1、代数综合专题东城区20. 已知关于 x的一元二次方程 2320xmx.(1) 求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；(2) 若方程有一个根的平方等于 4，求 的值.20. （1）证明： 2=+3-2=+1 2+0m ，无论实数 m 取何值，方程总有两个实根. -2 分（2）解：由求根公式，得 1,231=mx， 1=x， 2+. 方程有一个根的平方等于 4， 24m.解得 =-，或 0. -5 分西城区20已知关于 x的方程2(3)0mx（ m为实数， 0） （1）求证：此方程总有两个实数根（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数 的值【解析】 （1）2222(3)4(3)69
2、169(3)0mmm此方程总有两个不相等的实数根（2）由求根公式，得()()2x， 1x， 23m（ 0） 此方程的两个实数根都为正整数，整数 的值为 1或 3海淀区20关于 x的一元二次方程 22(3)10xmx.（1）若 m是方程的一个实数根，求 的值；（2）若 为负数，判断方程根的情况.20解：（1） 是方程的一个实数根， 22310. 1 分 m. 3 分(2) 2415bacm. 0， 1. 25. 4 分此方程有两个不相等的实数根. 丰台区20已知：关于 x 的一元二次方程 x2 - 4x + 2m = 0 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）如果 m 为非负整数，
3、且该方程的根都是整数，求 m 的值20 解：（1）方程有两个不相等的实数根，0.= 241680（ ） m. 2 分（2） ，且 m 为非负整数， =0或 . 3 分当 m=0 时，方程为 240x，解得方程的根为 01x， 24，符合题意；当 m=1 时，方程为 2， 它的根不是整数，不合题意，舍去.综上所述， m=0. 5 分石景山区20关于 x的一元二次方程 2(3)60mxx（1）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当 为何整数时，此方程的两个根都为负整数20解：（1） 24bac (3)m 20 当 且 3时 ,方程有两个不相等实数根. 3 分（2）解方程，得： 1xm,
4、2 4 分 为整数,且方程的两个根均为负整数, 或 1或 2时, 此方程的两个根都为负整数. 5 分朝阳区20. 已知关于 x 的一元二次方程 0)1(2kx（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求 k 的取值范围.20. （1）证明：依题意，得 4)1(2 1 分.k 2 分 0)(2，方程总有两个实数根. 3 分（2）解：由求根公式，得 1x， k2. 4 分方程有一个根是正数， 0k. 0k.5 分燕山区21已知关于 x 的一元二次方程 22(1)0xkxk（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为 1 时，求 k 的值21 （1） 证明： 因为
5、 )(14)2(422 kacb 01所以有两个不等实根 3(2)当 x=1 时， )2(12kk 021k或5门头沟区22. 已知关于 x的一元二次方程 2410xk有实数根. （1）求 k的取值范围；（2）若 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求 k 的取值.22（本小题满分 5 分）解：（1）由题意得， 168()0k 1 分 3k 2 分（2） 为正整数， 12， ， 当 k时，方程 410xk有一个根为零；3 分当 时，方程 2无整数根； 4 分当 3k时，方程 xk有两个非零的整数根.综上所述， 1和 不合题意，舍去； 3k符合题意5 分大兴区20. 已知关于 x的一元二次方程
6、01632x有实数根， k为负整数（1）求 k的值；（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根20.解：（1）根据题意，得 =(6) 243（1 k）0 解得 2k1 分 k 为负整数， k=1，2 2 分（2）当 时，不符合题意，舍去； 3 分当 时，符合题意，此时方程的根为 12x 5 分平谷区20关于 x 的一元二次方程 210xk有两个不相等的实数根（1）求 k 的取值范围；（2）当 k 为正整数时，求此时方程的根20解：（1）关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根 2410k 1=84 k 0. 2（2） k 为正整数， k=1 3解方程 20x，得 12,x 5怀柔区20.已
7、知关于 的方程 2269m.（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为 x1，x 2，其中 x1x2，若 x1=2x2，求 m的值. 20.(1）=(-6m) 2-4(9m2-9) 1 分=36m2-36m2+36=360.方程有两个不相等的实数根 2 分（2） 63632mxm.3分3m+33m-3,x 1=3m+3,x2=3m-3, 4 分3m+3=2(3m-3) .m=3. 5 分延庆区20已知： AOB 及边 OB 上一点 C求作： OCD，使得 OCD= AOB要求：1尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；（说明：作出一个即可）2请你写出作图的依据CBOA20 （1）作图（略） 2 分（2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等边对等角. 5 分 顺义区20已知关于 x 的一元二次方程 21260xm（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求 m 的取值范围20 （1）证明： 214(6)2805 2m 2分 方程总有两个实数根 3 分（2）解：2(1)(5)1(5)mx， 13m， 2x 4 分由已知得 0 5 分