1、22.4.2 矩形的判定1在 ABCD 中， ABC_， ABCD 是矩形2已知：线段 AB， BC， ABC90.求作：矩形 ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：图 15甲：1.以点 C 为圆心， AB 长为半径画弧；2以点 A 为圆心， BC 长为半径画弧；3两弧在 BC 上方交于点 D，连接 AD， CD，四边形 ABCD 即为所求(如图 15)图 16乙：1.连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 M；2连接 BM 并延长，在延长线上取一点 D，使 MD MB，连接 AD， CD，四边形 ABCD 即为所求(如图 16)对于两人的作业，下列说法正确的是( )A两人都对
2、B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对3如图 17，在 ABC 中， D 是 BC 边上的点， E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交CE 的延长线于点 F，且 AF BD，连接 BF.(1)求证： BD CD；(2)如果 AB AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论图 174在四边形 ABCD 中， ABC BCD CDA_，四边形 ABCD 是矩形5如图 18 所示，已知在 ABCD 中，各个内角的平分线相交于点 E， F， G， H.(1)猜想 EG 与 FH 之间的数量关系；(2)试证明你猜想的正确性图 186如图 19，平行四边形 ABCD 的对角线
3、AC 与 BD 相交于点 O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )图 19A AO OC B AC BDC AC BD D BD 平分 ABC7在四边形 ABCD 中， AC， BD 交于点 O，在下列各组条件中，不能判定四边形 ABCD 为矩形的是( )A AB CD， AD BC， AC BDB AO CO， BO DO， BAD90C BAD BCD， ABC BCD180， AC BDD BAD ABC90， AC BD7如图 20，在 ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DE AD，连接 EB， EC， DB.请你添加一个条件_，使四边形 DBCE 是矩形. 图 209如图 2
4、1， E， F 分别为 ABC 的边 BC， AB 的中点，延长 EF 到点 D，使得 DF EF，连接 DA， DB， AE.(1)求证：四边形 ACED 是平行四边形；(2)若 AB AC，试说明四边形 AEBD 是矩形图 2110如图 22，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O， AD BC， AC BD，那么下列条件中不能判定四边形 ABCD 是矩形的是( )A AD BC B AB CDC DAB ABC D DAB DCB图 22 图 2311如图 23，在 Rt ABC 中， A90， AB3， AC4， P 为边 BC 上一动点， PE AB于点 E， PF
5、AC 于点 F，则 EF 长的最小值为_12如图 24，在 ABCD 中， DC AD，四个角的平分线 AE， DE， BF， CF 的交点分别是E， F，过点 E， F 分别作 DC 与 AB 间的垂线 MM与 NN，在 DC 与 AB 上的垂足分别是 M， N与 M， N，连接 EF.求证：四边形 EFNM 是矩形图 2413如图 25 所示，在 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O.若 E， F 是 AC 上的两动点，分别从 A， C 两点以 1 cm/s 的速度同时向点 C， A 运动(1)四边形 DEBF 是平行四边形吗？请判断并说明理由；(2)若 BD12 cm， AC
6、16 cm，当运动时间 t 为何值时，四边形 DEBF 是矩形？图 2514如图 26，矩形 ABCD 的面积为 20 cm2，对角线 AC， BD 相交于点 O；以 AB， AO 为邻边作 AOC1B，对角线交于点 O1；以 AB， AO1为邻边作 AO1C2B 对角线交于点 O2；依此类推，则 AO4C5B 的面积为( )图 26A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm254 58 516 53215如图 27，在 ABC 中，点 O 在 AB 边上，过点 O 作 BC 的平行线交 ABC 的平分线于点 D，过点 B 作 BE BD 交直线 OD 于点 E，连接 AE， AD.
7、(1)求证： OE OD；(2)当点 O 在 AB 的什么位置时，四边形 BDAE 是矩形？请说明理由图 271902. A 解析 由甲同学的作业可知， CD AB， AD BC，四边形 ABCD 是平行四边形又 ABC90， ABCD 是矩形所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM AM， MD MB，四边形 ABCD 是平行四边形，又 ABC90， ABCD 是矩形所以乙的作业正确3解：(1)证明：由题意，得 AF BC， AFE DCE. E 是 AD 的中点， AE DE.在 AEF 和 DEC 中， AFE DCE， AEF DEC，AE DE， ) AEF DEC(AAS)， A
8、F DC. AF BD， BD CD.(2)四边形 AFBD 是矩形理由： AB AC， D 是 BC 的中点， AD BC， ADB90. AF BD，AF BC，四边形 AFBD 是平行四边形又 ADB90，四边形 AFBD 是矩形4905解：(1) EG FH.(2)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， BAD ABC180.又 AF， BH 分别平分 BAD， ABC， DAE BAE DAB， ABE CBE ABC， BAE ABE90，12 12 AEB90， FEH90.同理可证 EFG90， EHG90，四边形 EFGH 为矩形， EG FH.6B 8C 解析
9、 如图， AB CD， AD BC，四边形 ABCD 是平行四边形又 AC BD， ABCD 是矩形，A选项正确； AO CO， BO DO，四边形 ABCD 是平行四边形又 BAD90， ABCD 是矩形，B 选项正确； ABC BCD180， AB DC. BAD BCD， ABC BAD180， AD BC，四边形 ABCD 是平行四边形，而 AC BD 不能判定ABCD 是矩形，C 选项不正确； BAD ABC90， BAD ABC180， AD BC.在 Rt ABC 和 Rt BAD 中， Rt ABCRt BAD(HL)，AC BD，AB BA， ) BC AD，四边形 ABCD
10、 是平行四边形又 BAD90， ABCD 是矩形，D 选项正确故选 C.8答案不唯一，如 EB DC 解析 添加 EB DC.理由如下：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC，且 AD BC， DE BC.又 DE AD， DE BC，四边形 DBCE 为平行四边形又 EB DC， DBCE 是矩形故答案可以是 EB DC.9解：(1)证明： E， F 分别为 ABC 的边 BC， AB 的中点， EF AC， EF AC.12 DF EF， EF DE，12 AC DE.又 EF AC，四边形 ACED 是平行四边形(2) DF EF， AF BF，四边形 AEBD 是平行四边形 AB
11、 AC， AC DE， AB DE，四边形 AEBD 是矩形9B 解析 A 项，当 AD BC， AD BC 时，四边形 ABCD 是平行四边形，再依据AC BD，可得四边形 ABCD 是矩形；B 项，当 AB CD， AD BC 时，四边形 ABCD 不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形；C 项，当 DAB ABC， AD BC 时， DAB CBA90，再根据 AC BD，可得 Rt ABDRt BAC，进而得到 AD BC，四边形 ABCD是平行四边形又 DAB90，四边形 ABCD 是矩形；D 项，当 DAB DCB， AD BC时， ABC BCD180， AB CD，四边形 ABC
12、D 是平行四边形，再依据 AC BD，可得四边形 ABCD 是矩形112.4 解析 连接 AP. BAC90， PE AB， PF AC， BAC AEP AFP90，四边形 AFPE 是矩形， EF AP，要使 EF 最小，只要 AP 最小即可当 AP BC 时， AP最小在 Rt BAC 中， BAC90， AC4， AB3，由勾股定理得 BC5，由三角形面积公式得 43 5AP， AP2.4，即 EF2.4.12 1212证明：如图，过点 E， F 分别作 AD， BC 的垂线，垂足分别是 G， H.34，12， EG AD， EM CD， EM AB， EG ME， EG EM， EG
13、 ME EM MM.12同理可证 FH NF N F NN.12 CD AB， MM CD， NN CD， MM NN， ME NF.又 MM NN， MM CD，四边形 EFNM 是矩形13解：(1)是理由：在 ABCD 中，有 OD OB， OA OC. E， F 两点移动的速度相同，且同时开始运动，即 AE CF， OE OF，四边形 DEBF 是平行四边形(2)四边形 DEBF 是平行四边形，当 BD EF 时，四边形 DEBF 是矩形 BD12 cm， EF12 cm， OE OF6 cm.在 ABCD 中， AC16 cm， OA OC8 cm， AE2 cm 或 AE14 cm.
14、动点的速度是 1 cm/s， t2 s 或 t14 s.故当运动时间 t 为 2 s 或 14 s 时，四边形 DEBF 是矩形14B 解析 设矩形 ABCD 的面积为 S. O 为矩形 ABCD 的对角线的交点， AOC1B 底边 AB 上的高等于 BC 的一半， AOC1B 的面积 S.12 AOC1B 的对角线交于点 O1， AO1C2B 的边 AB 上的高等于 AOC1B 底边 AB 上的高的一半， AO1C2B 的面积 S ，(12)2S22依此类推， AO4C5B 的面积为 (cm2)故选 B.S25 2025 5815解：(1)证明： BD 是 ABC 的平分线， ABD DBC. ED BC， ODB DBC ABD， OB OD.在 Rt EBD 中， ABE ABD ODB BED90， ABE BED， OB OE， OE OD.(2)当 O 为 AB 的中点时，四边形 BDAE 为矩形理由： O 为 AB 的中点， OA OB.由(1)知 OE OD，四边形 BDAE 为平行四边形 BE BD， EBD90，四边形 BDAE 是矩形