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高考数学命题热点名师解密专题:快速解决直线与圆锥曲线综合问题(理)

1、专题 28 快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧一 【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义;2掌握焦点三角形的应用和几何意义;3.掌握圆锥曲线方程的求法;4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系;5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。一 【知识点总结】1.椭圆定义:平面内与两个定点 12,F的距离的和等于常数(大于 12,F之间的距离) 的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点 12,F叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距2椭圆的标准方程(1) ,焦点 ,其中 (2) ,焦点 ,其中3椭圆的几何性质以 为例(1)范围: (2)对称性:对称轴: x轴, y轴;对称中心: (0,)O(3)顶点:长轴端点: ,短轴端点:

2、 ;长轴长 12|Aa,短轴长12|Bb,焦距 12|Fc.(4)离心率 越大,椭圆越扁, e越小,椭圆越圆(5) ,abc的关系: 22ab.4双曲线的定义: 平面内与两个定点 12,F的距离的差的绝对值等于常数(小于 12,F之间的距离) 的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点 12,F叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距5双曲线的标准方程(1) ,焦点 ,其中 (2) ,焦点 ,其中6双曲线的几何性质以 为例(1)范围: (2)对称性:对称轴: x轴, y轴;对称中心: (0,)O(3)顶点:实轴端点: ,虚轴端点: ;实轴长 12|Aa,虚轴长12|Bb,焦距 12|Fc.(4)离心率 ,cea

3、(5) 渐近线方程 yx.7抛物线的定义: 平面内与一个定点和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F叫做抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线.8抛物线的标准方程(1) 对应的焦点分别为:.(2)离心率 1e.三【典例分析及训练】(一)圆锥曲线定义的灵活应用例 1已知抛物线 的焦点为 ,过点 作斜率为 的直线 与抛物线 相交于点 , ,直线 交抛物线 于另一点 ,直线 交抛物线 于另一点 ,若 ,则 _【答案】练习 1已知 是抛物线 的焦点, , 是抛物线上两点, 为坐标原点,若 ,则_【答案】8【解析】 ,则 , , ,为公共点,则 三点共线,由题可得 ,则,故答案为练习 2.

4、已知双曲线 的左焦点为 ,顶点 , 是双曲线 右支上的动点,则的最小值等于_.【答案】6【解析】结合题意,绘制图像:根据双曲线的性质可知 ,得到 ,所以,而 ,所以,所以最小值为 6.练习 3有公共焦点 F1,F 2 的椭圆和双曲线的离心率分别为 , ,点 A 为两曲线的一个公共点,且满足F 1AF290,则 的值为 _ 故答案为: .(五)圆锥曲线的方程的灵活应用例 5已知椭圆 ,抛物线 的焦点均在 轴上, 的中心和 的顶点均为坐标原点.下表给出坐标的五个点中,有两个点在 上,另有两个点在 上. 则椭圆 的方程为_, 的左焦点到 的准线之间的距离为_. 【答案】 【解析】注意到 在椭圆上,故

5、 ,根据椭圆的范围可知,横坐标为 的点不在椭圆上.设抛物线方程为 , 在抛物线上,即 ,即 ,且 在抛物线的图像上,抛物线准线为 .设椭圆的方程为 ,将 代入,求得 ,不符合题意.将点 代入,求得 ,符合题意,故椭圆方程为 .故左焦点为 .所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为 .练习 1给出下列命题,其中所有正确命题的序号是_抛物线 的准线方程为 ;过点 作与抛物线 只有一个公共点的直线 仅有 1 条; 是抛 物线 上一动点,以 为圆心作与抛物线准线相切的圆,则此圆一定过定点 .抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标为 .【答案】【解析】抛物线 的标准方程为 不是 ;故错误过点 作与抛物线 只有

6、一个公共点的直线 有两条,一条是过点 与抛物线 相切的直线,一条是过点 平行于 轴的直线,故错误设 ,则以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆的方程为 ,化简可得,当 时恒成立,故此圆一定过定点 ,故正确设抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标为则当 时, 取最小值则抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标为 ,故正确综上其中所有正确命题的序号为练习 2在平面直角坐标系 中,点 , 分别是椭圆 的左、右焦点,过点 且与轴垂直的直线与椭圆交于 , 两点若 为锐角,则该椭圆的离心率的取值范围是_【答案】【解析】点 F1、F 2 分别是椭圆 1(ab0)的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆

7、交于 A、B 两点,F 1(c,0) , F2(c,0) ,A(c, ) ,B(c, ) , 是锐角三角形,AF 1 F245,tan AF 1 F21, 1,整理,得 b22ac,a 2c22ac,两边同时除以 a2,并整理,得 e2+2e10,解得 e 1,或 e 1, (舍) ,0e1,椭圆的离心率 e 的取值范围是( 1,1 ) 故答案为:( 1,1) (六)定点问题例 6.已知椭圆 C: 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,当 l的斜率为 2 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 求 a、b 的值;上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,

8、有 成立?若存在,求出所有的点 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由【答案】 (1) , ;(2)见解析【解析】 设 ,直线 l 的方程为 ,坐标原点 O 到 l 的距离为 , , , , ,即 ;由 知椭圆的方程为 ,即 ,假设存在满足题设条件的直线,由题意知直线的斜率不为 0,设直线的方程为 l: ,设 、 ,把 l: 代入椭圆方程,整理得 ,显然 由韦达定理有: , ,在椭圆上, 代入椭圆方程整理得 ,解得无解,故不存在这样的点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 成立练习 1已知椭圆 的离心率为 ,短轴长为 4.()求椭圆 的方程;()过点 作两条直线,分别交椭圆 于

9、两点(异于 ) ,当直线 , 的斜率之和为 4 时,直线 恒过定点,求出定点的坐标.【答案】 (1) (2)见解析【解析】 ()由题意知: , , .解得 , , ,所以椭圆方程为 .()当直线 的斜率存在时,设直线 方程为 , , .由 ,得 ,联立 ,消去 得 ,由题意知二次方程有两个不等实根, , .代入 得 ,整理得 . , , , ,所以直线 恒过定点 .当直线 的斜率不存在时,设直线 的方程为 , , ,其中 , .由,得 , .当直线 的斜率不存在时,直线 也过定点 .综上所述,直线 恒过定点 .练习 2.已知椭圆 : 过点 ,且离心率为 .(1)求椭圆 的标准方程;(2)设过点

10、为 的直线 与椭圆交于 两点,点 关于 轴的对称点为 (点 与点 不重合) ,证明:直线 恒过定点,并求该定点的坐标.【答案】 (1) (2)见证明【解析】 (1)由题意知, ,解得 ,则椭圆 的方程是 .(2)设 , ,则 ,由已知得直线 的斜率存在,设斜率为 ,则直线 的方程为: ,由 ,得 ,所以 , ,直线 的方程为: ,所以 ,令 ,则 ,所以直线 与 轴交于定点 .练习 3.已知点 和直线 , 为曲线 上一点, 为点 到直线 的距离且满足 .(1)求曲线 的轨迹方程;(2)过点 作曲线 的两条动弦 ,若直线 斜率之积为 ,试问直线 是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经

11、过,请说明理由.【答案】 (1) (2)见解析【解析】 (1)设点 为曲线 上任一点,则依题意得: ,化简得: 曲线 的轨迹方程为: .(2) 一定经过一定点.设 ,当直线 的斜率不存在时,设 的方程为 , 则: , ,不合题意.故直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,并代入椭圆方程,整理得: ,由 ,得: .设 ,则 是方程的两根,由根与系数的关系得:, ,由得: ,即 ,整理得: ,又因为 ,所以 ,此时直线 的方程为 .所以直线 恒过一定点 .练习 4.已知椭圆 的离心率为 ,短轴长为 4.()求椭圆 的方程;()过点 作两条直线,分别交椭圆 于 , 两点(异于 点).当直线 , 的斜率

12、之和为定值时,直线 是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】 ()由题意知: , , .解得 , , ,所以椭圆方程为 . , , ,即 .所以直线 过定点 .当直线 的斜率不存在时,设直线 的方程为 , , ,其中 . ,由 ,得 , .当直线 的斜率不存在时,直线 也过定点 .综上所述,直线 恒过定点 .(七)定值问题例 7. 已知椭圆 的左右焦点分别为 与 ,椭圆上的点到右焦点 的最短距离为, 为坐标平面上的一点,过点 作直线 和 分别与椭圆交于点 , 和 , ,如图所示.(1)求椭圆 的标准方程;(2)设点 在双曲线 (顶点除外)上运动

13、,证明 为定值,并求出此定值.【答案】 (1) ; (2) .【解析】 (1)依题意有 ,而 ,故 , ,从而椭圆 : .(2)设 ,则 ,因双曲线 的顶点恰为椭圆 的焦点,而 因而直线 与 的斜率都存在,分别设为 ,则由于 ,设直线 的斜率为 ,则 ,代入椭圆方程并化简得设 ,则从而 .同理有 ,从而有 从而 为定值 .练习 1已知椭圆 : 的四个顶点围成的四边形的面积为 ,其离心率为(1)求椭圆 的方程;(2)过椭圆 的右焦点 作直线 ( 轴除外)与椭圆 交于不同的两点 , ,在 轴上是否存在定点 ,使为定值?若存在,求出定点坐标及定值,若不存在,说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解

14、析】 (1)由 得: 所以椭圆方程为(2)由于直线 l 过右焦点 F(1,0) ,可设直线 l 方程为:x=my+1, 代入椭圆方程 并整理 得:(4+3m 2)x2-8x+4-12m2=0(或(4+3m 2)y2+6my-9=0)=64-(4+3m 2) (4-12m2)0设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程的两个解,由韦达定理得:x 1+x2= , x1x2= ,y 1+y2= ,y1y2假设在 x 轴上存在定点 P(x0,0),使 为定值,则:(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2+y1y2-x0(x1+x2)+ x02= + - +x02=由题意,上

15、式为定值,所以应有: 即:12x 02-48=-15-24x0+12x02解得:x 0= ,此时练习 2已知圆 ,点 ,点 是圆 上任意一点,线段 的中垂线与 交于点 . ()求点 的轨迹 的方程.()斜率不为 0 的动直线 过点 且与轨迹 交于 , 两点, 为坐标原点.是否存在常数 ,使得为定值?若存在,求出这个定值;若不存在,请说明理由.【答案】 () ()见解析【解析】 ()由 ,得 ,所以 ,半径为 4.因为线段 的中垂线与 交于点 ,所以 ,所以 .所以点 的轨迹是以 , 为焦点,且长轴长为 的椭圆,所以 .所以点 的轨迹 的方程为 .()设直线 , , .联立 化简整理得 ,所以

16、, .因为 ,所以.当 ,即 时, 取定值 .练习 3.已知椭圆 ,离心率 ,过点 的动直线 与椭圆 相交于 , 两点.当 轴时, .(1)求椭圆 的方程;(2) 已知 为椭圆 的上顶点,证明 为定值.【答案】 (1) (2)详见解析【解析】 (1)由 可得 ,所以 ,即 ,从而椭圆 当 轴时, ,由 ,不妨取 , ,代入椭圆 ,得 ,故椭圆 (2)依题意, 当 的斜率存在时,设 , , ,将 代入 的方程,得 , 当 时, , ,因 为 , ,所以 由(1)得,当 的斜率不存在时, , ,所以 综上, (八)定点定值综合例 8. 已知椭圆 ,离心率 ,过点 的动直线 与椭圆 相交于 , 两点

17、.当 轴时, .(1)求椭圆 的方程;(2) 轴上是否存在定点 ,使得 为定值?并说明理由.【答案】 (1) (2)答案见解析.(2)假设存在 满足题设当 的斜率存在时,设 , , ,将 代入 的方程,得 ,当 时, , ,因为 , ,所以 所以当 时, 由(1)得,当 的斜率不存在时, , ,所以 综上,存在定点 ,使得 练习 1. 已知圆 ,圆 过点 且与圆 相切,设圆心 的轨迹为曲线 (1)求曲线 的方程;(2)点 , 为曲线 上的两点(不与点 重合) ,记直线 的斜率分别为 ,若 ,请判断直线 是否过定点. 若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由【答案】 (1) (2)见解析【

18、解析】 (1)设圆 C 的半径为 r,依题意,| CB|r,| CD|4r,进而有|CB| |CD| 4,所以圆心 C 的轨迹是以 D,B 为焦点的椭圆,所以圆心 C 的轨迹方程为 (2)设点 的坐标分别为 ,设直线 的方程为 (直线 的斜率存在) ,可得 ,整理为: ,联立 ,消去 得: ,由 ,有 ,有 , , ,可得 ,故有: 整理得: ,解得: 或 ,当 时直线 的方程为 ,即 ,过定点 不合题意,当 时直线 的方程为 ,即 ,过定点 练习 2椭圆 的右焦点为 , 为圆 与椭圆 的一个公共点,.()求椭圆 的标准方程;()如图,过 作直线 与椭圆 交于 , 两点,点 为点 关于 轴的对

19、称点.(1)求证: ;(2)试问过 , 的直线是否过定点?若是,请求出该定点;若不是,请说明理由.【答案】 () ;() (1)见解析;(2)见解析【解析】 ()解:设 是椭圆的左焦点,连接 , , . , . . . .又 , , .椭圆 的标准方程为 .() (1)证明: 当直线 斜率为 0 时, 的方程为 , ,等式显然成立;当直线 斜率不为 0 时,由题意,设 的方程为 . , ,点 为点 关于 轴的对称点,则 .整理,得 ., .等式 成立.(2)解:过 , 的直线过定点.当直线 斜率不为 0 时, ,直线 的方程为 ,即 ,即 .由(1)可知 , , . .过 , 的直线过定点 ;

20、当直线 斜率为 0 时, 的方程为 ,直线 也过定点 .综上可知,过 , 的直线过定点 . (九)范围问题例 1已知椭圆 的焦距为 ,离心率为 ,其右焦点为 ,过点 作直线交椭圆于另一点 .()若 ,求 的面积;()若过点 的直线与椭圆 相交于两点 、 ,设 为 上一点,且满足( 为坐标原点) ,当 时,求实数 的取值范围.【答案】 ()3 或 1() 或 .当 的坐标为 时, , ,且 , ;当 的坐标为 时, , ,所以 为直角三角形, ,综上可知: 或 1. ()由题意可知直线 的斜率存在.设 , , ,由 得:由 得: , , 即 ,结合 得: ,从而 , ,点 在椭圆上, ,整理得:

21、即 , ,或 .练习 1已知椭圆 直线 ,若椭圆 上存在两个不同的点, 关于 对称,设 的中点为 .(1)证明:点 在某定直线上;(2)求实数 的取值范围.【答案】(1)见证明;(2) 或 .【解析】 (1)当 时,显然不符合题意,舍;当 时,设直线 方程为 , , , 则由 相减,整理得, ,即 , .又 , . ,即 .故点 在定直线 上.(2)由(1)易得点 ,由题意知,点 必在椭圆内部,解得 或 .练习 2已知椭圆 的离心率为 ,且过点 ()求椭圆方程;()设不过原点 的直线 ,与该椭圆交于 两点,直线 的斜率分别为 ,满足 (i)当 变化时, 是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的

22、结论;若不是,请说明理由;(ii)求 面积的取值范围【答案】 () y21;( ) (i )见解析;(ii) (0,1).【解析】 ()由题设条件,设 c k,a2k ,则 bk ,椭圆方程为 1,把点( , )代入,得 k21,椭圆方程为 y21() (i)当 k 变化时,m 2 是定值 证明如下:由 ,得(1+4 k2)x 2+8kmx+4(m 21)0,设 , 直线 OP,OQ 的斜率依次为 k1,k 2,4kk 1+k2 ,2kx 1x2m( x1+x2) ,由此解得 ,验证0 成立当 k 变化时, 是定值 S OPQ |x1x2|m| ,令 t1,得 SOPQ 1,OPQ 面积的取值

23、范围 SOPQ(0,1) 练习 3已知椭圆 C: 的左右顶点为 A、B ,右焦点为 F,一条准线方程是 ,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,点 P、Q 为椭圆 C 上异于 A、B 的两点,点 R 为 PQ 的中点求椭圆 C 的标准方程;直线 PB 交直线 于点 M,记直线 PA 的斜率为 ,直线 FM 的斜率为 ,求证: 为定值;若 ,求直线 AR 的斜率的取值范围【答案】 (1) (2)见解析(3)【解析】 椭圆的一条准线方程是 ,可得 ,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,可得 , 解得 , , ,即有椭圆方程为 ;证明:由 , ,设直线 PB 的方程为 ,联立椭圆方程 ,可得 ,解得 或 ,即有 , ,则 ,即 为定值 ;由 ,可得 ,即 ,设 AP 的方程为 ,代入椭圆方程 ,可得 ,解得 或 ,即有 ,将 t 换为 可得 ,则 R 的坐标为 ,即有直线 AR 的斜率,可令 ,则 ,则 ,当 时, ,当且仅当 时上式取得等号,同样当 时, , 时, , ,则 AR 的斜率范围为