1、二次函数综合专题东城区26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 02342axay与 x 轴交于 A， B 两点（点 A 在点 B 左侧） （1）当抛物线过原点时，求实数 a 的值；（2）求抛物线的对称轴；求抛物线的顶点的纵坐标（用含 的代数式表示） ；（3）当 AB4 时，求实数 a 的取值范围26.解：(1) 点 0,O在抛物线上， 320， 3a.-2 分(2)对称轴为直线 2x；顶点的纵坐标为 a.-4 分(3) （i）当 0 时 ，依题意， -23.a ，解得 .（ii）当 0a 时 ，依题意， -23. ，解得 a -.综上， 2 ，或 3a . -7 分西城区26.在平面直角坐标
2、系 xOy中，抛物线 G：21(0)ymx与 y轴交于点 C，抛物线 G的顶点为 D，直线： 1(0)（1）当 m时，画出直线和抛物线 ，并直接写出直线被抛物线 G截得的线段长（2）随着 取值的变化，判断点 C， 是否都在直线上并说明理由（3）若直线被抛物线 G截得的线段长不小于 2，结合函数的图象，直接写出 m的取值范围O xy11【解析】 （1）当 m时，抛物线 G的函数表达式为2yx，直线的函数表达式为yx，直线被抛物线 截得的线段长为 2，画出的两个函数的图象如图所示：y=xy=x2+xO(C) xyD（2）抛物线 G：21(0)ymx与 y轴交于点 C，点 C的坐标为 (0,1)，2
3、 2(yxx，抛物线 G的顶点 D的坐标为 1,)，对于直线： (0ymx，当 0x时， 1，当 1时， ()1y，无论 m取何值，点 C， D都在直线上（3） m的取值范围是 3 -或 m 海淀区26在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线2yxab的顶点在 x 轴上，1(,)Pxm， 2(,)Q（ 12x）是此抛物线上的两点（1）若 a，当 b时，求 1， 2的值；将抛物线沿 y轴平移，使得它与 x轴的两个交点间的距离为 4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数 c，使得 1xc，且 27c成立，则 m的取值范围是 26解： 抛物线 2yxab的顶点在 x轴上，4()0b.2a. 1 分
4、（1） ， 1b.抛物线的解析式为 21yx. m， ，解得 0x， 2. 2 分依题意，设平移后的抛物线为 (1)yk.抛物线的对称轴是 1x，平移后与 x轴的两个交点之间的距离是 4，(3,0)是平移后的抛物线与 轴的一个交点.21k，即 4.变化过程是：将原抛物线向下平移 4 个单位. 4 分（2） 6m. 6 分丰台区26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 243yax的最高点的纵坐标是 2（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将 抛 物 线 在 1 x 4 之 间 的 部 分 记 为 图 象 G1， 将 图 象 G1沿 直 线 x = 1 翻 折 ， 翻折后的图象记为 G2
5、， 图 象 G1 和 G2 组 成 图 象 G 过( 0， b)作与 y 轴垂直的直线l，当直线 l 和图象 G 只 有 两 个 公 共 点 时 ， 将 这 两 个 公 共 点 分 别 记 为 P1(x1， y1)，P2(x2， y2)， 求 b 的 取 值 范 围 和 x1 + x2的 值 5441123213 xOy68765432765432 65826 解：（1）抛物线 2243yaxax， 对称轴为 x= 21 分抛物线最高点的纵坐标是 2， a= -2 2 分抛物线的表达式为 286yx. 3 分（2）由图象可知， b 或-6 b0. 6 分由图象的对称性可得： x1+x2=2 7
6、 分石景山区xy26在平面直角坐标系 xOy中，将抛物线 213Gymx： （ 0）向右平移 3个单位长度后得到抛物线 2G，点 A是抛物线 2的顶点（1）直接写出点 的坐标；（2）过点 03（ ， ） 且平行于 x 轴的直线 l 与抛物线 2交于 B， C两点当 =9BAC时，求抛物线 2的表达式；若 610，直接写出 m 的取值范围26解:（1） 32A,. 2 分（2）设抛物线 G的表达式为 2(3)yx，如图所示，由题意可得 AD. =90BAC， C， 45. 3D.点 的坐标为 (0,). 点 B在抛物线 2G上，可得 3m.抛物线 2的表达式为 23()3yx，即 3yx. 5
7、分 9m. 7 分朝阳区26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 240yaxa与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B.（1）求点 A， B 的坐标；（2）若方程 24=0axa有两个不相等的实数根，且两根都在 1，3 之间（包括 1，3） ，结合函数的图象，求 a 的取值范围.y xDx=3ACBOl26.解：（1） 4)2(42 axaxy A（0，4） ， B（2，0） 2 分（2）当抛物线经过点（1，0）时， 3 4 分当抛物线经过点（2，0）时， 1a 6 分结合函数图象可知， 的取值范围为 4 7 分燕山区24如图，在平面直角坐标系中，直线 l : y=kx+k(k
8、0 )与 x 轴, y 轴分别交于 A,B 两点，且点 B(0,2)，点 P 在 y 轴正半轴上运动，过点 P 作平行于 x 轴的直线 y=t （1）求 k 的值和点 A 的坐标；（2）当 t=4 时，直线 y=t 与直线 l 交于点 M ，反比例函数xny（n0）的图象经过点 M ，求反比例函数的解析式；(3)当 t4 时，若直线 y=t 与直线 l 和（2）反 比例函数的图象分别交于点 C，D，当 CD 间距离大于等于 2 时，求 t 的lOxyABPy=t1取值范围.24.解：（1）直线 l :y=kx+k 经过点 B(0,2)，k=2 y=2x+2A(-1,0) .2（2）当 t=4
9、时，将 y=4 代入 y=2x+2 得，x=1M(1,4)代入 xny得，n=4 4 .2（3）当 t=2 时，B(0,2) 即 C(0,2)，而 D(2,2)如图，CD=2，当 y=t 向下运动但是不超过 x 轴时，符合要求 t 的取值范围是 0 t2 .5门头沟区26.有一个二次函数满足以下条件：函数图象与 x 轴的交点坐标分别为 (1,0)A， 2(,)Bxy (点 B 在点 A 的右侧)；对称轴是 3；该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象 2x 的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“ G”，平行于 x 轴的直线与图象“ G”相交于点
10、 3(,)Cxy、 4(,)Dxy、 5(,)Exy（345） ，结合画出的函数图象求 45的取值范围.xyO26. （本小题满分 7 分）（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为: (3,2)设二次函数表达式为： 2()yax 1 分该图象过 (1,0)A 23a，解得 12a 2 分表达式为 ()yx（2）图象正确3 分由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点 当直线与 x 轴重合时，有 2 个交点,由二次函数的轴对称性可求346 4 分 51x 5 分当直线过 2(3)yx的图象顶点时，有 2 个交点，由翻折可以得到翻折后的函数图象为 21(3)yx令 21(3)x时，解得 ，
11、舍去6 分xyBO 34592x综上所述 3452x1 +7 分大兴区26. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 22(31)(0)yxmx，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A 1(0)x,B 2)，且 12.（1）求 123的值；（2）当 m= x时，将此抛物线沿对称轴向上平移 n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 ABC 的内部（不包括 ABC 的边） ，求 n 的取值范围（直接写出答案即可） 26.（1） 解关于 x 的一元二次方程， 22310xmxm得 x=2m+1, x=m 2 分 m0, x1 x2 x1=m, x2=2m+1. 3 分2x1-x2+3=2m-2m-
12、1+3=2 4 分（2）符合题意的 n 的取值范围是 . 7 分平谷区26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 23yxb的对称轴为直线 x =2（1）求 b 的值；（2）在 y 轴上有一动点 P（0， m） ，过点 P 作垂直 y 轴的直线交抛物线于点 A（ x1， y1） ，B（ x2 ， y2） ，其中 12x当 213时，结合函数图象，求出 m 的值；把直线 PB 下方的函数图象，沿直线 PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 W，新图象 W 在 0 x5 时， 4y，求 m 的取值范围26解：（1）抛物线 23yxb的对称轴为直线 x =2， b=2 1（2）抛物线
13、的表达式为 24yx A（ x1， y ） ， B（ x2 ， y） ，直线 AB 平行 x 轴 213， AB=3对称轴为 x =2， AC= 2 2当 1x时， 54ym 3当 y=m=-4 时，0 x5 时， 1y； 4当 y=m=-2 时，0 x5 时， 2； 5 m 的取值范围为 4 6怀柔区26.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=nx2-4nx+4n-1(n0)，与 x 轴交于点 C，D(点 C 在点 D 的左侧)，与 y 轴交于点 A(1)求抛物线顶点 M 的坐标；(2)若点 A 的坐标为（0，3） ，ABx 轴，交抛物线于点 B，求点 B 的坐标；(3)在(2)的条件下
14、，将抛物线在 B，C 两点之间的部分沿 y 轴翻折，翻折后的图象记为 G，若直线 mxy21与图象 G 有一个交点，结合函数的图象，求 m 的取值范围y x1234512345345 2345O26. (1)M(2，-1)； 2分(2)B(4，3)； 3分(3)抛物线 y=mx2-4mx+4m-1(m0)与 y 轴交于点 A（0,3）,4n-1=3.n=1. 4 分抛物线的表达式为 342xy.由 212xm. 由=0，得: 165分抛物线 342xy与 x 轴的交点 C 的坐标为（1,0） ，点 C 关于 y 轴的对称点 C1的坐标为（-1,0）.把（-1,0）代入 m2，得： 21.6 分
15、把（-4,3）代入 xy，得： 5.所求 m 的取值范围是 16或 m 5. 7分延庆区26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2-4ax+3a(a0)与 x 轴交于 A， B 两点（ A 在 B的左侧） （1）求抛物线的对称轴及点 A， B 的坐标；（2）点 C（ t，3）是抛物线 243(0)yaxa上一点， （点 C 在对称轴的右侧） ，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D当 DA时，求此时抛物线的表达式；当 时，求 t 的取值范围-1-2-3-3-2-1y123456 x5432O26 （1）对称轴： x=2 1 分A（1，0）或 B（3，0） 1 分（2）如图 1， A
16、D=CD AD=3 C 点坐标为（4，3） 3 分将 C（4，3）代入 243yax 16a a=1抛物线的表达式为： 243yx 4 分 34t 6 分过程略顺义区26在平面直角坐标系 xOy中，若抛物线2yxbc顶点 A 的横坐标是-1，且与 y 轴交于点 B（0，-1） ，点 P 为抛物线上一点（1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线 2yxbc向下平移 4 个单位，点 P 平移后的对应点为 Q如果 OP=OQ，求点 Q 的坐标26解：（1）依题意 12b， b=2,由 B（0，-1） ，得 c=-1,y xO抛物线的表达式是 21yx 2 分（2）向下平移 4 个单位得到 25yx， 3 分 OP=OQ， P、 Q 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数 22150xx 13， 2 5 分把 x， 分别代入 25yx得出 Q1（-3，-2）， Q2（1，-2） 7 分