1、第 7 讲、拆解转化（讲义）1. 在平面直角坐标系中，直线314yx交 y 轴于点 B，交 x 轴于点 A，抛物线21yxbc经过点 B，与直线 交于点 C(4，-2)（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为 m 的点 M 在直线 BC 上方的抛物线上，过点 M 作 ME y 轴交直线BC 于点 E，以 ME 为直径的圆交直线 BC 于另一点 D，当点 E 在 x 轴上时，求 DEM 的周长；（3）将 AOB 绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转 90，得到 A1O1B1，点A， O， B 的对应点分别是 A1， O1， B1，若 A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1
2、的坐标OMEDCBAy xOy x Oy x2. 如图，已知抛物线21()44byxx（ b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴交于点 A， B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示）（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 QCO， QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存
3、在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 yxOC BAP3. 如图，已知二次函数 y=x2+(1-m)x-m（其中 0 m1）的图象与 x 轴交于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C， P 为对称轴 l 上一点，且 PA=PC（1） ABC 的度数为_（2）求点 P 的坐标（用含 m 的代数式表示）（3）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合），使得以 Q， B， C 为顶点的三角形与 PAC 相似，且线段 PQ 的长度最小？若存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由A BCO xyy xOAPCBAly xO4. 已知抛物线 y
4、=ax2+bx+c，其中 2a=b0 c，且 a+b+c=0（1）直接写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根；（2）证明：抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 A 在第三象限；（3）直线 y=x+m 与 x， y 轴分别相交于 B， C 两点，与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A， D两点设抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴与 x 轴相交于点 E如果在对称轴左侧的抛物线上存在点 F，使得 ADF 与 BOC 相似，并且 S ADF=12S ADE，求此时抛物线的表达式PCBAly xO PCBAly xOOyxOyx【参考答案】1. （1）抛物线的解析式为2154yx；（2） DEM 的周长为6415；（3） A1的坐标为(72，98)或(34，16)2. （1）( b，0)；(0， 4)；（2）存在，点 P 的坐标为(165， )；（3）存在，点 Q 的坐标为(1， 23)或(1，4)3. （1）45；（2） P(m，12)；（3）存在，点 Q 的坐标为( 5，0)或(0，25)4. （1） x=1；（2）证明略；（3）此时抛物线的解析式为 y=x2+2x-3