1、1(2018益阳、湘潭调研)在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 ( 为x 2cos y sin )参数) 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos .直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点( 3) 12(1)求直线 l 的直角坐标方程；(2)设点 P(1，0)，求|PA|PB|的值解：(1)由 cos 得 cos cos sin sin ，( 3) 12 3 3 12又 cos x， sin y，所以直线 l 的直角坐标方程为 x y10.3(2)由 ( 为参数)得曲线 C 的普通方程为 x24y 24，x 2cos y si
2、n )因为 P(1，0) 在直线 l 上，故可设直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，x 32t 1y 12t )将其代入 x24y 24 得 7t24 t120，3所以 t1t2 ，127故|PA|PB| t1|t2|t 1t2| .1272(2018合肥第一次质量检测) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： ( 为参数)，x 3cos y 2sin )在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2cos 0.(1)求曲线 C2 的直角坐标方程；(2)若曲线 C1 上有一动点 M，曲线 C2 上有一动点 N，求|MN|的最小值解：(1)由 2cos 0 得 22 co
3、s 0.因为 2x 2y 2， cos x，所以 x2y 22x 0，即曲线 C2 的直角坐标方程为 (x1) 2y 21.(2)由(1)可知，圆 C2 的圆心为 C2(1，0)，半径为 1.设曲线 C1 的动点 M(3cos ，2sin )，由动点 N 在圆 C2 上可得| MN|min| MC2|min1.因为|MC 2| ，（3cos 1）2 4sin2 5cos2 6cos 5所以当 cos 时，| MC2|min ，35 455所以|MN |min|MC 2|min1 1.4553(2018高考全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 ( 为x cos y sin )参
4、数) ，过点(0， )且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程解：(1)O 的直角坐标方程为 x2y 21.当 时，l 与 O 交于两点2当 时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx .l 与O 交于两点当且仅当2 21，|21 k2|解得 k1 或 k1，即 或 .(4，2) (2，34)综上， 的取值范围是 .(4，34)(2)l 的参数方程为 (t 为参数， )x tcos y 2 tsin ) 4 34设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，t B，t P，则 tP ，且 tA，t B满足 t22 tsin
5、tA tB2 210.于是 tAt B2 sin ，t P sin .2 2又点 P 的坐标(x，y) 满足 x tPcos ，y 2 tPsin ，)所以点 P 的轨迹的参数方程是( 为参数， )x 22sin 2y 22 22cos 2) 4 344(2018昆明调研)在直角坐标系 xOy 中，已知倾斜角为 的直线 l 过点 A(2，1)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin ，直线 l 与曲线 C 分别交于 P，Q 两点(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若|PQ| 2|AP|AQ| ，求直线 l 的斜率 k.解：
6、(1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数)x 2 tcos y 1 tsin )曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 22y.(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 t2(4cos )t30，由 (4cos ) 2430，得 cos2 ，34由根与系数的关系，得 t1t 24cos ，t 1t23，由参数的几何意义知，|AP|t 1|，|AQ| t2|，| PQ|t 1t 2|，由题意知，(t 1t 2)2t 1t2，则(t 1t 2)25t 1t2，得(4cos ) 253 ，解得 cos2 ，满足 cos2 ，1516 34所以 sin2 ，tan 2 ，116 11
7、5所以直线 l 的斜率 ktan .15155(一题多解)(2018郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点(1，0)，倾斜角为 ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 .8cos 1 cos2(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若 ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求AOB 的面积4解：(1)由题知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) x 1 tcos y tsin )因为 ，8cos 1 cos2所以 sin28cos ，所以 2sin2 8cos ，即 y28x .(2)法一：当 时
8、，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，4 x 1 22ty 22t )代入 y28x 可得 t28 t160，2设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1t 28 ，2t1t216，所以|AB| t1 t2| 8 .（t1 t2）2 4t1t2 3又点 O 到直线 AB 的距离 d 1sin ，4 22所以 SAOB |AB|d 8 2 .12 12 3 22 6法二：当 时，直线 l 的方程为 yx 1，4设 M(1，0) ，A(x 1，y 1)，B( x2，y 2)，由 得 y28(y1) ，即 y28y80，y2 8x，y x 1，)由根与系数的关系得 y1 y2 8，
9、y1y2 8，)SAOB |OM|y1y 2| 1 4 2 .12 12 （y1 y2）2 4y1y2 12 82 4（ 8） 12 6 66(2018陕西教学质量检测( 一)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为(t0， 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直x tcos y sin )线 l 的极坐标方程为 sin 3.2 ( 4)(1)当 t1 时，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值；(2)若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方，求实数 t 的取值范围解：(1)由 sin 3 得 sin cos 3，2 ( 4)把 xcos
10、， ysin 代入得直线 l 的直角坐标方程为 xy30，当 t1 时，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数) ，x cos y sin )消去参数得曲线 C 的普通方程为 x2y 21，所以曲线 C 为圆，且圆心为 O，则点 O 到直线 l 的距离 d ，|0 0 3|2 322所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 1 .322(2)因为曲线 C 上的所有点均在直线 l 的下方，所以对任意的 R，tcos sin 30，所以 00)在以x tcos y sin )O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l： cos .( 4) 2(1)若 l 与曲线 C 没有公共点，求
11、 t 的取值范围；(2)若曲线 C 上存在点到 l 的距离的最大值为 ，求 t 的值62 2解：(1)因为直线 l 的极坐标方程为 cos ，即 cos sin 2，( 4) 2所以直线 l 的直角坐标方程为 xy2.因为曲线 C 的参数方程为 ( 为参数，t0)，x tcos y sin )所以曲线 C 的普通方程为 y 21( t0)，x2t2由 消去 x 得，(1t 2)y24y4t 20，x y 2，x2t2 y2 1，)所以 164(1 t 2)(4t 2)0，所以 00，所以 t .28(2018潍坊模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (x 2cos y
12、2 2sin )为参数) ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为cos2sin (0，0 )(1)写出曲线 C1 的极坐标方程，并求 C1 与 C2 交点的极坐标；(2)射线 与曲线 C1，C 2 分别交于点 A，B(A，B 异于原点)，求(6 3)的取值范围|OA|OB|解：(1)由题意可得曲线 C1 的普通方程为 x2(y2) 24，把 xcos ， ysin 代入，得曲线 C1 的极坐标方程为 4sin ，联立 4sin ，cos2 sin ，)得 4sin cos2sin ，此时 0 ，当 sin 0 时， 0， 0，得交点的极坐标为(0 ，0)；当 sin 0 时， cos2 ，当 cos 时， ， 2 ，得交点的极坐标为 ，14 12 3 3 (23，3)当 cos 时， ， 2 ，得交点的极坐标为 ，12 23 3 (23，23)所以 C1 与 C2 交点的极坐标为(0 ，0)， ， .(23，3) (23，23)(2)将 代入 C1 的极坐标方程中，得 14sin ，代入 C2 的极坐标方程中，得 2 ，sin cos2所以 4cos 2，因为 ，|OA|OB| 4sin sin cos2 6 3所以 14cos 23，所以 的取值范围为1，3 |OA|OB|