1、2019 年北京市门头沟区中考数学一模试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）1如图所示，有一条线段是 ABC（ AB AC）的中线，该线段是（ ）A线段 GH B线段 AD C线段 AE D线段 AF2如果代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）A x3 B x0 C x3 且 x0 D x33如图，两个等直径圆柱构成如图所示的 T 型管道，则其俯视图正确的是（ ）A B C D4将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果158，那么2 的度数为（ ）A32 B58 C138 D1485利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不
2、是中心对称的图形是（ ）A BC D6整数 A.b 在数轴上对应点的位置如图，实数 c 在数轴上且满足 a c b，如果数轴上有一实数 d，始终满足 c+d0，则实数 d 应满足（ ）A d a B a d b C d b D d b7下面的统计图反映了我市 20112016 年气温变化情况，下列说法不合理的是（ ）A20112014 年最高温度呈上升趋势B2014 年出现了这 6 年的最高温度C20112015 年的温差成下降趋势D2016 年的温差最大8甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距 660 米，二人同时出发，走了 24 分钟时，由于乙距离景点近，先到达
3、等候甲，甲共走了 30 分钟也到达了景点与乙相遇在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程 y（米）与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A甲的速度是 70 米/分 B乙的速度是 60 米/分C甲距离景点 2100 米 D乙距离景点 420 米二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9如图，两个三角形相似， AD2， AE3， EC1，则 BD 10如图，在 55 的正方形（每个小正方形的边长为 1）网格中，格点上有 A.B.C.D.E 五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于 3 且小于 4，则可以连接 （写出一个答案即
4、可）11如果 ，那么 的结果是 12小明为了统计自己家的月平均用电量，做了如下记录并制成了表格，通过计算分析小明得出一个结论：小明家的月平均用电量为 330 千瓦时请判断小明得到的结论是否合理并且说明理由 月份 六月 七月 八月用电量（千瓦时） 290 340 360月平均用电量（千瓦时） 33013如图， PC 是 O 的直径， PA 切 O 于点 P， AO 交 O 于点 B；连接 BC，若 C32，则 A 14某小区购买了银杏树和玉兰树共 150 棵用来美化小区环境，购买银杏树用了 12000 元，购买玉兰树用了 9000 元已知玉兰树的单价是银杏树单价的 1.5 倍，求银杏树和玉兰树的
5、单价设银杏树的单价为 x 元，可列方程为 15图 1.图 2 的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖） ，可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图 2 进行移动，写出一种拼接成矩形的过程 16如图是“已知一条直角边和斜边作直角三角形”的尺规作图过程已知：线段 A.b，求作：Rt ABC使得斜边 AB b， AC a作法：如图（1）作射线 AP，截取线段 AB b；（2）以 AB 为直径，作 O；（3）以点 A 为圆心， a 的长为半径作弧交 O 于点 C；（4）连接 AC.CB ABC 即为所求作的直角三角形请回答：该尺规作图的依据是 三、解答题（本题共 68 分
6、，第 17-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26.27 题 7 分，第 28 题 8 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17 （5 分）计算：（ ） 2 |2|+（5+） 04sin6018 （5 分）解不等式组：19 （5 分）如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， BE 平分 ABC 交 AC 边于E， BAC60， ABE25求 DAC 的度数20 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y x 与反比例函数 y （ k0）的图象相交于点 （1）求 A.k 的值；（2）直线 x b（ b0）分别与一次函数 y x、反比例函数 y 的
7、图象相交于点 M、 N，当 MN2 时，画出示意图并直接写出 b 的值21 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD.AC.BC 于点E.O、 F，连接 CE 和 AF（1）求证：四边形 AECF 为菱形；（2）若 AB4， BC8，求菱形 AECF 的周长22 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 2x2+4x+k10 有实数根（1）求 k 的取值范围；（2）若 k 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求 k 的取值23 （5 分）如图， AB 为 O 直径，过 O 外的点 D 作 DE OA 于点 E，射线 DC 切 O 于点 C.交AB 的延
8、长线于 点 P，连接 AC 交 DE 于点 F，作 CH AB 于点 H（1）求证： D2 A；（2）若 HB2，cos D ，请求出 AC 的长24 （5 分）地球环境问题已经成为我们日益关注的问题学校为了普及生态环保知识，提高学生生态环境保护意识，举办了“我参与，我环保”的知识竞赛以下是从初一、初二两个年级随机抽取 20 名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：初一：76 88 93 65 78 94 89 68 95 5089 88 89 89 77 94 87 88 92 91初二：74 97 96 89 98 74 69 76 72 7899 72 97 76 99 74 99 73
9、 98 74（1）根据上面的数据，将下列表格补充完整；整理、描述数据：成绩 x人数班级50 x59 60 x69 70 x79 80 x89 90 x100初一 1 2 3 6初二 0 1 10 1 8（说明：成绩 90 分及以上为优秀，8090 分为良好，6080 分为合格，60 分以下为不合格）分析数据：年级 平均数 中位数 众数初一 84 88.5初二 84.2 74（2）得出结论：你认为哪个年级掌握生态环保知识水平较好并说明理由 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 25 （6 分）在正方形 ABCD 中， AB4 cmAC 为对角线， AC 上有一动点 P， M 是 AB 边的中
10、点，连接 PM、 PB，设 A.P 两点间的距离为 xcm， PM+PB 长度为 ycm小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变 量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如表：x/cm 0 1 2 3 4 5y/cm 6.0 4.8 4.5 6.0 7.4（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象（3）结合画出的函数图象，解决问题： PM+PB 的长度最小值约为 cm26 （7 分）有一个二次函数满足以下条件：函数图象与 x
11、轴的交点坐标分别为 A（1，0） ， B（ x2， y2） （点 B 在点 A 的右侧） ；对称轴是 x3；该函数有最小值是2（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象 x x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“ G”，平行于 x 轴的直线与图象“ G”相交于点 C（ x3， y3） 、 D（ x4， y4） 、 E（ x5， y5） （ x3 x4 x5） ，结合画出的函数图象求 x3+x4+x5的取值范围27 （7 分）如图，在 ABC 中， AB AC， A2，点 D 是 BC 的中点， DE AB 于点E， DF AC 于点 F（1） EDB （用含 的式
12、子表示）（2）作射线 DM 与边 AB 交于点 M，射线 DM 绕点 D 顺时针旋转 1802，与 AC 边交于点N根据条件补全图形；写出 DM 与 DN 的数量关系并证明；用等式表示线段 BM、 CN 与 BC 之间的数量关系， （用含 的锐角三角函数表示）并写出解题思路28 （8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为（ x1， y1） ，点 N 的坐标为（ x2， y2） ，且 x1 x2， y1 y2，我们规定：如果存在点 P，使 MNP 是以线段 MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点 P 为点 M、 N 的“和谐点” （1）已知点 A 的坐标为（1，3） ，若点 B
13、的坐标为（3，3） ，在直线 AB 的上方，存在点 A， B 的“和谐点” C，直接写出点C 的坐标；点 C 在直线 x5 上，且点 C 为点 A， B 的“和谐点” ，求直线 AC 的表达式（2） O 的半径为 r，点 D 为点 E（1，2） 、 F（ m， n）的“和谐点” ，且 DE2，若使得DEF 与 O 有交点，画出示意图直接写出半径 r 的取值范围参考答案一、选择题1如图所示，有一条线段是 ABC（ AB AC）的中线，该线段是（ ）A线段 GH B线段 AD C线段 AE D线段 AF【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得【解答】解：根据三
14、角形中线的定义知线段 AD 是 ABC 的中线，故选： B【点评】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线2如果代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）A x3 B x0 C x3 且 x0 D x3【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案【解答】解：由题意可知： x3 且 x0故选： C【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型3如图，两个等直径圆柱构成如图所示的 T 型管道，则其俯视图正确的是（ ）A B C D【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形【解答】解：两个
15、等直径圆柱构成如图所示的 T 型管道的俯视图是矩形和圆的组合图，且圆位于矩形的中心位置，故选： B【点评】本题考查了 学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力4将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果158，那么2 的度数为（ ）A32 B58 C138 D148【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出3，再根据两直线平行，同位角相等可得23【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，390+190+58148，直尺的两边互相平行，23148故选： D【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键5利用“分形”与“
16、迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解【解答】解： A.图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；B.图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；C.图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；D.图形是 中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；故选： A【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合6
17、整数 A.b 在数轴上对应点的位置如图，实数 c 在数轴上且满足 a c b，如果数轴上有一实数 d，始终满足 c+d0，则实数 d 应满足（ ）A d a B a d b C d b D d b【分析】根据 a c b，可得 c 的最小值是1，根据有理数的加法，可得答案【解答】解：由 a c b，得c 最小值是1，当 c1 时， c+d1+ d，1+ d0，解得 d1， d b，故选： D【点评】本题考查了实数与数轴，利用 a c b 得出 c 的最小值是1 是解题关键7下面的统计图反映了我市 20112016 年气温变化情况，下列说法不合理的是（ ）A20112014 年最高温度呈上升趋势
18、B2014 年出现了这 6 年的最高温度C20112015 年的温差成下降趋势D2016 年的温差最大【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案【解答】解： A.20112014 年最高温度呈上升趋势，正确；B.2014 年出现了这 6 年的最高温度，正确；C.20112015 年的温差成下降趋势，错误；D.2016 年的温差最大，正确；故选： C【点评】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键8甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距 660 米，二人同时出发，走了 24 分钟时，由于乙距离景点近，先到达等候甲，甲共走了 3
19、0 分钟也到达了景点与乙相遇在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程 y（米）与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A甲的速度是 70 米/分 B乙的速度是 60 米/分C甲距离景点 2100 米 D乙距离景点 420 米【分析】根据图中信息以及路程、速度、时间之间的关系一一判断即可；【解答】解：甲的速度 70 米/分，故 A 正确，不符合题意；设乙的速度为 x 米/分则有，660+24 x7024420，解得 x60，故 B 正确，本选项不符合题意，70302100，故选项 C 正确，不符合题意，24601440 米，乙距离景点
20、 1440 米，故 D 错误，故选： D【点评】本题考查一次函数的应用，行程问题等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9如图，两个三角形相似， AD2， AE3， EC1，则 BD 4 【分析】根据相似三角形的对应边 的比相等列出比例式，计算即可【解答】解： ADE ACB， ，即 ，解得， BD4，故答案为：4【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键10如图，在 55 的正方形（每个小正方形的边长为 1）网格中，格点上有 A.B.C.D.E 五个点，如果要求连接两个点之
21、后线段的长度大于 3 且小于 4，则可以连接 AD （写出一个答案即可）【分析】根据勾股定理求出 AD，根据算术平方根的大小比较方法解答【解答】解：由勾股定理得， AD ，3 4，故答案为： AD【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a， b，斜边长为c，那么 a2+b2 c211如果 ，那么 的结果是 4 【分析】令 k，则 a2 k、 b3 k，代入到原式 计算可得【解答】解：令 k，则 a2 k、 b3 k，原式4，故答案为：4【点评】本题主要考查约分，解题的关键是掌握约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分12小
22、明为了统计自己家的月平均用电量，做了如下记录并制成了表格，通过计算分析小明得出一个结论：小明家的月平均用电量为 330 千瓦时请判断小明得到的结论是否合理并且说明理由 不合理，样本数据不具有代表性（例：夏季高峰用电量大不能代表年平均用电量） 月份 六月 七月 八月用电量（千瓦时） 290 340 360月平均用电量（千瓦时） 330【分析】根据表中所取的样本不具有代表性即可得到结论【解答】解：不合理，样本数据不具有代表性（例：夏季高峰用电量大不能代表年平均用电量） ，故答案为：不合理，样本数据不具有代表性（例：夏季高峰用电量大不能代表年平均用电量） 【点评】本题考查了统计表，认真分析表中数据是
23、解题的关键13如图， PC 是 O 的直径， PA 切 O 于点 P， AO 交 O 于点 B；连接 BC，若 C32，则 A 26 【分析】根据圆周角定理得到 AOP2 C64，根据切线的性质定理得到 APO90，计算即可【解答】解：由圆周角定理得， AOP2 C64， PC 是 O 的直径， PA 切 O 于点 P， APO90， A90 AOP26，故答案为：26【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键14某小区购买了银杏树和玉兰树共 150 棵用来美化小区环境，购买银杏树用了 12000 元，购买玉兰树用了 9000 元已知玉兰树的单价是
24、银杏树单价的 1.5 倍，求银杏树和玉兰树的单价设银杏树的单价为 x 元，可列方程为 + 150 【分析】设银杏树的单价为 x 元，则玉兰树的单价为 1.5x 元，根据“某小区购买了银杏树和玉兰树共 150 棵”列出方程即可【解答】解：设银杏树的单价为 x 元，则玉兰树的单价为 1.5x 元，根据题意，得 + 150故答案为 + 150【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键15图 1.图 2 的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖） ，可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图 2 进行移动，写出一种拼接成矩形的
25、过程 先将图 2 以点 A 为旋转中心逆时针旋转 90，再将旋转后的图形向左平移 5 各单位 【分析】变换图形 2，可先旋转，然后平移与图 2 拼成一个矩形【解答】解：先将图 2 以点 A 为旋转中心逆时针旋转 90，再将旋转后的图形向左平移 5各单位可以与图 1 拼成一个矩形故答案为先将图 2 以点 A 为旋转中心逆时针旋转 90，再将旋转后的图形向左平移 5 各单位【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等16如图是“已知一条直角边和斜边作直角三角形”的尺规作图过程已知：线段 A.b，求作：Rt ABC使得斜边
26、AB b， AC a作法：如图（1）作射线 AP，截取线段 AB b；（2）以 AB 为直径，作 O；（3）以点 A 为圆心， a 的长为半径作弧交 O 于点 C；（4）连接 AC.CB ABC 即为所求作的直角三角形请回答：该尺规作图的依据是 等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义 【分析】利用作图得到直径 AB b，则根据圆周角定理可判断 ABC 为直角三角形【解答】解：根据作图得 AB 为直径，则利用圆周角定理可判断 ACB90，从而得到ABC 满足条件故答案为：等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上
27、进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了圆周角定理三、解答题（本题共 68 分，第 17-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26.27 题 7 分，第 28 题 8 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17 （5 分）计算：（ ） 2 |2|+（5+） 04sin60【分析】直接利 用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质化简进而得出答案【解答】解：原式92+1282 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关
28、键18 （5 分）解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解： ，解不等式得， x3，解不等式得， x2，所以不等式组的解集是2 x3【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19 （5 分）如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， BE 平分 ABC 交 AC 边于E， BAC60， ABE25求 DAC 的度数【分析】根据角平分线的定义可得 ABC2 ABE，再根据直角三角形两锐
29、角互余求出 BAD，然后根据 DAC BAC BAD 计算即可得解【解答】解： BE 平分 ABC， ABC2 ABE22550， AD 是 BC 边上的高， BAD90 ABC905040， DAC BAC BAD604020【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键20 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y x 与反比例函数 y （ k0）的图象相交于点 （1）求 A.k 的值；（2）直线 x b（ b0）分别与一次函数 y x、反比例函数 y 的图象相交于点 M、 N，当 MN2 时，画出示意图并直接写出 b
30、的值【分析】 （1）依据直线 y x 与双曲线 （ k0）相交于点 ，即可得到 A.k的值；（2）分两种情况：当直线 x b 在点 A 的左侧时，由 x2，可得 x 1，即 b1；当直线 x b 在点 A 的右侧时，由 x 2，可得 x3，即 b3【解答】解：（1）直线 y x 与双曲线 （ k0）相交于点 ， ， ，解得 k3；（2）如图所示：当直线 x b 在点 A 的左侧时，由 x2，可得 x1，即 b1；当直线 x b 在点 A 的右侧时，由 x 2，可得 x3，即 b3；综上所述， b3 或 1【点评】本题考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数的图象与解析式的关系，解题时注意：点在
31、图象上，就一定满足函数的解析式21 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD.AC.BC 于点E.O、 F，连接 CE 和 AF（1）求证 ：四边形 AECF 为菱形；（2）若 AB4， BC8，求菱形 AECF 的周长【分析】 （1）根据 ASA 推出： AEO CFO；根据全等得出 OE OF，推出四边形是平行四边形，再根据 EF AC 即可推出四边形是菱形；（2）根据线段垂直平分线性质得出 AF CF，设 AF x，推出 AF CF x， BF3 x，在Rt ABF 中，由勾股定理得出方程 62+（8 x） 2 x2，求出即可【解答】 （1）证
32、明： EF 是 AC 的垂直平分线， AO OC， AOE COF90，四边形 ABCD 是矩形， AD BC， EAO FCO，在 AEO 和 CFO 中， AEO CFO（ ASA） ； OE OF又 OA OC，四边形 AECF 是平行四边形，又 EF AC平行四边形 AECF 是菱形；（2）解：设 AF x， EF 是 AC 的垂直平分线， AF CF x， BF8 x，在 Rt ABF 中，由勾股定理得： AB2+BF2 AF2，42+（8 x） 2 x2，解得 x5 AF5，菱形 AECF 的周长为 20【点评】本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形
33、的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想22 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 2x2+4x+k10 有实数根（1）求 k 的取值范围；（2）若 k 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求 k 的取值【分析】 （1）根据一元二次方程 2x2+4x+k10 有实数根，可推0，根据 k 为正整数，可确定 k 的取值范围；（2）分别把 k 的正整数值代入方程 2x2+4x+k10，解得结果进行分析解答【解答】解：（1）由题意得，168（ k1）0 k3 （2） k 为正整数， k1，2，3当 k1 时，方程 2x2+4x+k10 有一个根为零；当 k2 时，方程 2x2+4x
34、+k10 无整数根； 当 k3 时，方程 2x2+4x+k10 有两个非零的整数根综上所述， k1 和 k2 不合题意，舍去； k3 符合题意【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根23 （5 分）如图， AB 为 O 直径，过 O 外的点 D 作 DE OA 于点 E，射线 DC 切 O 于点 C.交AB 的延长线于点 P，连接 AC 交 DE 于点 F，作 CH AB 于点 H（1）求证： D2 A；（2）若 HB2，cos D ，请求出 AC 的长【分析】 （1）连接 OC，根据切线的性质得到 OC
35、P90，根据垂直的定义得到 DEP90，得到 C OB D，根据圆周角定理证明；（2）设 O 的半径为 r，根据余弦的定义、勾股定理计算即可【解答】 （1）证明：连接 OC，射线 DC 切 O 于点 C， OCP90 DE AP， DEP90， P+ D90， P+ COB90， COB D，由圆周角定理得， COB2 A， D2 A；（2）解：由（1）可知： OCP90， COP D，cos COPcos D ， CH OP， CHO90，设 O 的半径为 r，则 OH r2，在 Rt CHO 中，cos HOC ， r5， OH523，由勾股定理可知： CH4， AH AB HB1028在
36、 Rt AHC 中， CHA90，由勾股定理可知： AC 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的性质定理、圆周角定理、余弦的定义是解题的关键24 （5 分）地球环境问题已经成为我们日益关注的问题学校为了普及生态环保知识，提高学生生态环境保护意识，举办了“我参与，我环保”的知识竞赛以下是从初一、初二两个年级随机抽取 20 名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：初一：76 88 93 65 78 94 89 68 95 5089 88 89 89 77 94 87 88 92 91初二：74 97 96 89 98 74 69 76 72 7899 72 97 7
37、6 99 74 99 73 98 74（1）根据上面的数据，将下列表格补充完整；整理、描述数据：成绩 x人数班级50 x59 60 x69 70 x7 9 80 x89 90 x100初一 1 2 3 6初二 0 1 10 1 8（说明：成绩 90 分及以上为优秀，8090 分为良好，6080 分为合格，60 分以下为不合格）分析数据：年级 平均数 中位数 众数初一 84 88.5初二 84.2 74（2）得出结论：你认为哪个年级掌握生态环保知识水平较好并说明理由 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 【分析】 （1）根据初一、初二同学的测试成绩以及众数与中位数的定义即可完成表格；（2）根
38、据平均数、众数、中位数的统计意义回答【解答】解：（1）补全表格如下：整理、描述数据：成绩 x人数班级50 x59 60 x69 70 x79 80 x89 90 x100初一 1 2 3 8 6初二 0 1 10 1 8分析数据：年级 平均数 中位数 众数初一 84 88.5 89初二 84.2 77 74（2）初一年级掌握生态环保知识水平较好因为两个年级的平均数相差不大，但是初一年级同学的中位数是 88.5，众数是 89，初二年级同学的中位数是 77，众数是 74，即初一年级同学的中位数与众数明显高于初二年级同学的成绩，所以初一年级掌握生态环保 知识水平较好【点评】本题考查了频数（率）分布表
39、，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键25 （6 分）在正方形 ABCD 中， AB4 cmAC 为对角线， AC 上有一动点 P， M 是 AB 边的中点，连接 PM、 PB，设 A.P 两点间的距离为 xcm， PM+PB 长度为 ycm小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如表：x/cm 0 1 2 3 4 5y/cm 6.0 4.8 4.5 6.0 7.4（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出
40、以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象（3）结合画出的函数图象，解决问题： PM+PB 的长度最小值约为 4.5 cm【分析】 （1）通过作辅助线，应用三角函数可求得 HM+HN 的值即为 x2 时， y 的值；（2）可在网格图中直接画出函数图象；（3）有函数图象可知函数的最小值【解答】解：（1）当点 P 运动到点 M 时， AH3，作 HN AB 于点 N，在正方形 ABCD 中， AB4 cmAC 为对角线， AC 上有一动点 P， M 是 AB 边的中点， HAN45， AN HN AHsin453 ， HM ，HB ， HM+HN + 5.0，故答案为：5.0；（2）（3
41、）根据函数图象可知，当 x2 时，函数有最小值 y4.5故答案为：4.5【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答26 （7 分）有一个二次函数满足以下条件：函数图象与 x 轴的交点坐标分别为 A（1，0） ， B（ x2， y2） （点 B 在点 A 的右侧） ；对称轴是 x3；该函数有最小值是2（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象 x x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“ G”，平行于 x 轴的直线与图象“ G”相交于点 C（ x3， y3） 、 D（ x4， y4） 、 E（ x5，
42、y5） （ x3 x4 x5） ，结合画出的函数图象求 x3+x4+x5的取值范围【分析】 （1）利用二次函数解析式的顶点式求得结果即可；（2）由已知条件可知直线与图象“ G”要有 3 个交点分类讨论：分别求得平行于 x 轴的直线与图象“ G”有 2 个交点、1 个交点时 x3+x4+x5的取值范围，易得直线与图象“ G”要有 3 个交点时 x3+x4+x5的取值范围【解答】解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，2）设二次函数表达式为： y a（ x3） 22该图象过 A（1，0）0 a（13） 22，解得 a 表达式为 y （ x3） 22（2）如图所示：由已知条件可知直线与
43、图形“ G”要有三个交点1 当直线与 x 轴重合时，有 2 个交点，由二次函数的轴对称性可求 x3+x46， x3+x4+x511当直线过 y （ x3） 22 的图象顶点时，有 2 个交点，由翻折可以得到翻折后的函数图象为 y （ x3） 2+2令 （ x3） 2+22 时，解得 x3+2 或 x32 （舍去） x3+x4+x59+2 综上所述 11 x3+x4+x59+2 【点评】考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式，抛物线的对称性质，二次函数图象的几何变换，直线与抛物线的交点等知识点，综合性较强，需要注意“数形结合”数学思想的应用27 （7 分）如图，在 ABC 中，
44、AB AC， A2，点 D 是 BC 的中点， DE AB 于点E， DF AC 于点 F（1） EDB （用含 的式子表示）（2）作射线 DM 与边 AB 交于点 M，射线 DM 绕点 D 顺时针旋转 1802，与 AC 边交于点N根据条件补全图形；写出 DM 与 DN 的数量关系并证明；用等式表示线段 BM、 CN 与 BC 之间的数量关系， （用含 的锐角三角函数表示）并写出解题思路【分析】 （1）先利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到 B C90，然后利用互余可得到 EDB；（2）如图，利用 EDF1802 画图；先利用等腰三角形的性质得到 DA 平分 BAC，再根据角平分线性质得到
45、 DE DF，根据四边形内角和得到 EDF1802，所以 MDE NDF，然后证明 MDE NDF 得到DM DN；先由 MDE NDF 可得 EM FN，再证明 BDE CDF 得 BE CF，利用等量代换得到BM+CN2 BE，然后根据正弦定义得到 BE BDsin，从而有 BM+CN BCsin【解答】解：（1） AB AC， B C （180 A）90，而 DE AB， DEB90， EDB90 B90（90）；故答案为 ；（2）如图， DM DN理由如下： AB AC， BD DC DA 平分 BAC， DE AB 于点 E， DF AC 于点 F， DE DF， MED NFD90， A2 EDF1802， MDN1802， MDE NDF，在 MDE 和 NDF 中， MDE NDF， DM DN；数量关系： BM+CN BCsin证明思路为：先由 MDE NDF 可得 EM FN，再证明 BDE CDF 得 BE CF，所以BM+CN BE+EM+CF FN2 BE，接着在 Rt BDE 可得 BE BDsin，从而有BM+CN