1、题型五 函数的实际应用题类型一 最大利润问题1. 新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒 80 元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量 y(盒) 与销售单价 x(元) 有如下关系： y2x320(80x160) 设这种电子鞭炮每天的销售利润为 w 元(1)求 w 与 x 之间的函数关系式；(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？2. 某旅行社推出一条成本价为 500 元/人的省内旅游线路，游客人数 y(人/ 月) 与旅游报价 x(元/ 人) 之间的关系为 yx1300，已知：旅游主管部门规定该旅
2、游线路报价在 800元/人1200 元/人之间(1)要将该旅游线路每月游客人数控制在 200 人以内，求该旅游线路报价的取值范围；(2)求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本；(3)当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？3. 某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？(2)设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？求出 y 与
3、x 之间的函数关系式，并直接写出当 x 取何值时，商场可获得最大利润，最大利润为多少元？4. (2018 合肥庐阳区一模)某公司 2017 年初刚成立时投资 1000 万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本 40 元按规定，该产品售价不得低于 60 元/件且不得超过 160 元/件，且每年售价确定以后不再变化，该产品销售量 y(万件)与产品售价x(元) 之间的函数关系如图所示(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；(2)求 2017 年该公司的最大利润？(3)在 2017 年取得最大利润的前提下，2018 年公司将重新确定产品售价，能否使两年共盈利达
4、 980 万元，若能，求出 2018 年产品的售价；若不能，请说明理由第 4 题图5. 某公司生产一种产品，每件成本为 2 元，售价为 3 元，年销售量为 100 万件为获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告，通过市场调查发现：每年投入的广告费用为 x(单位：十万元) 时，产品的年销售量将是原来的 y 倍，同时 y 又是 x 的二次函数，且满足的相互关系如下表：x 0 1 2 y 1 1.5 1.8 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 s(单位：十万元)与广告费 x(单位：十万元)的函数关系；(3)如果公司一年投入的年广告
5、费为 1030 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增加？公司可获得的最大年利润是多少？6. 每年 5 月的第二个星期日即为母亲节， “父母恩深重，恩怜无歇时” ，许多市民喜欢在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为每件 30 元，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量 y(件)是销售单价 x(元/ 件) 的一次函数销售单价x (元/件 ) 30 40 50 60 每天销售量 y (件) 350 300 250 200 (1)求出 y 与 x 的函数关系；(2)物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的
6、利润不得高于 100%.当销售单价 x 取何值时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为 5000 元？(利润销售总价成本总价)；试确定销售单价 x 取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润 W(元)最大？并求出花店销售该鲜花礼盒每天获得的最大利润7. 某种商品的成本为每件 20 元，经市场调查发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量 m(件 )与 x(天)的关系如表时间x(天)1 3 6 10 36 日销售量m(件)94 90 84 76 24 未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y1(元/件)与时间 x(天) 的函数关系式为y1 x25(1x 20 且 x 为整数) ，后 20 天每
7、天的价格 y2(元/ 件) 与时间 x(天)的函数关系式14为 y2 x40(21x 40 且 x 为整数) 12(1)求日销售量 m(件)与时间 x(天)之间的关系式；(2)请预测本地市场在未来 40 天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？类型二 最优方案问题1. 某商店分两次购进 A、B 两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量(件)A B购进所需 费用(元)第一次 30 40 3800第二次 40 30 3200(1)求 A、 B 两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定 A 种商品以每件 30 元出售，B 种商品以每件 100 元出
8、售为满足市场需求，需购进 A、B 两种商品共 1000 件，且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润2. 某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销量为 x(件) ，其中 x0.若在甲地销售，每件售价 y(元)与 x 之间的函数关系式为 y x100，每件成本110为 20 元，设此时的年销售利润为 w 甲 (元)(利润销售额成本 )；若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为 a 元(a 为常数，15a 25)，每件售价为 106 元，销售x(件) 每年还需缴纳 x2 元的附加费，设此时的年销售利润为 w 乙 (元
9、)(利润销售额成本110附加费) ；(1)当 a16，且 x100 时，w 乙 _元；(2)求 w 甲 与 x 之间的函数关系式(不必写出 x 的取值范围)，并求 x 为何值时，w 甲 最大以及最大值是多少？3. 近年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为 a元(a 为常数，且 40a100)，每件产品销售价为 120 元，每年最多可生产 125 万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为 80 元，每件产品销售价为 180 元，每年可生产 120万件，另外，年销售 x 万件乙产品时需上交
10、 0.5x2 万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：(1)分别写出该企业两个投资方案的年利润 y1(万元) 、y 2(万元 )与相应生产件数 x(万件)(x 为正整数 )之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；(2)分别求出这两个投资方案的最大年利润；(3)如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？4. 都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打 7.5 折，已知所有人员都买一等座单程火车票需 6175 元，都买二等座单程火车票需 3150 元；如果家长代表与教师的人数之比为 2
11、1.运行区间 票价起点站 终点站 一等座 二等座都匀 桂林 95(元) 60(元)(1)参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？(2)由于各种原因，二等座单程火车票只能买 x 张(x参加社会实践的总人数)，其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用 y 与 x 之间的函数关系式；(3)在(2)的方案下，请求出当 x30 时，购买单程火车票的总费用类型三 抛物线型问题1. (2018 滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y(单位： m)与飞
12、行时间 x(单位：s) 之间具有函数关系 y 5x220x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 m 时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？第 1 题图2. 有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面 BC 的宽为 8 米，拱桥的最高点 D 到水面 BC 的距离 DO 为 4 米，点 O 是 BC 的中点，如图，以点 O 为原点，直线 BC 为 x 轴，建立直角坐标系 xOy.(1)求该抛物线的表达式；(2)如果水面 BC 上升 3 米( 即 OA3)至水面 EF，点 E
13、在点 F 的左侧，求水面宽度 EF的长第 2 题图3. 有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数 yax 2bx 来表示已知大棚在地面上的宽度 OA 为 10 米，距离 O 点 2 米处的棚高BC 为 3 米(1)求该抛物线的函数关系式； (2)求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？(3)若借助横梁 DE 建一个门，要求门的高度不低于 1.5 米，则横梁DE 的宽度最多是多少米？ 第 3 题图4. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面 209m，与篮圈中心的水平距离为 7 m，当球出手后水平距离为 4 m 时到达最大高度 4
14、m，篮圈距地面 3 m，设篮球运行的轨迹为抛物线(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)此球能否准确投中？(3)此时，若对方队员乙在甲前面 1 m 处跳起拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 m，那么他能否拦截成功？第 4 题图 5. 如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置 OA，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系式可以用 yx 2bxc 表示，且抛物线经过点 B( ， )，12 5
15、2C(2， )，74请根据以上信息，解答下列问题(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置 OA 的高度；(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？第 5 题图类型四 几何面积最大值问题1. 投资 1 万元围一个矩形菜园(如图) ，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造墙长 24 m，平行于墙的边的费用为 200 元/m，垂直于墙的边的费用为 150 元/m，设平行于墙的边长为 x m.(1)设垂直于墙的一边长为 y m，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；(2)若菜园面积为 384 m2，求 x 的值；(3)当
16、 x 为何值时，菜园的面积最大，最大值为多少？第 1 题图2. 为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁的一块地上进行绿化改造，他们依据地势整理出了一块矩形区域 ABCD，铺成人们可以活动的砖石地面，又分别以AB、 BC、CD、DA 为斜边向外作等腰直角三角形(如图所示 )，通过测量，发现四边形MNGH 的周长正好为 200 米，设 ABx 米，BC y 米 .(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)如果矩形区域 ABCD 铺设砖石地面，建设费用为每平方米 50 元，其他区域种花草，建设费用为每平方米 100 元，设总建设费用为 w 元，求 w 与 x 之间的函数关系式；当 x
17、取何值时，w 有最小值，最小值为多少？第 2 题图3. (2018 合肥瑶海区三模)国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地( 数据如图所示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(如图阴影所示) ，供游人赏花设改造后剩余油菜花地所占面积为 y m2.(1)求 y 与 x 的函数表达式；(2)若改造后观花道的面积为 13 m2，求 x 的值；(3)若要求 0.5x1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值第 3 题图4. (2017 潍坊)如图，工人师傅用一块长为 10 dm，宽为 6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，
18、用实线表示裁剪线、虚线表示折痕，并求长方体底面面积为 12 dm2 时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？第 4 题图5. 如图，为美化社区环境，满足市民休闲娱乐需要，某社区计划在一块长为 60 m，宽为 40 m 的矩形空地上修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽 x m，纵向宽为 2x m 的鹅卵石健身道第 5 题图(1)用含 x(m)的代数式表示休闲区的面积 S(m2)，并注明 x 的取值范围；(2)
19、若休闲区的面积与鹅卵石健身道的面积相等，求此时 x 的值；(3)已知承建公司修建休闲区、鹅卵石健身道的前期投入及造价 w1(万元) 、w 2(万元)与修建面积 a(m2)之间的关系如下表所示，并要求满足 1x 3，要使修建休闲区和鹅卵石健身道的总价 w 最低，x 应取多少米，最低造价多少万元？a(m2) 0 10 100 w1(万元 ) 0.5 0.6 1.5 w2(万元 ) 0.5 0.58 1.3 类型一 最大利润问题1. 解：(1)w( x80) y(x80)(2x320)2x 2480x25600，w 与 x 的函数关系式为：w2x 2480x 25600；(2)w 2x2480x 2
20、5600 2(x120) 23200，20，80x160，当 x120 时，w 有最大值，w 最大值为 3200.答：销售单价定为 120 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 3200 元2. 解：(1)由题意得 y200 时，即x1300200，解得：x1100，即该旅游线路报价的取值范围为 1100 元/人1200 元/ 人之间；(2)设经营这条旅游线路每月所需要的成本为 z 元，z500(x1300)500 x650000，5000，当 x1200 时，z 最低 500120065000050000；答：经营这条旅游线路每月所需的最低成本为 50000 元(3)设经营这条旅游线路的总利
21、润为 w，则 w(x500)(x1300) x 21800x650000(x900) 2160000，10，800x1200，当 x900 时，w 最大 160000.答：当这条旅游线路的旅游报价为 900 元时，可获得最大利润，最大利润为 160000元3. 解：(1)若商场经营该商品不降价，则一天可获利润 100(10080)2000(元) ；(2)依题意得：参考答案(10080x)(10010x)2160，即 x210x160，解得：x 12，x 28，经检验：x 12，x 28 均符合题意，答：商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价 2 元或 8 元；依题意得：y(
22、100 80x)(10010x) 10x2100x200010(x5) 22250，100，当 x5 时，商场所获利润最大，最大利润为 2250 元4. 解：(1)设 ykxb，则根据题图可知 ，解得 ，60k b 15160k b 10) k 120b 18)y 与 x 的函数关系为 y x18(60x160) ；120(2)设公司的利润为 w 万元，则 w( x40)( x18)1000 (x200) 2280，120 120又 0，120当 x200 时，w 随 x 增大而增大，则 60x160，当 x160 时，w 最大，最大值为 200，2017 年该公司的最大利润为 200 万元；
23、(3)根据题意可得：(x40)( x18)200980，120解得 x1100，x 2300(舍)，当 x100 时，能使两年共盈利达 980 万元5. 解：(1)设二次函数的解析式为 yax 2bxc ，根据题意，得 ，c 1a b c 1.54a 2b c 1.8)解得： ，a 110b 35c 1 )故所求函数的解析式是：y x2 x1；110 35(2)根据题意，得 s10y(32)xx 25x10；(3)s x25x10(x )2 .52 654由于 1x3，所以当 1x 2.5 时，s 随 x 的增大而增大当广告费在 1025 万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大，公司可
24、获得的最大年利润是 万元6546. 解：(1)设一次函数的解析式为 ykxb，将(30，350)和(40，300) 分别代入 ykx b得： ，解得 ，30k b 35040k b 300) k 5b 500)y 与 x 的函数关系式为 y 5x500；(2)据题意得：(x 30)( 5x500) 5000即 x2130x40000，解得：x 150，x 280，又30(1100%) 60，80 60 不合题意，舍去，答：当销售单价 x50 时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为 5000 元据题意得，W(x 30)(5x500)，即 W5( x65) 261255040 x30) x10x4
25、03)0x10，S18x 2420x 2400(0x 10)；(2)由题意得：18x 2420x2400 ，化简得 3x270x2000，40602解得 x1 ，x 220(不合题意，舍去)，此时 x 为 m；103 103(3)由表可知：修建休闲区前期投入 0.5 万元，每平方米造价 0.01 万元；修建鹅卵石健身道前期投入 0.5 万元，每平方米造价 0.008 万元，由上述信息可得：w0.01(18x 2420x 2400)0.008(18x 2420x) 1 ，整理，得w0.036x 20.84 x25，配方后，得 w (x )2 ，9250 353 20110a0，当 x 时，w 随 x 的增大而减小，3531x3，当 x3 时，w 最小 0.03690.8432522.804(万元) ，答：当 x 的值取 3 米时，最低造价为 22.804 万元