1、一、选择题1、(2018 北京昌平区初一第一学期期末 ) 用“”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b，规定 ab = ab 2 + a.如：13=13 2+1=10. 则 （-2）3 的值为A10 B-15 C. -16 D-20 答案：D二、填空题3、 （2018 北京西城区七年级第一学期期末附加题）1用“”定义新运算：对于任意有理数a，b，当 ab 时，都有 ；当 ab 时，都有 那么， 26 = 2ab2ab， = 2()3答案：24，-64 （2018 北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦阿基米德折弦定理：如图 1， 和 组成圆的折弦，
2、， 是弧 的中ABCABCMAB点， 于 ，则 MFABF如图 2， 中， ， ，C608， 是 上一点， ，作6DD交 的外接圆于 ，连接 ，则EEA=_ A答案 605、(2018 北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线 l1， l2相交于点 O，对于平面内任意一点 M，若 p、 q 分别是点 M 到直线 l1， l2的距离，则称( p， q)为点 M 的“距离坐标” 根据上述规定， “距离坐标”是(2，1)的点共有_个图2图1 DEC BAFMCBA三、解答题6、 （2018 北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的 运算： ac例如：=badc124-23=-
3、.3（1）按照这个规定，请你计算 的值5624（2）按照这个规定，当 时求 的值 521xx答案（1） =20-12=8 56242（2）由 得521x4421)()(解得， x= 157、 （2018 北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数 a， b， c， d， 可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定：（a，b）（c，d）= bcad.例如：（1，2）（3，4）=2314=2根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，3）（3，2）= ;（2）若有理数对（3，2x1）（1，x+1）=7，则 x= ;（3）当满足等式（3，2x1）（k，xk ）=5 2k 的 x 是
4、整数时，求整数 k 的值答案. 解：（1）5 分（2）1 分（3）等式（3，2x1）（k，xk ）=5 2k 的 x 是整数 （2x1）k （3） （x k）=5 2k（2k 3）x=5 5k 是整数2k+3=1 或5k=1，1， 2，4分8、(2018 北京朝阳区七年级第一学期期末 )对于任意有理数 a，b，定义运算：ab=，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，25=2（2+5）1=13；()ab 3(5)12335（1）求 2) 的值；（2）对于任意有理数 m，n，请你重新定义一种运算 “ ”，使得 5320，写出你定义的运算：mn （用含 m，n 的式子表示） 答案 解：（1）
5、(2) 113(23) 4. （2）答案不唯一，例如： mn(1). 9 （2018 北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点 A，B，给出如下定义：以点 A 或 B为圆心， AB 长为半径的圆称为点 A，B 的“确定圆” 如图为点 A，B的“确定圆”的示意图（1）已知点 A 的坐标为 ，点 的坐标为 ，(1,0)(3,)则点 A，B 的“确定圆”的面积为_；（2）已知点 A 的坐标为 ，若直线 上只存在一个点 B，(0,)yxb使得点 A，B的“确 定圆”的面积为 ，求点 B 的坐标；9（3）已知点 A 在以 为圆心，以 1 为半径的圆上，点 B 在直线 上， (0)Pm， 3yx若要使所有
6、点 A，B 的“确定圆”的面积都不小于 ，直接写出 的取值范围9m解：（1） ； 2 分25（2）直线 上只存在一个点 ，使得点 的“确定圆”的面积yxbB,A为 ， 9 的半径 且直线 与 相切于点 ，如图，A3ByxbB ， CD45当 时，则点 在第二象限0bB过点 作 轴于点 ，Ex在 中， ， ，RtA453ABAByxllECDBB3A 32BEA 2（ ， ）当 时，则点 在第四象限0bB同理可得 32（ ， ）综上所述，点 的坐标为 或 B32（ ， ） 32（ ， ） 6 分（3） 或 5m 110 （2018 北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系 xOy 中，点 ， 与
7、， ，1(Ax)y2(Bx)y如果满足 ， ，其中 ，则称点 A 与点 B 互为反等点120x120y12x已知：点 C(3，4)（1）下列各点中， 与点 C 互为 反等点；D( 3， 4)，E （3，4） ，F（ 3，4）（2）已知点 G（ 5，4） ，连接线段 CG，若在线段 CG 上存在两点 P，Q 互为反等点，求点 P 的横坐标 的取值范围；px（3）已知O 的半径为 r，若O 与（2）中线段 CG 的两个交点互为反等点，求 r 的取值范围解：(1)F 1 分(2) -3 3 且 0 4 分pxp -1-2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-1y123456 x65432O(3)4
8、3或 x. 8 分16. （2018 北京平谷区中考统一练习）在 平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为 ，1,xy 点 N 的坐标为 ，且 ， ，以 MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行2,xy122于 x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”. （1）已知点 A（2,0） ，B（0,2 ） ，则以 AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_；3（2）若点 C（1,2） ，点 D 在直线 y=5 上，以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线 CD 表达式；（3）O 的半径为 ，点 P 的坐标为(3, m) .若在O 上存在一点 Q ，使得以 QP 为边的2“坐标菱形”为
9、正方形，求 m 的取值范围yxEH y=x+b2y=x+b1123412341234 1234OD解：（1）60；1（2）以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形，直线 CD 与直线 y=5 的夹角是 45 过点 C 作 CEDE 于 ED（4,5）或 32,5直线 CD 的表达式为 或 51yxx（3） 或 715m17 （2018 北京顺义区初三练习）如图 1，对于平面内的点 P 和两条曲线 、1L给出如下定义：若从点 P 任意引出一条射线分别与 、 交于 、2L 12Q，总有 是定值，我们称曲线 与 “曲似” ，定值 为“曲Q121L21似比” ，点 P 为“曲心” 例如：如图 2，以点 O
10、为圆心，半径分别为 、 （都是常数）的1r2 图2C21NMO图1Q21L2L1P1210864224681020 15 10 5 5 10 15 20DCBAO两个同心圆 、 ，从点 O任意引出一条射线分别与两圆交于点 M、N，因为总有1C2是定值，所以同心圆 与 曲似，曲似比为 ， “曲心”为 O2rOMN1C212r（1）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与抛ykx物线 、 分别交于点 A、B，如2yx2图 3 所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 C，是否存在 k 值，使O 与直线 BC
11、 相切？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（3）在（1） 、 （2）的条件下，若将“ ”21yx改为“ ”，其他条件不变，当存在O 与直线 BC 相切时，直接写出 m 的1yxm取值范围及 k 与 m 之间的关系式解：（1）是 过点 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D，C依题意可得 A（k ,k2）,B（2 k,2k2） 2 分因此 D（k,0） ，C （2k ,0） ADx 轴，BC x 轴，ADBC 12OAkBC两抛物线曲似，曲似比是 3 分（2）假设存在 k 值，使O 与直线 BC 相切则 OA=OC=2k，又OD=k，AD=k 2，并且 OD2+AD2= OA2，k
12、2+（ k 2） 2=（2k ） 2 （舍负）3由对称性可取 k综上， 6 分3（3）m 的取值范围是 m1，k 与 m 之间的关系式为 k 2=m2-1 8 分18、 （2018 年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P，给出如下定义：记点 P 到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离为 ，若 ，则称 为点 P 的最1d2d121d大距离；若 ，则称 为点 P 的最大距离.12d2例如：点 P（ ， ）到到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 3，因为 3 1，此时，P 不是 O 的和睦点；若O 半径 r 满 r6 时，r-OP1，此时，P 也不是O 的和睦
13、点；若O 半径 r 满足 4r6 时，设O 与射线 OP 交 于点 T 即 PT1 时，可在O 上找一点 S，使 PS=1，此时 P 是O 的和睦点；综上所述， 4 分46 （3） ， 或 8 分523Ax 21Ax 21、 （2018 北京丰台区第一学期期末）28对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和C ，给出如下定义：如果C 的半径为 r，C 外一点 P 到C 的切线长小于或等于 2r，那么点 P 叫做C 的“离心点”.（1）当O 的半径为 1 时，在点 P1（ ， ） ，P 2（0，2） ，P 3（ ，0）中，O 的“离心点”是 35；点 P（m，n）在直线 上，且点 P 是O 的“
14、 离心点” ，求点 P 横坐标3yxm 的取值范围；（2）C 的圆心 C 在 y 轴上，半径为 2，直线 与 x 轴、y 轴分别交于点12yA， B. 如果线段 AB 上的所有点都是C 的“离心点” ，请直接写出圆心 C 纵坐标的取值范围.解：（1） ， ； 2 分2P3设 P（m ,m3） ，则 . 3 分5322m解得 ， . 4 分12故 1m2. 6 分（2）圆心 C 纵坐标 的取值范围为： 或 . 8 分y521Cy513Cy422、 （2018 年北京海淀区第一学期期末）对于C 与C 上的一点 A，若平面内的点 P 满足：射线 AP 与C 交于点 Q（点 Q 可以与点 P 重合）
15、，且 ，则点 P 称为点 A 关于12QC 的“生长点” 已知点 O 为坐标原点，O 的半径为 1，点 A（-1，0） （1）若点 P 是点 A 关于O 的“生长点” ，且点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标_；（2）若点 B 是点 A 关于O 的“生长点” ，且满足 ，求点 B 的纵坐标 t 的1tan2BAO取值范围；（3）直线 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在点 A 关于3ybO 的“生长点” ，直接写出 b 的取值范围是_xyA123 123452345612345OxyA123 123452345612345O解：（1） （2，0）(
16、答案不唯一). 1 分（2）如图，在 x 轴上方作射线 AM，与O 交于 M，且使得 ，并在1tan2OAAM 上取点 N，使 AM=MN，并由对称性，将 MN 关于 x 轴对称，得 ，则MN由题意，线段 MN 和 上的点是满足条件的点 B.作 MH x 轴于 H，连接 MC， MHA =90，即OAM+AMH=90. AC 是O 的直径， AMC=90 ，即 AMH+HMC=90. OAM =HMC. .1tantan2HMCA .A设 ，则 ， ，y2y1CHyy xCHNM NMAO ，解得 ，即点 M 的纵坐标为 .52ACHy45y45又由 ，A 为（-1 ，0） ，可得点 N 的纵
17、坐标为 ，2NM8故在线段 MN 上，点 B 的纵坐标 t 满足： . 345t分由对称性，在线段 上，点 B 的纵坐标 t 满足： .4N 845t分 点 B 的纵坐标 t 的取值范围是 或 .845t5t（3） 或 . 7 分41b4323、 （2018 北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的横坐标为 x，纵坐标为 2x，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点 A(1,2)、B(2,1) 、M( ，1) 、N (1， )中，是“关系点 ”的 ；2121(2)O 的半径为 1，若在O 上存在“关系点”P，求点 P 坐标；(3)点 C 的坐标为(3 ，0)，若在
18、C 上有且只有一个“关系点” P，且“关系点”P 的横坐标满足-2x2.请直接写出C 的半径 r 的取值 范围解：(1)A、M. 2 分y x 1234561234567342345678910Oxy111GPO(2)过点 P 作 PGx 轴于点 G3 分设 P（x ，2x）OG 2+PG2=OP2 4 分x 2+4x2=15x 2=1x 2= 1x= 5P( ， 2)或 P( 5， 2)5 分(3)r= 56或 411r 7 分24、 （2018 北京门头沟区第一学期期末调研试卷）以点 为端点竖直向下的一条射线 ，以PPN它为对称轴向左右对称摆动形成了射线 ， ，我们规定： 为点 的“摇摆1
19、N212角” ， 射线 摇摆扫过的区域叫作点 的“摇摆区域” （含 ， ）.PNP1PN2在平面直角坐标系 xOy 中，点 .(2,3)（1）当点 的摇摆角为 时，请判断 、 、 、 属于点 的P60(0,)O(1,2)A(,)B(23,0)CP摇摆区域内的点是_（填写字母即可） ；（2）如果过点 ，点 的线段完全在点 的摇摆区域内，那么点 的摇摆角至少(1,0)D(5,)EP为_；（3） 的圆心坐标为 ，半径为 ，如果 上的所有点都在点 的摇摆角为 W(,0)a1WP60时的摇摆区域内，求 的取值范围备用图解：（1）点 B，点 C； 2 分（2）903 分（3）当 运动到摇摆角的内部，与 P
20、F 左边的射线相切时如图 28-1W点 的摇摆角为 60(2,3)P ，0KF3在 Rt PFK 中， 在tanta30KFKPFP可求得 3F ，0KPxyOxyFKQPOW 60PKF在 RtPFK 中， ，sinsi60QWKF可求得23W2133OFK当 运动到摇摆角的内部，与 PF 右边的射线相切时如图 28-2同理可求得1=2+3W123a 25、 （2018 北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系 中的点 P 和图形 G,给出xOy如下的定义：若在图形 G 上存在一点 ,使得 之间的距离等于 1，则称 P 为图形QP、G 的关联点.（1）当 的半径为 1 时，OA点 ,
21、, 中， 的关联点有_.1(0)2P2(3)(0)POA直线经过（0，1）点，且与 轴垂直，点 P 在直线上.若 P 是 的关联点，求点 P 的yOA横坐标 的取值范围.x（2）已知正方形 ABCD 的边长为 4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径 的取值范围.rxyKQFPO W-1-2-3-4-5 xy12345-5-4-3-2- 54321O -1-2-3-4-5 xy12345-5-4-3-2- 54321O备用图 备用图答案：（1） 2 分12P、（2）如图，以 O 为圆心，2 为半径的圆与直线 y=1 交于 两点.线段 上的动点1
22、2,P12PP（含端点）都是以 O 为圆心，1 为半径的圆的关联点.故此 .3xP2P1y x-54-3-15432-54-32 5432O6 分 （3）由已知，若 P 为图形 G 的关联点，图形 G 必与以 P 为圆心 1 为半径的圆有交点.正方形 ABCD 边界上的点都是某圆的关联点该圆与以正方形边界上的各点为圆心 1 为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以 O 为圆心，3 为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以 O 为圆心， 为半径的圆.21综上所述， .8 分3r26、 （2018 北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互
23、换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3 ，5）与（5，-3）是一对“互换点”（1）以 O 为圆心，半径为 5 的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“ 互换点” ；（2）点 M,N 是一对“互换点”，点 M 的坐标为(m,n)，且(mn)，P 经过点 M,N点 M 的坐标为(4,0) ，求圆心 P 所在直线的表达式；P 的半径为 5，求 mn 的取值范围解：（1）答案不唯一，如：（4,3） ， （3,4） ；2（2）连结 MN，OM=ON =4，RtOMN 是等腰直角三角形过 O 作 OA MN 于 点 A， 点 M,N 关于直线 OA 对称 .3由 圆 的 对 称 性 可 知 ，
24、 圆 心 P 在 直 线 OA 上 .4 圆心 P 所在直线的表达式为 y=x 5当 MN 为P 直径时，由等腰直角三角形性质，可知 mn= ； .62当点 M,N 重合时，即点 M,N 横纵坐标相等，所以 mn=0； 7mn 的取值范围是 0mn .85227、 （2018 北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系 中，点 P 的坐标为 ，xOy),(1yx点 Q 的坐标为 ，且 ， ，若 为某个等腰三角形的腰，且该等),(2yx21x21yQ腰三角形的底边与 x 轴平行，则称该等腰三角形为点 P，Q 的“相关等腰三角形” 下图为点 P，Q 的“相关等腰三角形 ”的示意图xyQPO（1）已
25、知点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，则点 A，B 的“相关等腰三角)1,0( )0,3(形”的顶角为_；（2）若点 C 的坐标为 ，点 D 在直线 上，且 C，D 的“相关等腰三角形”)3,(4y为等边三角形，求直线 CD 的表达式；（3）O 的半径为 ，点 N 在双曲线 上若在O 上存在一点 M，使得点2xy3M、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点 N 的横坐标 的取值范Nx围解：（1）120； 2 分（2）C,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为 60，底边与 轴平行，x直线 CD 与 轴成 60角，与 轴成 30角，通过解直角三角形可得 的坐标xy D为 或
26、，进一步得直线 CD 的表达式为 或)34(， )(， 3y. 5 分y（3） 或 . 8 分1Nx3Nx28、 （2018 北京通州区第一学期期末）点 的“ 值”定义如下：若点 为圆上任意一点，线PdQ段 长度的最大值与最小值之差即为点 的“ 值”，记为 .特别的，当点 ， 重合时，PQP线段 的长度为 0.当 的半径为 2 时：O（1）若点 ， ，则 _， _；0,1C4,3DCdDd（2）若在直线 上存在点 ，使得 ，求出点 的横坐标；2xyP2P（3）直线 与 轴， 轴分别交于点 ， .若线段 上存在点 ，03bxyABP使得 ，请你直接写出 的取值范围.2Pd答案：29、（2018
27、北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 两点的坐标分别为， 对于给定的线段(2,)A(,2)BAB 及点 P，Q，给出如下定义：若点 Q 关于 AB 所在直线的对称点 落在ABP 的内部Q（不含边界），则称点 Q 是点 P 关于线段 AB 的内称点（1）已知点 (4,1)在 ， 两点中，是点 P 关于线段 AB 的内称点的是_；1(,)2(,)若点 M 在直线 上，且点 M 是点 P 关于线段 AB 的内称点，求点 M 的横坐1yx标 的取值范围；x（2）已知点 ，C 的半径为 r，点 ，若点 E 是点 D 关于线段 AB 的内称点，(3,)(4,0)D且满足直线 DE 与C 相切，求半径 r 的取值范围答案：