1、5.5 分式方程第 1 课时 分式方程及其解法知识点 1 分式方程的定义只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程1下列方程中，哪些是整式方程？哪些是分式方程？(1) 1.6；(2)2 2x；x 40.2 x 30.5 6 x2(3) 1 ；(4)x3 4 .8x2 1 x 8x 1 1x 1 1x 1知识点 2 解分式方程解分式方程的步骤：(1)分式方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；(2)解这个整式方程，得出未知数的值；(3)检验所得到的值是不是原分式方程的根；(4)写出答案使分式方程的分母为零的根是增根，增根使分式方程无意义，应该舍去注意 检验是解分式方
2、程的一个十分重要的步骤，切不可省略2解分式方程 的步骤：2x 3 3x(1)去分母，方程两边同乘_，得整式方程_；(2)解这个整式方程，得 x_；(3)检验：把 x_代入最简公分母 x(x3)，得 x(x3)_(填“0”或“0”)，所以 x_是原分式方程的解探究 一 解分式方程教材例 2 变式题 解下列方程：(1) ；2x 3x 1(2) 2 ；x3x 1 11 3x(3) 1.xx 1 2x2 1归纳总结 解分式方程时，要注意以下几点：不要忘记验根；去分母时不要漏乘整式项；当分式的分子是多项式时，去分母后不要忘记添括号探究 二 利用分式方程的增根求字母系数的值教材例题补充题 若关于 x 的分
3、式方程 2 有增根，则 m 的值是( )2x 3 x m3 xAm1 Bm0Cm3 Dm0 或 m3归纳总结 利用分式方程的增根求待定字母的值，可按如下步骤进行：(1)先将分式方程转化为整式方程；(2)令最简公分母为 0 确定增根；(3)将增根代入所得的整式方程，求出待定字母的值探究 三 利用分式方程根的取值范围确定字母系数的取值范围教材例题补充题 2015荆州 若关于 x 的分式方程 2 的解为非负数，m 1x 1则 m 的取值范围是( )Am1 Bm1Cm1 且 m1 Dm1 且 m1归纳总结 确定根的取值范围时，要去掉使分式方程产生增根的情况反思 下面是小马虎同学解分式方程的步骤，你认为
4、他的解法正确吗？如果不正确，请指出错在哪里，然后写出正确答案解方程： 1 .2x2x 1 2x 2解：原方程可化为 ，2x2x 1 x 2x 2 2x 2即 .2x2x 1 xx 2方程两边约去 x，得 .22x 1 1x 2去分母，得 2x42x1.所以此方程无解一、选择题1在方程 7， 2， 4， 1 中，分式方程有( ) x 53 3x x 12 x 13 3x 9xA1 个 B2 个 C3 个 D4 个2把分式方程 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( )2x 4 1xAx B2xCx4 Dx(x4)32015济宁解分式方程 3 时，去分母后正确的为( )2x 1 x 21 xA2(
5、x2)3(x1) B2x23(x1)C2(x2)3 D2(x2)3(x1)4若 x3 是关于 x 的分式方程 0 的根，则 a 的值是( )a 2x 1x 2A5 B5 C3 D352015常德 分式方程 1 的解为( )2x 2 3x2 xAx1 Bx2 Cx Dx0136分式方程 的解是( )1x 1 2x 1 4x2 1Ax0 Bx1Cx1 D无解7下列分式方程中，有解的是( )A. 0 B. 0x 1x2 1 x2 1x 1C. 1 D. 1x 1x 1 （ x 1） 2x 18对于非零的两个实数 a，b，规定 ab .若 1(x 1)1，则 x 的值为( )1b 1aA. B. C.
6、 D32 13 12 12二、填空题9解分式方程 去分母时，两边都乘_1x 1 1x 1 1x2 1102016湖州方程 1 的根是 x_2x 1x 311若关于 x 的分式方程 的解为 x3，则 a 的值为_2（ x a）a（ x 1） 2512已知关于 x 的方程 1 有增根，则 a 的值等于_ax 1 3x2 1三、解答题13解分式方程：(1)2016连云港解方程： 0；2x 11 x(2)2016绍兴解分式方程： 4.xx 1 21 x14是否存在实数 x，使得代数式 的值与代数式 1 的值相等？x 2x 2 16x2 4 4x 215若关于 x 的分式方程 1 的解与方程 3 的解相
7、同，求 a 的值axa 1 2x 1 x 4x16当 k 取何值时，关于 x 的分式方程 有解？6x 1 x kx（ x 1） 3x17若关于 x 的分式方程 1 无解，求 m 的值x mx 1 3x1规律探索题 已知： 1 ， ， ，112 12 123 12 13 134 13 14(1)根据这个规律写出第 n 个式子是_；(2)利用这个规律解方程： 1x（ x 1） 1（ x 1） （ x 2） 1（ x 9） （ x 10）.1x 102.阅读下面一段话：关于 x 的分式方程 x c 的解是 xc 或 x ；1x 1c 1c关于 x 的分式方程 x c 的解是 xc 或 x ；2x 2
8、c 2c关于 x 的分式方程 x c 的解是 xc 或 x ；3x 3c 3c(1)写出方程 x 的解：_；1x 52(2)猜想关于 x 的分式方程 x c (m0)的解，并将所得解代入方程检验mx mc详解详析教材的地位和作用本节是在学生认识和学习了分式及其基本运算的基础上介绍分式方程的解法，符合学生的认知规律通过对本节内容的学习，能让学生体验转化这一重要的数学思想，同时，本节课的学习将为下一节课的学习打下基础知识与技能1.了解分式方程的概念和增根的概念；2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会对分式方程进行根的检验过程与方法通过分式方程的求解过程，初步体会数学研究中的转
9、化思想教学目标 情感、态度与价值观在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值重点 解可化为一元一次方程的分式方程难点 增根的概念和对验根必要性的理解教学重点难点 易错 点 解分式方程的过程中容易忘记检验【预习效果检测】1解析 分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数解：(1)(2)是整式方程，(3)(4)是分式方程2(1) x(x3) 2 x3( x3) (2)9(3)9 0 9【重难互动探究】例 1 解析 首先确定各分母的最简公分母，然后去分母，解整式方程解：(1)方程两边同时乘 x(x1)，得 2(x1)3x，解得 x2.经检验，
10、x2 是原分式方程的解(2)方程两边同时乘(3x1)，得 x2(3x1)1，解得 x .经检验，x 是原分式方15 15程的解(3)方程两边同乘(x1)(x1)，得x(x1)2(x1)(x1)去括号，得 x2x2x 21.移项、合并同类项，得 x1.检验：当 x1 时，(x1)(x1)0，所以 x1 是原分式方程的增根所以原方程无解例 2 A 解析 方程两边都乘(x3)，得 2xm2(x3)因为分式方程有增根，所以 x3，所以 23m2(33)，解得 m1.故选 A.例 3 D 解析 去分母，得 m12x2，解得 x .由题意得 0 且 1.解m 12 m 12 m 12得 m1 且 m1.故
11、选 D.【课堂总结反思】反思 小马虎的解答不正确，错在“方程两边约去 x”这一步正解：原方程可化为 .2x2x 1 xx 2去分母，得 2x(x2)x(2x1)去括号，得 2x24x2x 2x.解得 x0.经检验，x0 是原方程的解【作业高效训练】课堂达标1解析 B 方程 2 和 1 中的分母含有未知数，是分式方程故选 B.3x 3x 9x2 D 3. D 4. A 5. A 6. D7解析 D 选项 A 中，当 x10 时，x1，而当 x1 时，分母的值等于 0，所以该方程无解；选项 B 中，因为 x 取任意值，x 210 恒成立，所以方程无解；选项 C中，因为 x 取任意值，x1 的值总不
12、等于 x1 的值，所以分式 的值总不等于 1，方程x 1x 1无解；选项 D 中，方程的解为 x2.8解析 D 由规定知，1(x 1)1 可化为 11，即 2，解得1x 1 1x 1x . 10，符合条件故选 D.12 129答案 (x1)(x1)10答案 211答案 5解析 因为关于 x 的方程 的解为 x3，所以 ，即2（ x a）a（ x 1） 25 2（ 3 a）a（ 3 1） 25 .解这个方程得 a5.经检验，a5 满足题意3 a2a 1512答案 32解析 方程两边同乘(x1)(x1)，得a(x1)3(x1)(x1)原方程有增根，最简公分母(x1)(x1)0，增根是 x1 或 x
13、1.当 x1 时，a ；32当 x1 时，a 无解13(1)x2 (2)x2314解： 根据题意，得 1 ，x 2x 2 16x2 4 4x 2去分母，得(x2) 216x 244(x2)，去括号，得 x24x416x 244x8，移项、合并同类项，得 8x16，解得 x2.经检验，x2 是原方程的增根，故原分式方程无解所以不存在满足条件的实数 x.15解：由 3，得 x2.x 4x关于 x 的分式方程 1 的解与方程 3 的解相同，axa 1 2x 1 x 4x把 x2 代入方程 1 中，axa 1 2x 1得 1，2aa 1 22 1即 3，2aa 1解得 a3.经检验，a3 是方程 1
14、的根，2aa 1 22 1a3.16解： ，6x 1 x kx（ x 1） 3x方程两边同乘 x(x1)，得6xxk3(x1)，k8x3.原分式方程有解，x0 且 x10，即 x0 且 x18x33 且 8x35，当 k3 且 k5 时，原分式方程有解17解：去分母，得 x(xm)3(x1)x(x1)，mx3x3x，整理，得(2m)x30.关于 x 的分式方程 1 无解，x mx 1 3xx1 或 x0.当 x1 时，2m30，解得 m1.当 x0 时，30，无解当 2m0 时，方程(2m)x30 无解，此时 m2.m1 或 m2.数学活动1解：(1) 1n（ n 1） 1n 1n 1(2)原方程可化为 ，(1x 1x 1) ( 1x 1 1x 2) ( 1x 9 1x 10) 1x 10即 ，解得 x10.1x 1x 10 1x 10当 x10 时，原分式方程的最简公分母不为 0.所以 x10 是原分式方程的解2解：(1)方程 x 可化为 x 2 ，可得该方程的解为 x2 或 x .1x 52 1x 12 12(2)猜想：方程的解为 xc 或 x .分别将 xc 和 x 代入原方程可得方程的左边mc mc右边，故方程 x c (m0)的解为 xc 或 x . mx mc mc