1、专题分类突破五 特殊平行四边形的实践应用性问题类型 1 与特殊平行四边形结合的规律性问题【例 1】 如图，在斜边长为 1 的等腰 RtOAB 中作内接正方形 A1B1C1D1(正方形顶点都在OAB 边上)，在等腰 RtOA 1B1 中作内接正方形 A2B2C2D2；在等腰 RtOA 2B2 中作内接正方形 A3B3C3D3；依次作下去，则第 5 个正方形 A5B5C5D5 的边长为_ _(13)5【解析】 由正方形与等腰三角形的性质可以发现每个正方形的边长是所在等腰三角形斜边长度的三分之一变式 如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10，A60.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形 A1
2、B1C1D1；顺次连结四边形 A1B1C1D1 各边中点，可得四边形 A2B2C2D2；顺次连结四边形 A2B2C2D2 各边中点，可得四边形 A3B3C3D3；按此规律继续下去四边形A2nB2nC2nD2n的周长是( B )A. B. C. D.52n 2 52n 3 52n 52n 1【解析】 根据中点四边形的性质可知，A 1B1C1D1，A 3B3C3D3是矩形，A2B2C2D2，A 4B4C4D4是菱形，菱形 ABCD 的周长是 10440，菱形 A2B2C2D2 的周长是 40 ，12菱形 A4B4C4D4 的周长是 40 ，122则四边形 A2nB2nC2nD2n的周长是 40 ，
3、12n 52n 3类型 2 与特殊平行四边形结合的实验操作性问题【例 2】 如图，有一张一个角为 30，最小边长为 2 的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是( D )A8 或 2 B10 或 423 3C10 或 2 D8 或 423 3【解析】 由题意，得 AB2，C30， BC4，AC 2 .3沿图中所示的中位线剪开，CDAD ，CFBF 2，DF 1.3如图 1 所示：拼成一个矩形，矩形周长为112 42 ；3 3 3如图 2 所示，可以拼成一个平行四边形，周长为 22228.如图 3 所示，可以拼成一个等腰梯形，周长为 12238.变式
4、 在矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC8.(1)将矩形纸片沿 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处( 如图所示)，连结 DE，DE 和 BC 相交于点 F，试说明BDF 为等腰三角形，并求出 BF 的长；(2)将矩形纸片折叠，使点 B 与点 D 重合(如图所示)，求折痕 GH 的长解：(1)如图，由折叠，得ADBEDB，ADDE ，ABBE，在矩形 ABCD 中，ADBC，ADBDBC，BDEDBC，BFDF ，BDF 为等腰三角形AB6，BC 8.DE 8.设 BFDF x，FC8x.在 RTDCF 中，DF 2DC 2FC 2，x 26 2(8 x) 2，解得 x ，254BF 的长为
5、；254(2)如答图，由折叠得，DHBH ，设 BHDH y，则 CH8y，在 Rt CDH 中，DH 2DC 2 CH2，即 y26 2(8 y) 2，解得 y ，254连结 BD，BG ，由翻折的性质可得，BGDG，BHG DHG，在矩形 ABCD 中，ADBC，BHG DGH ，DHGDGH，DHDG，BHDHDG BG ，四边形 BHDG 是菱形在 Rt BCD 中， BD 10，BC2 CD2S 菱形 BDGHBH CD，12即 10GH 6，解得 GH .12 254 1521. 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结
6、论中不一定成立的是( C )AABCADC，BADBCDBAB BCCDAB BCD180DABCD，ADBC2如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，DAB60。连结对角线 AC，以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1，使D 1AC60；连结 AC1，再以 AC1 为边作第三个菱形 AC1C2D2，使D 2AC160；按此规律所作的第 n 个菱形的边长为_( )n1 _33已知在菱形 ABCD 中，AC6，BD 4.若以 BD 为边作正方形 BDEF，则 AF_ 或5_534如图所示，将边长为 8 cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A落在点 F
7、处，折痕为 MN，则线段 CN 与 MN 的长分别为 _3_cm 和_4 _cm.5【解析】 设 CNx cm，则 DN(8 x)cm.由折叠可知，ENDN(8x)cm.在 Rt ECN 中， CE4 cm ，CN x cm，EN(8 x)cm ，由勾股定理，得 EN2CN 2 CE2，即(8x )2x 2 42，解，得 x3，CN 3 cm；如图，过点 M 作 MGCD 于点 G，则由题意可知 AMDG ，MG BCCD .连结 DE，交 MG 于点 I.由折叠可知，DEMN， NMGMIE90.DIG EDC90，MIEDIG(对顶角相等) ，NMGEDC.在MNG 与DEC 中， NMG
8、 EDC，MG CD， MGN DCE 90， )MNGDEC(ASA )MNDE 4 (cm)82 42 55我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边(1)除了正方形外，写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称：_矩形或直角梯形_；(2)如图 1，已知格点(小正方形的顶点 )O(0，0)，A(3 ，0)，B(0，4)，请你画出以格点为顶点，OA，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 OAMB，并写出点 M 的坐标；(3)如图 2，以ABC 的边 AB，AC 为边，向三角形外作正方
9、形 ABDE 及 ACFG，连结CE，BG 相交于 O 点，P 是线段 DE 上任意一点求证：四边形 OBPE 是勾股四边形解：(2)如图 1，M 点的坐标是 (3，4)或(4 ，3)；(3)证明：连结 BE(如图 2)四边形 ABDE 和 ACFG 是正方形，AEAB，ACAG，EABCAG90，EACBAG.AECABG，AEC ABG .AECCEBEBA90，ABGCEBEBA 90.BOE90，OB 2OE 2BE 2.即四边形 OBPE 是勾股四边形6在正方形 ABCD 外侧作直线 AP，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连结 BE，DE ，其中 DE 交直线 AP 于点 F
10、.(1)依题意补全图 1，图 2；(2)若PAB25，求ADF 的度数；(3)如图 2，若 45PAB 90，用等式表示线段 AB，FE，FD 之间的数量关系，并证明解：(1)如图 1，图 2 所示： (2)连结 AE，如图 3 所示：则PAB PAE25，AEABAD，AEDADF.四边形 ABCD 是正方形，BAD90，EAD902525140，ADF (180EAD)20；12(3)连结 AE，BF，BD，如图 4 所示：则 EFBF，AEAB AD，ABF AEFADF，BFDBAD90，BF 2FD 2BD 2，EF 2FD 2AB 2AD 22AB 2，即 EF2FD 22AB 2.