1、第19课时 矩形、菱形、正方形,考点梳理,自主测试,考点一 矩形的性质与判定 1.定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.性质 (1)矩形的对边平行且相等; (2)矩形的四个角都是直角; (3)矩形的对角线相等; (4)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,它的对称中心是对角线的交点. 3.判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线相等的平行四边形是矩形.,考点梳理,自主测试,考点二 菱形的性质与判定 1.定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.性质 (1)菱形的对边平行,四边都相等; (2)菱形的对角相等;
2、(3)菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角. 3.判定 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形; (3)四条边都相等的四边形是菱形. 4.菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,即S菱形= ab.(其中a,b为菱形对角线长),考点梳理,自主测试,考点三 正方形的性质与判定 1.定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形. 2.性质 (1)正方形的四条边都相等,四个角都是直角; (2)正方形的对角线相等,且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角; (3)正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴;正方形
3、是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.,考点梳理,自主测试,3.判定 (1)一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形; (2)一组邻边相等的矩形是正方形; (3)对角线互相垂直的矩形是正方形; (4)有一个角是直角的菱形是正方形; (5)对角线相等的菱形是正方形. 4.正方形的面积公式:S=a2(a为边长)或S= l2.(l为对角线的长),考点梳理,自主测试,1.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,下列结论不正确的是( ) A.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形 B.当ACBD时,四边形ABCD是菱形 C.当OA=OB时,四边形ABCD是矩形 D.当A
4、BD=CBD时,四边形ABCD是矩形 解析:A.根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确;B.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确;C.根据对角线相等的平行四边形是矩形可以得到该选项正确;D.不能得到一个角是直角,故错误.故选D. 答案:D,考点梳理,自主测试,2.如图,在菱形ABCD中,B=60,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析:四边形ABCD是菱形,AB=BC. B=60,ABC是等边三角形.AC=AB=4. 正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=44=16,故选C. 答案:C,考点梳理,
5、自主测试,3.下列命题是真命题的是( ) A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形 答案:C 4.如图,在正方形ABCD中,AD=1.将ABD绕点B顺时针旋转45得到ABD,此时AD与CD交于点E,则DE的长度为 .,命题点1,命题点2,命题点3,命题点1 矩形的性质与判定 【例1】 如图,在ABC中,AB=AC,AD,AE分别是BAC和BAC外角的平分线,BEAE.(1)求证:DAAE; (2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论. 分析:第(1)题利用邻补角的角平分线互相垂直
6、易证;在第(2)题中,AB与DE是四边形ADBE的对角线,可考虑利用矩形的判定,证明四边形ADBE是矩形即可.,命题点1,命题点2,命题点3,(1)证明:AD,AE分别平分BAC,BAF,(2)解:AB=DE. 理由:AB=AC,AD平分BAC, ADBC.ADB=90.BEAE,AEB=90. DAE=90,四边形ADBE是矩形.AB=DE.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点1,命题点2,命题点3,命题点2 菱形的性质与判定 【例2】 如图,在ABCD中,AE平分BAD,交BC于点E,BF平分ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD. (1)求证:四边形ABEF是菱形;
7、(2)若AB=4,AD=6,ABC=60,求tan ADP的值. (1)证明:BF平分ABC,ABF=EBF. ADBC,AFB=EBF. AFB=ABF.AB=AF. 同理,AB=BE.AF=BE. 又AFBE,四边形ABEF是平行四边形. AB=AF,四边形ABEF是菱形.,命题点1,命题点2,命题点3,(2)解:过点P作PGAD于点G,如图. 四边形ABEF是菱形, ABC=60, ABE是等边三角形.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点1,命题点2,命题点3,变式训练如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=5, AC=6.过D点作DEAC交BC的延长线于点E.(1)
8、求BDE的周长; (2)点P为线段BC上的点,连接PO,并延长交AD于点Q,求证:BP=DQ.,命题点1,命题点2,命题点3,(1)解:因为四边形ABCD为菱形,所以BEAD. 又ACDE,所以四边形ACED为平行四边形, 则有AB=AD=BC=CE=5, 所以BE=BC+CE=10,AC=DE=6.,(2)证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以OB=OD,BEAD,则DBC=ADB. 又BOP=DOQ,所以BOPDOQ, 故有BP=DQ.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点3 正方形的性质与判定 【例3】 如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA上的点,HA=
9、EB=FC=GD,连接EG,FH,交点为O. (1)如图,连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论;(2)将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开,再把得到的四个四边形按图的方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长为3 cm, HA=EB=FC=GD=1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.,命题点1,命题点2,命题点3,分析:根据题目的条件,可先证AEH,BFE,CGF,DHG四个三角形全等,证得四边形EFGH的四边相等,然后由全等再证一个角是直角. 解:(1)四边形EFGH是正方形. 证明:四边形ABCD是正方形, A=B=C=D=90,AB=BC=CD=DA. HA=EB=FC=GD,AE=BF=CG=DH. AEHBFECGFDHG. EF=FG=GH=HE. 四边形EFGH是菱形. 由DHGAEH,知DHG=AEH. AEH+AHE=90,DHG+AHE=90. GHE=90.菱形EFGH是正方形. (2)1,命题点1,命题点2,命题点3,