，即有直线 AR 的斜率，可令 ，则 ，则 ，当 时， ，当且仅当 时上式取得等号，同样当 时， ， 时， ， ，则 AR 的斜率范围为