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2019年北京中考数学习题精选:等腰三角形与等边三角形

1、一、 选择题1、 (2018 北京市丰台区初二期末)如图,已知射线 OM以 O 为圆心,任意长为半径画弧,与射线 OM 交于点 A,再以点 A 为圆心 , AO 长为半径画弧,两弧交于点 B,画射线OB,那么AOB 的度数是A90 B60 C45 D30答案:B2 (2018 北京市海淀区八年级期末)等腰三角形的一个角是 70,它的底角的大小为A70 B40 C70 或 40 D70或 55答案:D3 ( 2018 北京市石景山区初二期末) 等腰三角形的一个外角是 100,则它的顶角的度数为A80 B80或 20 C20 D80或 50 答案:B4 (2018 北京市顺义区八年级期末)已知等腰

2、三角形的两边长分别为 和 ,则这个三角49形的周长是A22 B19 C17 D 17 或 22答案:A5.(2018 北京市师达中学八年级第一学期第二次月考)二、填空题6 (2018 北京市东城区初二期末)等腰三角形一边等于 5,另一边等于 8,则其周长是 答案:18 或 27 (2018 北京市海淀区八年级期末)已知一张三角形纸片 ABC(如图甲) ,其中AB=AC将纸片沿过点 B 的直线折叠,使点 C 落到 AB 边上的 E 点处,折痕为BD(如图乙) 再将纸片沿过点 E 的直线折叠,点 A 恰好与点 D 重合,折痕为EF(如图丙) 原三角形纸片 ABC 中,ABC 的大小为 AEPB C

3、DA B CFEDEDA B CB CA甲 乙 丙答案:728 ( 2018 北京市门头沟区八年级期末)学习了等腰三角形的相关内容后,张老师请同学们交流这样一个问题:“如果一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5,求它的周长” 同学们经过片刻的思考和交流后,小明同学举手讲“它的周长是 9 或 12”,你认为小明的回答是否正确: ,你的理由是 答案:略9.(2018 北京市平谷区初二期末)等腰三角形的两边长为 3,7,则其腰长为_.答案:710 (2018 北京市顺义区八年级期末)边长为 10cm 的等边三角形的面积是 .答案: 253cm11 ( 2018 北京市西城区八年级期末)如图,ABC

4、 是等边三角形,AB =6,AD 是 BC 边上的中线点 E 在 AC 边上,且EDA =30,则直线 E D 与 AB 的位置关系是_, ED 的长为_答案:平行,3 (第一个空 1 分,第二个空 2 分)12. (2018 北京延庆区八年级第一学区期末)已知等腰三角形的两条边长分别为 2 和 5,则它的周长为_答案:1213.( 2018 北京延庆区八年级第一学区期末) 如图,等边 ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,点 E 是 AC 边上的中点 . 如果点 P 是 AD 上的动点,那么 EP+CP 的最小值 为_答案:314.(2018 北京房山区一模) 一个正方形和两个等

5、边三角形的位置如图所示,则1+2+3 的度数为_答案 150 ;15.( 2018 北京昌平区二模) “直角”在初中几何学习中无处不在课堂上李老师提出一个问题:如图,已知AOB判断 AOB 是否为直角(仅限用直尺和圆规) 李老师说小丽的作法正确,请你写出她作图的依据: 答案:两条边相等的三角形为等腰三角形,等腰三角形的三线合一16 ( 2018 北 京 丰 台 区 一 模 ) 如图,在ABC 中,AB = AC,D 是 BC 边上的中点,DEAB 于点 E,DFAC 于点 F求证:DE = DF证明:连接 AD.AB BC,D 是 BC 边上的中点,BAD=CAD. 3 分DE AB 于点 E

6、,DFAC 于点 F,DE DF 5 分(其他证法相应给分)17、 (2018 北京大兴第一学期期末)已知:如图,在 中, AB=AC=8, A=120,求 BCABC的长.FDE CBAAB CEDF小丽的方法如图,在 OA、OB 上分别取点 C,D,以点 C 为圆心,CD长为半径画弧,交 OB 的反向延长线于点 E若 OE=OD,则AOB=90 解:过点 A 作 ADBC 于 D, AB= AC,BAC =120 B =C = 30, 1 分BC=2BD, 2 分在 Rt ABD 中,ADB=90,B=30,AB=8, cosB= , 3 分DA BD=ABcos30= 8 =4 , 4

7、分32 BC =8 . 5 分18、 ( 2018 北京昌平区二模)如图,在ABC 中,AB=ACB C,BD 是 AC 边上的高,点 C 关于直线 BD 的对称点为点 E,连接 BE.(1 ) 依题意补全图形;若BAC = ,求DBE 的大小(用含 的式子表示) ;(2 ) 若 DE=2AE,点 F 是 BE 中点,连接 AF,BD=4,求 AF 的长.(备用图)答案如图,在ABC 中,AB=AC BC,BD 是 AC 边上的高,点 C 关于直线 BD 的对称点为点 E,连接 BE.(1)补全图形;若BAC= , 求DBE 的大小(用含 的式子表示) ;(2)若 DE=2AE,点 F 是 B

8、E 中点,连接 AF,BD=4,求 AF 的长.(1)解:如图 1 分CBADDCB A DCB ADCB AE AB=AC,BAC= , ABC= ACB=90- 12点 C 关于直线 BD 的对称点为点 E,BD 是 AC 边上的高. BDCE,CD=DE BE= BC BEC= ACB=90- 2 分12DBE= 3 分(2)解:作 FGAC 于 G,BDCE,FGBD点 F 是 BE 中点, EG=DG 4 分1FBD2DE=2AE ,AE=EG= DG 5 分设 AE=EG=DG=x,则 CD=DE=2x,AC=5x ,AB=AC=5x BD=4x BD=4 ,x =1 6 分AG=

9、2 =2,1FG=BD2AF= 7 分19、 (2018 北京朝阳区二模)如图,ABC 中,C=90,AC =BC,ABC 的平分线 BD交 AC 于点 D,DEAB 于点 E(1 )依题意补全图形;(2 )猜想 AE 与 CD 的数量关系,并证明答案:(1)如图:EABCDF G2 分(2 ) AE 与 CD 的数量关系为 AE=CD 3 分证明: C=90,AC=BC,A 45DE AB,ADE =A45 AE=DE 4分BD 平分 ABC,CD=DE 5 分AE=CD20.( 2018 北京东城区二模)如图所示,点 P 位于等边 的内部,且ACP=CBPABC(1) BPC 的度数为_;

10、(2) 延长 BP 至点 D,使得 PD=PC,连接 AD,CD依题意,补全图形;证明:AD+CD= BD;(3) 在(2)的条件下,若 BD 的长为 2,求四边形 ABCD 的面积解:(1)120. - -2 分(2)如图 1 所示.在等边 中, ,ABC 60 .P =, 180120.PB 60.CPDC =, 为等边三角形. 60AA, .B在 和 中, PCAD, , . SBP . -4 分 .AC(3)如图 2,作 于点 , 延长线于点 .MAD BNC N =60BP, . AC 3=.2BMND又由(2)得, =2B,ABDCCSS 四 边 形 +1MCDBNA32ACD-7

11、 分 32.21.(2018 北京市东城区初二期末) (6 分) 如图,在等边三角形 ABC 的外侧作直线 AP,点C 关于直线 AP 的对称点为点 D,连接 AD,BD ,其中 BD 交直线 AP 于点 E.MEDCPB A(1)依题意补全图形;(2)若PAC20,求AEB 的度数;(3)连结 CE,写出 AE, BE, CE 之间的数量关系,并证明你的结论4020 6060 x-xEEDCEDCCPB B PBA A A解:EDCPB A1 分(2 )在等边ABC 中,ACAB,BAC60由对称可知:ACAD ,PACPAD ,AB ADABDDPAC20PAD20 2 分BADBAC+P

12、AC +PAD =100AEBD+PAD 603 分(3 ) CE AEBE在 BE 上取点 M 使 MEAE,在等边ABC 中,ACAB,BAC60由对称可知:ACAD ,EACEAD,设EACDAEx AD ACAB,AEB60 x x 60FPEDNB C MAAME 为等边三角形4 分易证:AECAMB。 5 分CEBM. CE AEBE6 分22 (2018 北京市海淀区八年级期末)如图,CN 是等边 的外角 内部的一条ABCM射线 ,点 A 关于 CN 的对称点为 D,连接 AD,BD ,CD,其中 AD,BD 分别交射线CN 于点 E,P(1)依题意 补全图形;(2)若 ,求 的

13、大小(用含 的式子表示) ;CNBC(3)用等式表示线段 , 与 之间的数量关系,并证明PENB C MA(1 ) PEDNB C MA-1 分(2 )解:点 A 与点 D 关于 CN 对称,CN 是 AD 的垂直平分线,CA=CD CN,ACD=2 2-2 分等边ABC ,CA=CB=CD,ACB =60-3 分BCD =ACB +ACD=60+ BDC =DBC= 12(180 BCD)=60 -4 分(3 )结论:PB=PC+2PE -5 分本题证法不唯一,如:证明:在 PB 上截取 P F 使 PF=PC,连接 CFCA=CD,ACD= 2CDA=CAD =90BDC =60 ,PDE

14、=CDA BDC=30-6 分PD =2PECPF=DPE=90 PDE=60CPF 是等边三角形CPF=CFP=60BFC=DPC=120在BFC 和DPC 中,,CFBPDBFCDPCBF=PD=2 PEPB= PF+BF=PC+2PE-7 分23 ( 2018 北京市门头沟区八年级 期末)已知:如图,ABC 是等边三角形,E 是 AC 上一点,D 是 BC 延长线上一点,连接 BE 和 DE,如果ABE=40 ,BE =DE求CED 的度数解: ABC 是等边三角形, ABC= ACB=60. 2 分 ABE=40, EBC =ABC ABE =6040=20. 3 分 BE =DE,

15、D=EBC=20. 4 分 CED =ACBD =6020=40. 5 分24、 (2018 北京市平谷区初二期末)在ABC 中,AB AC , 以 BC 为边作等边BDC,连接 AD. (1 ) 如图 1,直接写出 ADB 的度数_ ;(2 ) 如图 2,作ABM60 在 BM 上截取 BE,使 BEBA,连接 CE,判断 CE 与 AD 的数量关系,请补全图形,并加以证明;(3 )在(2 )的条件下,连接 DE,AE。若 DEC60,DE=2,求 AE 的长.DECABDECAB解:(1)1501(2 ) CE=AD(补全图形,写出结论)证明:ABE=DBC=60 ABE-DBM=DBC DBM2 3AB=BE,BD=DCABDEBCCE=AD 4(3 ) 解:ABDBCEBCE=3=150DCE=90,DEC=60CDE=30DE=2 CE=1,DC=BC= 53BDE=60+30=90 DE=2,BD= 3由勾股 BE 7ABE=60AB=BE ABE 是等边三角形 AE= BE