1、3.4 乘法公式第 2 课时 完全平方公式知识点 完全平方公式两数和与差的完全平方公式：(1)数学表达式：(ab) 2a 22abb 2，(ab) 2a 22abb 2.(2)语言叙述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2 倍注意 完全平方公式的结构特征：左边是两个数或两个代数式和或差的平方，右边展开式是一个二次三项式，且首、尾两项分别是这两个数或两个代数式的平方，中间是这两个数或两个代数式的积的 2 倍(或其相反数)右边简记为“首平方，尾平方，积的 2 倍放中央”式中 a，b 可以表示一个数、一个字母、一个单项式、多项式或其他代数式1计算(x3) 2的结果为
2、x2x9，则“”中的数为( )A3 B3 C6 D62用完全平方公式计算：(1)(53p) 2； (2)(2x7y) 2；探究 一 应用完全平方公式求代数式的值教材补充题利用完全平方公式计算：(1)已知 xya，xyb，求 x2y 2的值；(2)若 xy3，xy1，求 xy 的值归纳总结 完全平方公式的常见变形：(ab) 2(ab) 24ab；(ab) 2(ab) 24ab；a2b 2(ab) 22ab；a2b 2(ab) 22ab；ab (ab) 2(a 2b 2)；12ab (a2b 2)(ab) 2；12a2b 2 (ab) 2(ab) 2；12ab (ab) 2(ab) 214探究 二
3、 利用完全平方公式解决实际问题教材例 4 变式题一块正方形桌布铺在正方形的茶几上，四周刚好都垂下 8 cm.如果设桌布的边长为 x cm，那么桌布下垂部分的面积为多少？反思 数学课上，老师要求大家利用乘法公式简便计算 2962的值，喜欢数学的小刚的解题过程如下：2962(3004) 2300 22300(4)4 29000024001692416.你认为小刚的解题过程正确吗？若不正确，请写出正确的解题过程一、选择题1下列各式中，与(a1) 2相等的是( )Aa 21 Ba 22a1Ca 22a1 Da 212下列计算正确的是( )A(xy) 2x 2y 2B(xy) 2x 22xyy 2C(x
4、2y)(x2y)x 22y 2D(xy) 2x 22xyy 23计算(m1)(m1)的结果是( )Am 22m1 Bm 21Cm 22m1 Dm 214若 x2mx9 是一个完全平方式，则 m 的值是( )A3 B6 C3 D65计算(a2b) 2(a2b) 2的结果是( )A8ab B4b 2 C0 D2a 28b 26设(5a3b) 2(5a3b) 2 M，则 M( )A60ab B30ab C15ab D12ab7如果 36x2mxy49y 2可以写成(axby) 2(其中 a，b 为正整数)的形式，那么( )Aa36，m84，b49Ba6，m84，b7Ca6，m84，b7Da6，m84
5、，b78如图 342是一个长为 2a，宽为 2b(ab)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都一样的小长方形，然后按图所示的方式拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是( )图 342A2ab B(ab) 2C(ab) 2 Da 2b 2二、填空题9教材上，公式(ab) 2a 22abb 2是由公式(ab) 2a 22abb 2推导得出的，该推导过程的第一步是(ab) 2_10化简：(1x) 22x_112016巴中若 ab3，ab2，则(ab) 2_12一个正方形的边长为 a cm，若边长增加 4 cm，则它的面积增大_ cm.13将多项式 x24 加上一个整式，使
6、它成为一个完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：_、_、_14利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图 343 甲，我们可以得到两数和的平方公式：(ab) 2a 22abb 2.根据图乙能得到的数学公式是_图 343三、解答题15利用完全平方公式计算：(1)(4x3y) 2； (2) ；( 1.5a23b)2 (3)632; (4)19992.162016无锡计算：(ab) 2a(a2b)172015江西先化简，再求值：2a(a2b)(a2b) 2，其中 a1，b .318计算：(1)(x2y)(x2y)(x2y) 2；(2)(2a1) 2(12a) 2；(3) .(3x1
7、2)( 12 3x)(9x2 14)19现有两个边长为 a 米的正方形，如果把其中一个正方形的边长增加 b 米，把另一个正方形的边长减少 b 米，问变化后的这两个正方形的面积之差是多少？1利用我们学过的知识，可以导出下面这种形式的优美等式：a2b 2c 2abacbc (ab) 2(bc) 2(ca) 2，该等式从左到右的变形，不12仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美(1)请你检验这个等式的正确性；(2)若 a2016，b2017，c2018，你能很快求出 a2b 2c 2abacbc 的值吗？2.已知 xy2，xy1，求 x8y 8的值详解详析教材的地位和作用本节课通过利用多项
8、式乘法法则和图形解释而得到完全平方公式，进而理解和运用完全平方公式，对以后学习因式分解，解一元二次方程都具有举足轻重的作用知识与技能1.掌握完全平方公式；2.会用完全平方公式进行多项式的乘法运算过程与方法通过完全平方公式的运用，培养学生的语言表达能力和运用公式计算的能力教学目标 情感、态 度与价值观通过多项式的乘法到完全平方公式的计算，培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的思维能力，培养学生合作交流的能力和创新意识重点 掌握完全平方公式的特点及正确运用公式进行计算难点 灵活运用完全平方公式教学重点难点易错点 平方差公式与完全平方公式相混淆，导致出错【预习效果检测】1解析 D 由( x3) 2 x
9、26 x9 与计算( x3) 2的结果为 x2 x9 相比较，根据多项式相等的知识，即可求得答案( x3) 2 x26 x9，“”中的数为 6.故选 D.2解析 应用完全平方公式计算，关键要分清公式中的 a， b 分别代表什么解：(1)这是两个数的和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中 5 和 3p 分别是公式中的 a 和 b.(53 p)25 2253 p(3 p)22530 p9 p2.(2)这是两个数的差的平方，应选用“差”的完全平方公式，其中 2x 和 7y 分别是公式中的 a 和 b.(2x7 y)2(2 x)222 x7y(7 y)24 x228 xy49 y2.也可以直接选用
10、“和”的完全平方公式(2x7 y)22 x(7 y)2(2 x)222 x(7 y)(7 y)24 x228 xy49 y2.【重难互动探究】例 1 解析 完全平方公式揭示了 ab，a 2b 2，ab 之间的关系，利用三者之间的关系，即可解决本题中的问题解：(1)因为(xy) 2x 22xyy 2，所以 x2y 2(xy) 22xy.又因为 xya，xyb，所以 x2y 2a 22b.(2)因为(xy) 2x 22xyy 2，(xy) 2x 22xyy 2，所以(xy) 2(xy) 24xy，所以 xy (xy) 2(xy) 214又因为 xy3，xy1，所以 xy (321 2)2.14例
11、2 解析 桌布的面积为 x2 cm2，桌子的面积为(x82) 2cm2，以上两者的差就是所求的结果解：x 2(x82) 2x 2(x 232x256)(32x256)( cm2)答：桌布下垂部分的面积为(32x256) cm2.【课堂总结反思】知识框架a22abb 2 a 22abb 2反思 不正确正确的解题过程如下：296 2(3004)2300 2230044 29000024001687616.【作业高效训练】课堂达标1 B 2. D3解析 A (m1)(m1)(m1)(m1)(m1) 2m 22m1.故选 A.4解析 D x 2mx9(x3) 2x 26x9，m6.5 A6解析 A M
12、(5a3b) 2(5a3b) 2(25a 230ab9b 2)(25a 230ab9b 2)60ab.故选 A.7 C 8. C9答案 a(b) 210答案 1x 211答案 112答案 (8a16)13答案 4x 4x x41614答案 (ab) 2a 22abb 2点评 利用数形结合，联系甲图中的两数和的完全平方公式便可推导出两数差的完全平方公式15解析 先确定使用哪个完全平方公式，其中(2)题可以把各项符号改变后再应用完全平方公式计算；(3)(4)题把底数写成两个数的和与差即可解：(1)(4x3y) 2(4x) 224x3y(3y) 216x 224xy9y 2.(2)( 1.5a23b
13、)2 (32a 23b)2 2 a b(32a)2 32 23 (23b)2 a22ab b2.94 49(3)632(603) 260 226033 23969.(4)19992(20001) 22000 22200011 23996001.16解：原式a 22abb 2a 22abb 2.17解：原式(a2b)2a(a2b)(a2b)(a2b)a 24b 2.把 a1，b 代入，原式11.318解：(1)(x2y)(x2y)(x2y) 2x 24y 2(x 24xy4y 2)8y 24xy.(2)(2a1) 2(12a) 2(4a 24a1)(14a4a 2)8a.(3)(3x12)( 1
14、2 3x)(9x2 14) (3x12)(3x 12)(9x2 14) (9x214)2 (81x4 92x2 116)81x 4 x2 .92 11619解析 分别求出变化后的两个正方形的面积，再计算它们的差解：边长增加 b 米的正方形的面积为(ab) 2平方米，边长减少 b 米的正方形的面积为(ab) 2平方米，则两正方形的面积之差为(ab) 2(ab) 24ab(米 2)答：变化后的这两个正方形的面积之差是 4ab 平方米数学活动1解析 检验这个等式的正确性，我们可以运用逆运算，从右边向左边检验；已知a，b，c 的值，将各字母的值代入即可解：(1)左边 (ab) 2(bc) 2(ca) 212 (a22abb 2b 22bcc 2c 22aca 2)a 2b 2c 2abacbc右边12(2)a2b 2c 2abacbc (ab) 2(bc) 2(ca) 212 (20162017) 2(20172018) 2(20182016) 23.122解：x 2y 2(xy) 22xy2 226，x4y 4(x 2y 2)22x 2y26 22(1) 234，x 8y 8(x 4y 4)22x 4y434 221154.