1、第 4 章 因式分解41 因式分解知识点 1 因式分解一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时也把这一过程叫做分解因式注意 (1)因式分解的对象必须是一个多项式；(2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式一般有两种形式：单项式多项式；多项式多项式(3)因式分解是一个恒等变形1下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )A6a 2b3a2abB(x2)(x2)x 24C2x 24x12x(x2)1D2ab2ac2a(bc)知识点 2 因式分解与整式乘法的关系a(bcd) abacad.因式分解与整式乘法的相互关系互逆变形从右到左是因式分解，其特点是由和差形式(多项式)转化成
2、整式的积的形式；从左到右是整式乘法，其特点是由整式的积的形式转化成和差形式(多项式)2检验下列因式分解是否正确(1)a 2b24(ab2)(ab2)；(2)5ax210ax15a5a(x1)(x3)；(3)9y26y93(y1) 2.探究 一 因式分解的简单应用教材补充题已知 x2mx 6 可以分解为(x2)(x3)，求 m 的值归纳总结 因式分解与多项式的乘法是互逆变形式，可以用整式的乘法得到对应系数相等，求出未知数的值探究 二 利用因式分解进行简便运算教材课内练习第 2 题变式题用简便方法计算：(1)49249；(2)(8 )2(3 )2.12 12反思 已知多项式9x 312x 26x
3、因式分解后，只能写成两个因式乘积的形式，其中一个因式是3x，你能确定这个多项式因式分解后的另一个因式吗？一、选择题1下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )Aa 24a21a(a4)21B(a3)(a7)a 24a21Ca 24a21(a3)(a7)Da 24a21(a2) 2252下列各式从左到右的变形：(1)15x2y3x5xy；(2)(xy)(xy)x 2y 2；(3)x22x1(x1) 2；(4)x23x1x .(x 31x)其中是因式分解的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3下列因式分解正确的是( )Ax 2y 2(xy) 2 Ba 2a1(a1) 2Cxyxx(y1)
4、 D2xy2(xy)4要使式子7ab14abx49aby7ab( )的左边与右边相等，则“( )”内应填的式子是( )A12x7y B12x7yC12x7y D12x7y5若(x3)(x4)是多项式 x2ax12 因式分解的结果，则 a 的值是( )A12 B12 C7 D76若多项式 x25x4 可分解因式为(x4)M，则 M 为( )Ax1 Bx1 Cx2 Dx27若 4x3y26x 2y3M 可分解为 2x2y2(2x3y1)，则 M 为( )A2xy B2x 2y2 C2x 2y2 D4xy 2二、填空题8(x2) 2x 24x4 从左到右的运算是_9已知(x1)(x1)x 21，则
5、x21 因式分解的结果是_10因为(6a 318a 2)6a2_，所以 6a318a 2可分解因式为 6a2_.11计算：24.4845.68_三、解答题12若关于 x 的二次三项式 3x2mxn 因式分解的结果为(3x2)(x1)，求 m，n 的值13若 x25x6 能分解成两个因式的乘积，且有一个因式为 x2，另一个因式为mxn，其中 m，n 为两个未知的常数请你求出 m，n 的值试说明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数与原数之差能被 99 整除详解详析教材的地位和作用因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式的联系极为密切它不仅在多项式的除法、简便运算中有着直
6、接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程(组)及三角函数的恒等变形做了必要的铺垫本节课所接触的因式分解的概念是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念，所以学好本节课对本章的后续学习具有重要的意义知识与技能1.理解因式分解的概念和意义；2.认识因式分解与整式乘法的相互关系互逆变形，并会运用它们之间的相互关系探究因式分解的方法过程与方法由学生自己探究解题途径，培养学生观察、分析、判断和创新的能力，提高学生逆向思维的能力和综合运用的能力教学目标 情感、态度与价值观培养学生接受矛盾的对立统一观点，使学生养成独立思考、勇于探索的学习习惯和实事求是的科学态度重点 因式分解的概念难点 理解因式
7、分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因 式分解的方法教学重点难点 易错点 对因式分解和整式乘法的形式判断不清而导致出错【预习效果检测】1解析 D 在 A 项中，等式左边不是多项式，不是因式分解在 B 项中，它是整式的乘法在 C 项中，等式的右边不是乘积的形式，也不属于因式分解只有 D 项符合要求故选 D.2解析 因为因式分解与多项式的乘法是互逆变形，所以可以用整式的乘法来检验因式分解是否正确解：(1)因为( ab2)( ab2) a2b24 a2b24，所以因式分解 a2b24( ab2)(ab2)错误(2)因为 5a(x1)( x3)5 ax210 ax15 a，所以因式分
8、解5ax210 ax15 a5 a(x1)( x3)正确(3)因为 3(y1) 23 y26 y39 y26 y9，所以因式分解 9y26 y93( y1) 2错误【重难互动探究】例 1 解析 因为因式分解与多项式的乘法是互逆变形，所以把(x2)(x3)变为多项式的形式，利用相等关系即可求解解：因为(x2)(x3)x 2x6，所以 x2mx6x 2x6，即 m1.例 2 解：(1)49 24949(491)49502450.(2)(8 )2(3 )2(8 3 )(8 3 )12560.12 12 12 12 12 12【课堂总结反思】反思 (9x 312x 26x)(3x)3x 24x2，故这
9、个多项式因式分解后的另一个因式是 3x24x2.【作业高效训练】课堂达标1 C2解析 A (1)的左边是单项式不是多项式，不符合因式分解的定义(2)是乘法运算(3)符合分解因式的定义(4)等号右边的两项的乘积不是整式的积的形式，所以只有(3)符合故选 A.3 C 4. D5解析 C 将(x3)(x4)按照多项式乘多项式的方法展开可得(x3)(x4) x27x12，所以 a7.故选 C.6解析 A 可把四个选项逐一代入检验7解析 B 因为 2x2y2(2x3y1)4x 3y26x 2y32x 2y2，所以 M2x 2y2.8答案 整式乘法9答案 (x1)(x1)解析 由因式分解是整式乘法的逆变形
10、可得结果10答案 a3 (a3)解析 根据多项式除以单项式的运算法则，知(6a 318a 2)6a2a3，所以根据因式分解的定义，得 6a318a 26a 2(a3)11答案 560解析 24.4845.688(24.445.6)870560.应填 560.12解：因为(3x2)(x1)3x 2x2，又因为 3x2mxn 因式分解的结果为(3x2)(x1)，所以 3x2mxn3x 2x2，所以 m1，n2.点评 根据因式分解的定义知，因式分解是恒等变形，乘开后多项式的各项系数对应相等13解：根据题意，得 x25x6(x2)(mxn)，即 x25x6mx 2(n2m)x2n，所以 m1，n3.数学活动解析 设一个三位数的百位数字为 x，十位数字为 y，个位数字为 z，则这个三位数可用 100x10yz 表示，交换百位数字与个位数字位置后的三位数可表示为 100z10yx.只需说明这两个数之差是 99 的倍数即可解：设原数的百位数字为 x，十位数字为 y，个位数字为 z，则原数可表示为100x10yz，交换百位数字与个位数字的位置后，新数为 100z10yx.则(100z10yx)(100x10yz)99(zx)因为 99(zx)99zx.所以新数与原数之差能被 99 整除