1、专题分类突破四 平行四边形性质与判定的综合应用类型 1 平行四边形性质与判定的综合应用【例 1】 如图所示，在 ABCD 中，BD AD，A45，E，F 分别是 AB，CD 上的点，且 BEDF ，连结 EF 交 BD 于点 O.(1)求证：BO DO.(2)若 EFAB，延长 EF 交 AD 的延长线于点 G，当 FG 1 时，求 EF 的长解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB .ODF OBE.在ODF 与 OBE 中， ODF OBE， DOF BOE，DF BE， )ODF OBE(AAS )，BODO.(2)EF2FG2.变式 如图，在 ABCD 中，E，F 分别
2、为边 AD，BC 的中点，对角线 AC 分别交 BE，DF于点 G，H.求证：AGCH.证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC.E，F 分别为 AD，BC 边的中点，AEDE AD，CFBF BC，12 12DEBF，DEBF，AE FC .四边形 BFDE 是平行四边形，BEDF .AGEAHD，EBFDFC.又AHD FHC，AGEFHC，ADBC，AEBEBF.AEB DFC.AGECHF，AG CH.类型 2 平行四边形与三角形中位线的综合应用)【例 2】 如图所示，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上的一点，且CEDC，连结 AE，分别交 BC，BD 于点
3、 F，G，连结 AC 交 BD 于点 O，连结 OF.求证：AB2OF .证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB CD ，OA OC.BAF CEF，ABF ECF.又CEDC，ABEC.在ABF 和ECF 中， BAF CEF，AB EC， ABF ECF， )ABF ECF(ASA) ，BFCF.又OAOC，OF 是ABC 的中位线，AB2OF .变式 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E 为 AD 上的一点，连结 EB 并延长至点 F，使 BFBE，连结 EC 并延长至点 G，使 CGCE，连结 FG.H 为 FG 的中点，连结DH，AF.(1)求证：四边形 AFHD
4、为平行四边形；(2)若 CBCE， EBC 75 ，DCE10，求DAB 的度数解：(1)证明：BFBE，CGCE ，BC 为FEG 的中位线，BCFG，BC FG.12又H 是 FG 的中点，FH FG，12BCFH.四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，ADFH ，ADFH，四边形 AFHD 是平行四边形；(2)四边形 ABCD 是平行四边形，DABDCB.CECB，BECEBC75，BCE180757530 ，DCBDCEBCE103040，DAB40类型 3 平行四边形与变换的综合应用【例 3】 如图，将 ABCD 折叠，使顶点 D 恰落在 AB 边上的点 M 处，折痕为
5、 AN，那么对于结论 MNBC，MN AM ，下列说法正确的是( B )A都错 B都对C对，错 D错，对变式 如图所示，在 ABCD 中，将ABC 沿 AC 对折，使点 B 落在点 B处，AB 和 CD相交于点 O.求证：OAOC.证明：ABC 是由ABC 沿 AC 对折得到的图形，BACBAC.四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD，BACDCA，DCABAC，OAOC.1如图所示，在 ABCD 中，BAFE，EA 是BEF 的角平分线求证：(1)ABEAFE；(2)FADCDE.证明：(1)EA 是BEF 的角平分线，BEA FEA.在ABE 和AFE 中， B AFE， BEA FEA
6、，AE AE， )ABE AFE( AAS)(2)ABEAFE，AB AF.四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD，ADBC，AB DC，AFCD，ADF DEC，BC 180.BAFE，AFE AFD180，AFDC.在AFD 和DCE 中， ADF DEC， C AFD，AF DC， )AFDDCE( AAS)，FADCDE.2如图所示，E，F 分别为 ABCD 中 AD，BC 的中点，分别连结 AF，BE 交于点 G，连结 CE，DF 交于点 H.求证：EF 与 GH 互相平分证明：E 为 AD 的中点，F 为 BC 的中点，AE AD，12CF BC.12四边形 ABCD 是平行四边
7、形，ADBC，ADBC，AECF，AECF，四边形 AFCE 是平行四边形，AFCE .同理可证 BEDF .四边形 GFHE 是平行四边形，EF 与 GH 互相平分32018黄冈如图，在 ABCD 中，分别以边 BC，CD 作等腰BCF，CDE，使BCBF，CDDE，CBF CDE，连结 AF，AE.(1)求证：ABFEDA；(2)延长 AB 与 CF 相交于点 G.若 AFAE，求证：BF BC.证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，ABCADC.BCBF，CDDE，BFAD ，ABDE.ADEADCEDC360 ，ABF ABCCBF360，EDCCBF，ADE
8、FBA，ABF EDA.(2)延长 FB 交 AD 于点 H.AEAF，EAF 90.ABF EDA，EADAFB.EADFAH90，FAHAFB90.AHF90，即 FBAD.ADBC，FB BC.4如图，将 ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D处，折痕 l 交CD 边于点 E，连结 BE.(1)求证：四边形 BCED是平行四边形；(2)若 BE 平分ABC，求证： AB2AE 2BE 2.证明：(1)将 ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D处，DAED AE，DEAD EA，DAD E.DEAD ，DEA EAD，DAEEADDEA D EA，DAD DED，四边形 DADE 是平行四边形， DE AD.四边形 ABCD 是平行四边形，AB 綊 DC，CE 綊 DB，四边形 BCED是平行四边形；(2)BE 平分ABC，CBEEBA.ADBC，DAB CBA180.DAEBAE，EABEBA90，AEB 90，AB 2AE 2BE 2.