1、解四边形专题东城区21如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，延长 BA至点 E，使 AE= AB，连接 DE， AC.（1）求证：四边形 ACDE为平行四边形;（2）连接 CE交 AD于点 O. 若 AC=AB=3， 1cos3B，求线段 CE的长. 21.(1) 证明：平行四边形 ABCD， =ABDC， . AB=AE， E， .四边形 ACDE为平行四边形. -2 分(2) ， .平行四边形 ACDE为菱形. AD CE. ADBC ， BC CE.在 Rt EBC中， BE=6, 1cos3BCE, =2.根据勾股定理，求得 =42.-5分西城区21如图，在 ABD中， ADB，分别
2、以点 ， D为圆心， AB长为半径在的右侧作弧，两弧交于点 C，分别连接 ， C， ，记 与 D的交点为 O（1）补全图形，求 AB的度数并说明理由;（2）若 5，3cos5D，求 的长BDA【解析】 （1）补全的图形如图所示 90AOB证明：由题意可知 BC， D，在 AD中， ， ， BB，四边形 AC为菱形， D， 90OB（2）四边形 A为菱形， 在 RtBO中， 90， 5AB，3cos5D， cos3AD， 26ABCDO海淀区21如图， ABCD的对角线 ,AB相交于点 O，且 AEBD ， BEAC ， OE = CD.（1）求证：四边形 ABCD是菱形；（2）若 AD = 2
3、，则当四边形 ABCD的形状是_时，四边形 AOBE的面积取得最大值是_.C BEOAD21 （1）证明： BD ， AC ，四边形 E是平行四边形. 1 分四边形 C是平行四边形， A. O, B.平行四边形 E是矩形. 2 分 90. ACD.平行四边形 是菱形. 3 分(2) 正方形； 4 分2. 5分丰台区21已知：如图，菱形 ABCD，分别延长 AB， CB到点 F， E，使得 BF = BA， BE = BC，连接AE， EF， FC， CA（1）求证：四边形 AEFC为矩形；（2）连接 DE交 AB于点 O，如果 DE AB，AB = 4，求 DE的长ABCEDF21 （1）证明
4、： BF=BA， BE=BC，四边形 AEFC为平行四边形. 1 分四边形 ABCD为菱形， BA=BC. BE=BF. BA + BF = BC + BE，即 AF=EC.四边形 AEFC为矩形. 2 分（2）解：连接 DB. EFDCBAG由（1）知， AD EB，且 AD=EB. 四边形 AEBD为平行四边形 DE AB，四边形 AEBD为菱形. AEEB， AB 2AG， ED2EG. 4分矩形 ABCD中， EB AB， AB=4， AG 2， AE 4.Rt AEG中， EG=2 3. ED=4 . 5分（其他证法相应给分）石景山区21如图，在四边形 ABCD中， 90BC， 21
5、0CD， EAD于点E（1）求证： E；（2）若 tan3，求 的长BACED21 （1）证明：（法一）过点 B作 BH CE于 H，如图 1 CE AD， BHC CED90， 90D BCD90， 1290， D又 BC CD BHC E BH CE， CE AD， A90，四边形 是矩形， A EC 3 分（法二）过点 C作 CH AB交 AB的延长线于 H图略，证明略（2）解： 四边形 BH是矩形， 在 Rt CED 中， tan3CE,设 ,3x， 102 E, 6C 4 分 HD 24AB 5分朝阳区21. 如图，在 ABC中， D是 AB边上任意一点， E是 BC边中点，过点 C
6、作 AB的平行线，交 DE的延长线于点 F，连接 BF， CD（1）求证：四边形 CDBF是平行四边形；（2）若 FDB=30， ABC=45， BC= ，求 DF的长4221.（1）证明： CF AB， ECF EBD. E是 BC中点， CE BE. CEF BED， CEF BED. CF BD.四边形 CDBF是平行四边形. 2 分（2）解：如图，作 EM DB于点 M，四边形 CDBF是平行四边形， BC 24， 21BCE， DEF.在 Rt EMB中， sinABC. 3分在 Rt EMD中， 4M. 4分 DF8. 5 分燕山区23 如图，在 ABC中， D,E分别是 AB,A
7、C的中点， BE=2DE,延长DE到点 F，使得 EF=BE,连接 CF（1）求证：四边形 BCFE是菱形；（2）若 BCF=120， CE=4，求菱形 BCFE的面积FCDEBMAABCDEF23. （1）证明：点 D,E, 是 AB,AC 中点 DEBC, DE= 12BC.1又 BE=2DE,即 DE= BEBC=BE 又 EF=BEEFBC, EF=BC四边形 BCFE是平行四边形.2又 EF=BE四边形 BCFE是菱形 .3（2）四边形 BCFE是菱形BC=BE 又 BCF=120BCE=60BCE 是等边三角形连结 BF交 EC于点 OBFEC在 RtBOC 中，BO= 32422
8、CB.43211SO .5门头沟区21.在矩形 ABCD中，连接 AC,AC的垂直平分线交 AC于点 O,分别交 AD、 BC于点 E、 F，连接 CE和 AF（1）求证：四边形 AECF为菱形；（2）若 AB=4， BC=8，求菱形 AECF的周长21. （1）证明： EF是 AC的垂直平分线， AO=OC， AOE= COF=90，1 分四边形 ABCD是矩形， AD BC， EAO= FCO，在 AEO和 CFO中， EAO= FCO， AO=CO， AOE= COF， AEO CFO（ASA） ， OE=OF 2 分8324BCFE菱 形FOAB CDFEOAB CD又 OA=OC，四
9、边形 AECF是平行四边形，又 EF AC，平行四边形 AECF是菱形；3 分（2）设 AF=x， EF是 AC的垂直平分线， AF=CF=x， BF=8 x， 4 分在 Rt ABF中，由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，4 2+（8 x）2=x2，解得 x=5， AF=5，菱形 AECF的周长为205 分大兴区21. 如图，矩形 ABCD的对角线 AC、 BD交于点 O，且 DE=OC，CE=O D（1）求证：四边形 OCED是菱形；（2）若 BAC30， AC4，求菱形 OCED的面积21.（1）证明： DE=OC， CE=OD，四边形 OCED是平行四边形 1 分矩形 ABCD，
10、AC=BD， OC= 12AC， OD= BD. OC=OD.平行四边形 OCED是菱形 2 分（2）解：在矩形 ABCD中， ABC=90， BAC=30， AC4， BC=2. AB=DC=23.3分连接 OE，交 CD于点 F.四边形 OCED为菱形， F为 CD中点. O为 BD中点， OF= 12BC=1. OE 2OF2 4 分S 菱形 OCED OECD= 122 3 35分平谷区21如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数 0kyx的图象与直线 y=x+1交于点A（1， a） （1）求 a， k的值；（2）连结 OA，点 P是函数 0kyx上 一点，且满足 OP=OA，直接写出点
11、 P的坐标（点 A除外） 21解：（1）直线 y=x+1经过点 A（1， a） ， a=2 1 A（1,2） 函数 0kx的图象经过点 A（1，2） ， k=2 2（2）点 P的坐标（2,1） ， （-1，-2） ， （-2，-1） 5怀柔区21.直角三角形 ABC中，BAC=90，D 是斜边 BC上一点，且 AB=AD，过点 C作 CEAD，交 AD的延长线于点 E，交 AB延长线于点 F.(1)求证：ACB=DCE；(2)若BAD=45， 2+AF，过点 B作 BGFC 于点 G，连接 DG依题意补全图形，并求四边形 ABGD的面积21. (1)AB=AD，ABD=ADB，1 分ADB=C
12、DE，ABD=CDE.BAC=90，ABD+ACB=90.CEAE，DCE+CDE=90.ACB=DCE. 2 分（2）补全图形,如图所示: 3 分BAD=45, BAC=90,BAE=CAE=45, F=ACF=45,DGBECAFDHGBECAFAECF, BGCF,ADBG.BGCF, BAC=90，且ACB=DCE,AB=BG.AB=AD，BG=AD.四边形 ABGD是平行四边形.AB=AD平行四边形 ABGD是菱形.4 分设 AB=BG=GD=AD=x，BF= 2BG= x.AB+BF=x+ 2x=2+ .x= 2， 过点 B作 BHAD 于 H.BH= AB=1.S 四边形 ABD
13、G=ADBH= 2. 5分延庆区21如图，Rt ABC中， ABC=90，点 D， F分别是 AC， AB的中点， CE DB， BE DC（1）求证：四边形 DBEC是菱形；（2）若 AD=3， DF=1，求四边形 DBEC面积.F EDCBA21 （1）在 Rt ABC中， CE/DC， BE/DC四边形 DBEC是平行四边形 D是 AC的中点， ABC=90 BD=DC 1分四边形 DBEC是菱形 2 分（2） F是 AB的中点 BC=2DF=2, AFD= ABC=90在 Rt AFD中, 3分 =22= 321=22 4分=12=12222=22菱形 =2=425分顺义区21如图，四
14、边形 ABCD中， AD BC， A=90， BD=BC，点 E为 CD的中点，射线 BE交 AD的延长线于点 F，连接 CF（1）求证：四边形 BCFD是菱形；（2）若 AD=1， BC=2，求 BF的长21（1）证明： BD=BC，点 E是 CD的中点，1 =2 1 分 AD BC，2 =31 =3 2 分 BD=DF BD=BC， DF=BC又 DF BC，四边形 BCFD是平行四边形 BD=BC， BCFD 是菱形 3 分（2）解： A =90， AD=1， BD=BC=2， 23BD四边形 BCFD是菱形， DF=BC=2 4 分 AF=AD+DF=3 2392BFA 5分FEAB CD321 FEAB CD