1、专题分类突破八 一次函数与反比例函数类型 1 一次函数与反比例函数的交点问题【例 1】 如图所示，正比例函数 y1k 1x 的图象与反比例函数 y2 的图象相交于 A，B 两k2x点，其中点 A 的横坐标为 2，当 y1y2 时，x 的取值范围是 ( D )Ax2Bx2变式 1 若反比例函数 y 与一次函数 yx 2 的图象没有交点，则 k 的值可以是( A )kxA2 B1 C1 D2变式 2 若直线 ykx( k0)与双曲线 y 的交点为( x1，y 1)，( x2，y 2)，则 2x1y25x 2y1 的值2x为_6_【解析】 由题意知，直线 ykx( k0)过原点和一、三象限，且与双曲
2、线 y 交于两点，2x则这两点关于原点对称，x 1x 2，y 1y 2.又点 A，点 B 在双曲线 y 上，2xx 1y12，x 2y22，原式2x 2y25x 2y222526.类型 2 一次函数与反比例函数的数形结合问题)【例 2】 函数 ykx3 与 y (k0)在同一坐标系内的图象可能是 ( B )kxA B C D变式 1 2018广州一次函数 yaxb 和反比例函数 y 在同一直角坐标系中的大致图a bx象是( A )A BC D【解析】 当 yax b 经过第一、二、三象限时，a0，b0，由直线和 x 轴的交点知： 1，即 ba，ab0.ba所以双曲线在第一、三象限故选项 B 不
3、成立，选项 A 正确当 yaxb 经过第一、二、四象限时，a0，b0，此时 ab0，双曲线位于第二、四象限，故选项 C，D 均不成立变式 2 设一次函数 ykxb(k，b 是常数，k0)的图象过 A(1，3)，B(1，1) 两点(1)求该一次函数的表达式；(2)若点(2 a2， a2)在该一次函数图象上，求 a 的值(3)已知点 C(x1，y 1)和点 D(x2，y 2)在该一次函数图象上，设 m( x1x 2)(y1y 2)，判断反比例函数 y 的图象所在的象限，说明理由m 1x解：(1)一次函数 ykxb 的图象过 A(1，3) ，B(1，1)两点， 得k b 3， k b 1， ) k
4、2，b 1.)即该一次函数的表达式是 y2x1；(2)点(2 a2， a2)在该一次函数 y2x1 的图象上，a 22(2a2)1，解，得 a1 或 a5，即 a 的值是1 或 5；(3)反比例函数 y 的图象在第一、三象限，m 1x理由：点 C(x1，y 1)和点 D(x2，y 2)在该一次函数 y2x1 的图象上，且 y 随 x 的增大而增大，假设 x1x 2，则 y1y 2，此时 m(x 1x 2)(y1y 2)0，假设 x1x 2，则 y1y 2，此时 m(x 1x 2)(y1y 2)0，由上可得，m0，m10，反比例函数 y 的图象在第一、三象限m 1x类型 3 一次函数、反比例函数
5、与几何图形的综合问题【例 3】 如图所示，菱形 OABC 的边 OC 在 x 轴正半轴上，点 B 的坐标为(8，4) (1)请求出菱形的边长；(2)若反比例函数 y 经过菱形对角线的交点 D，且与边 BC 交于点 E，求点 E 的坐标kx例 3 图 例 3 答图解：(1)如图，作 BMx 轴于点 M，点 B 的坐标为(8，4) ，OC BC ，CM8BC.在 Rt BCM 中，BC 2CM 2BM 2，即 BC2(8 BC )24 2，解，得 BC5，即菱形的边长为 5; (2)D 是 OB 的中点，点 D 的坐标为(4，2)点 D 在反比例函数 y 上，kxkxy428，y .8x又OC5，
6、C(5，0)，可求出直线 BC 的表达式为 y x .43 203令 x ，解得 x16，x 21( 舍去)，43 203 8x当 x6 时，y ，86 43点 E 的坐标为 .(6，43)1已知一次函数 y1x 3 和反比例函数 y2 的图象在平面直角坐标系中交于 A，B 两点，4x当 y1y 2 时，x 的取值范围是 ( D )Ax1 或 x4Bx 1 或 0x4C1x0 或 0x4D1x0 或 x42直线 ykx 与双曲线 y (x0)交于点 A(1，a)，则 k_2_2x3若函数 ykx2k 2 与 y (k0) 的图象有两个不同的交点，则 k 的取值范围是kx_k 且 k0_124如
7、图所示，已知一次函数 ykx3(k0)的图象与 x 轴， y 轴分别交于 A，B 两点，与反比例函数 y (x0)交于 C 点，且 ABAC，则 k 的值为_3_6x5如图所示，一次函数 y1k 1xb 与反比例函数 y2 (x0)的图象相交于 A，B 两点，且k2x与坐标轴的交点为(6，0)，(0，6) ，点 B 的横坐标为 4.(1)试确定反比例函数的表达式；(2)求AOB 的面积；解：(1)一次函数的表达式为ykx b，且一次函数与坐标轴的交点为(6，0) ，(0，6) ， 6k b 0，b 6， ) k 1，b 6， )一次函数的表达式为 yx 6，B(4，2) ，反比例函数的表达式为
8、 y ； 8x(2)点 A 与点 B 是反比例函数与一次函数的交点，可得：x6 ，解，得 x2 或 x4，8xA(2，4) ， S AOB 6622 626.126如图，已知点 A，P 在反比例函数 y (k0) 的图象上，点 B，Q 在直线 yx 3 的图kx象上，点 B 的纵坐标为1，ABx 轴，且 SOAB 4，若 P，Q 两点关于 y 轴对称，设点P 的坐标为( m，n) (1)求点 A 的坐标和 k 的值；(2)求 的值nm mn解：(1)点 B 在直线 yx 3 的图象上，点 B 的纵坐标为1，当 y1 时，x 31，解得 x2，B(2，1) 设点 A 的坐标为(2，t) ，则 t
9、1，AB1t .S OAB 4， (1t) 24，解得 t5，12点 A 的坐标为(2，5) 点 A 在反比例函数 y (k0)的图象上，kx5 ，解得 k10；k2(2)P， Q 两点关于 y 轴对称，点 P 的坐标为( m，n) ，Q(m ，n)点 P 在反比例函数 y 的图象上，点 Q 在直线 y x3 的图象上，10xn ，nm3，10mmn10，mn3， nm mn m2 n2mn （m n）2 2mnmn （ 3）2 2（ 10） 10 .29107如图，已知点 D 在反比例函数 y 的图象上，过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点mxB(0，3) 过点 A(5，0)的直线 y
10、kxb 与 y 轴交于点 C，且 BDOC，OC OA.25(1)求反比例函数 y 和直线 ykxb 的表达式；mx(2)连结 CD，试判断线段 AC 与线段 CD 的关系，并说明理由；(3)点 E 为 x 轴上点 A 右侧的一点，且 AEOC，连结 BE 交直线 CA 与点 M，求BMC 的度数解：(1)A(5，0)，OA5. ，OC2，C(0，2)，OCOA 25BDOC2.B(0，3) ，BDx 轴，D(2，3) ，m236，y . 6x直线 ykxb 过 A(5，0)，C (0，2)两点， 解，得 y x2.0 5k b， 2 b， ) k 25，b 2， ) 25(2)B(0，3)，C(0，2)， BC5OA.又DBCAOC，BD OC，BCDOAC，CDAC，BCDOAC .BCDBCAOACBCA 90，ACCD.(3) 连结 AD.AEOC，BDOC，AEBD .BDx 轴，四边形 AEBD 为平行四边形，ADBM，BMCDAC.OACBCD，ACCD.ACCD，ACD 为等腰直角三角形，BMCDAC45.