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江苏省南京市2019届高三二模考前模拟测试数学试题有答案(含附加题)

1、江苏省南京市 2019 届高三二模考前模拟测试数 学 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将答题卡交回。2答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。5如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须

2、加黑、加粗。一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知 , ,则 = 0,246A2,34BBA2. 若复数 z 满足 2i(1 i)(i 为虚数单位) ,则 z_ z 3. 一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 10 000 人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图所示 )为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,再从这 10 000 人中用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在2 500,3 500)(元/月)收入段应抽出_人4. 函数 的定义域是_123xf5.根据如图所示的伪代码可知,输出的结

3、果 S 为_.6.在区间 上随机取一个数 ,则 的值介于 到 之间的概率为=_.1,xcos20127. 已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 l: ,且它2:1(0,)xyCab210yx 的一个焦点在直线 l 上,则双曲线 C 的方程为 8. 已知正四棱锥底面边长为 4 ,体积为 32,则此正四棱锥的侧棱长为2_.9. 在平面直角坐标系 中,已知圆 与直线 相交xOy2:810Cxym210xy于, 两点若 为等边三角形,则实数 的值为 ABABC10. 已知ABC 是边长为 2 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE并延长到点 F,使得 DE3EF ,则 的值为

4、 AFBC11. 记等差数列 的前 n 项和为 ,已知 ,且数列 也为等差数列,则anS13anS= 112. 已知函数 fx满足 12ffx,当 ,3时, ln.fx,若在区间1,3上,函数 恰有一个零点,则实数 a的取值范围是 afg)(13.已知在 中, 分别为三个内角 的对边,若 ,则ABC ,bc,ABCtn2taAB的最大值为_.bca14. 已知函数 若对任意实数 ,总存在实数 ,使得 成2e()ln0xaf, , k0x0()fxk立,求实数 的取值集合为 a二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15.

5、(本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 中, ,点 D 在 AB 上,点 E 为 AC 的中点,且PABCBC 平面 PDE/(1)求证: 平面 PBC;/DE(2)若平面 PCD平面 ABC,求证:平面 PAB平面 PCD16. (本小题满分 14 分)已知函数 ()sin2cosfxmx 0m的最大值为 2(1 )求函数 ()f在 0,上的单调递减区间;(2 ) ABC 中, ()()46sin4fAfBAB,角 A,B,C 所对的边分别是a,b ,c,且 C=60, 3c,求 ABC 的面积17. (本小题满分 14 分)如图,某城市有一个边长为 百米的正方形休闲广场,广场中间阴影部分是

6、一个雕塑4群. 建立坐标系(单位:百米) ,则雕塑群的左上方边缘曲线 是抛物线AB的一段. 为方便市民,拟建造一条穿越广场的直路 (宽24(13,0)yxy EF度不计) ,要求直路 与曲线 相切(记切点为 ) ,并且将广场分割成两部分,EFABM其中直路 左上部分建设为主题陈列区. 记 点到 的距离OC为 (百米) ,主题陈列区的面积为 (万平方米).mS(1)当 为 中点时,求 的值;MEF(2)求 的取值范围.S18. (本小题满分 16 分)已知 依次满足(2,0)(,ABCD点 、 12,().ACDABC(1)求点 的轨迹;(2)过点 作直线 交以 为焦点的椭圆于 两点,线段 的中

7、点到 轴的lAB、 MN、 y距离为 ,且直线 与点 的轨迹相切,求该椭圆的方程;45D(3 )在(2 )的条件下,设点 Q的坐标为 (1,0),是否存在椭圆上的点 P及以 Q为圆心的一个圆,使得该圆与直线 都相切,如存在,求出 点坐标及圆的方程,如,PAB不存在,请说明理由19. (本小题满分 16 分)设数列 的各项均为正数.若对任意的 ,存在 ,使得 成nan*Nk*22nknka立,则称数列 为“J k型”数列(1)若数列 是“J 2型”数列,且 , ,求 ;na28a12na(2)若数列 既是“J 3型”数列,又是“J 4型”数列,证明:数列 是等比数n na列.20. (本小题满分

8、 16 分)已知函数 ,并设 ,2,fxbcRxfFe(1)若 图像在 处的切线方程为 ,求 、 的值;F00xybc(2)若函数 是 上单调递减,则x, 当 时,试判断 与 的大小关系,并证明之;0fx2c 对满足题设条件的任意 、 ,不等式 恒成立,求b22fMcfb的取值范围M数学(附加题 )本卷共 4 小题,每小题 10 分,共计 40 分请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 , 解 答 时 应 写 出文字说明、证明过程或演算步骤21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答A选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)设数列

9、,nab满足 1123,2nnnab,且满足 4nnaMb,试求二阶矩阵 M。B选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)过点 作倾斜角为 的直线与曲线 交于点 若点 恰为弦10(,)2P21xy,MNP的中点,求直线的方程; 求 的最小值及相应的 的值MNPMN C选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)已知正数 , , 满足 ,求证: abc1a(2)()27abc【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22 (本小题满分 10 分)如图,已知长方体 , ,直线 与平面 所成1ABCD12,ABBD1AB角为 ,

10、垂直 于点 , 为 的中点.30EF1(1 )求直线 与平面 所成角的正弦值;(2 )线段 上是否存在点 ,使得二面角 的余弦值为 ?若存在,确定1PBP35点位置;若不存在,说明理由.P23 (本小题满分 10 分)已知各项均为正数的数列 满足: .na1()2naNEFD1C1B1A1DCBA(1)若 ,求 的范围;12()0a1a(2)设 表示 两数中较大的数.试证明:对任意的 ,都有mx,b、 nN.1an江苏省南京市 2019 届高三二模考前模拟测试数 学 参考答案一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 2. 3. 40 4

11、. 5. 14 6. 7. 2,41i )(3)2, , 132150yx8. 5 9. 10. 11. 63 12. 16lnea或 13. 14. 0e二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15. 证明:(1)因为 BC 平面 PDE, BC 平面 ABC,平面 PDE 平面 ABC=DE ,/所以 BCDE. 3 分因为 DE 平面 PBC,BC 平面 PBC,所以 平面 PBC 6 分/DE(2)由(1)知,BCDE 在ABC 中,因为点 E 为 AC 的中点,所以 D 是 AB 的中点 因为 ,所以 , 9AC

12、BAC分因为平面 PCD平面 ABC,平面 PCD 平面 ABC CD , 平面 ABC,AB则 AB 平面 PCD 12 分因为 AB 平面 PAB,所以平面 PAB平面 PCD 14 分16. 解:(1 )由题意, ()fx的最大值为 2m,所以 2=2分而 0m,于是 , ()sin()4fx4 分()fx为递减函数,则 满足 32+2+kk Z,即 52+44kk Z6 分所以 ()fx在 0,上的单调递减区间为 4, 7 分(2)设ABC 的外接圆半径为 R,由题意,得 32=2sini60cRC化简 ()()46sin4fAfBAB,得sin26sin9分由正弦定理,得 26Rab

13、, 2ab 由余弦定理,得 29,即 2390 11 分将式代入,得 230ab解得 3ab,或 32ab(舍去) 13 分1sin2ABCS414 分17. 解:(1) 点坐标为M,m曲线 方程为 213yx,切线方程为 1yx xm则点 坐标分别为 ,EF、 0,E4,F因为 为 中点,所以 ,即M+3所以点 坐标分别为 ,EF、 40,3E2,9F此时 .5 分132128=()97S(2)由(1)知点 坐标分别为 ,EF、 0,Em4,F因为 ,所以244FxmFx又 ,所以直路 左上部分为0EyEFCE,11481622SCFm13m令 ,则 ,设t13t32Sftt2642fttt

14、当 时, ;当 时,413t0ft3t0ft所以 maxax412837Sftf因为 199(3)(1)22ff所以 的取值范围为 .12 分S348(,7答:(1)当 为 中点时, 的值为 ;MEFS12(2) 的取值范围为 14 分S9348(,2718. 解:(1)设 00(,)(,(,)(4,0).CxyDACxyAB00 2(3,)(2,),2AD则. 3 分22200()4,1.Cxyxy代 入 得所以,点 的轨迹是以原点为圆心,1 为半径的圆。. 4 分D(2 )设直线 的方程为 l(2).ykx椭圆的方程 . 5 分221(4);aa由 与圆相切得: . 6 分l 2,.31k

15、将代入得: ,222242(4) 0akxaka又 ,可得 ,213k22423()0有 , , . 221, 3(4)ax212435ax28a . 9 分2.84y椭 圆 方 程 为(3 )假设存在椭圆上的一点 ),(0xP,使得直线 与以 Q 为圆心的圆相切,,PAB则 Q 到直线 的距离相等 , ,AB2,(,0): )2(00yx P: x . 11 分20202001 )(|3)(| dyyxd. 12 分化简整理得: 848x 点在椭圆上, 20y解得: 20x 或 0(舍) 时, y, 1r, .15 分 椭圆上存在点 P,其坐标为 )2,(或 ),(,使得直线 21,PF与以

16、 Q 为圆心的圆 )1(2x相切 16 分19. 解:(1)由题意,得 , , , ,成等比数列,且公比 ,2a468a1382aq所以 4 分12nnq(2)证明:由 是“ 型”数列,得na4J, , , , , ,成等比数列,设公比为. 6 分15913721a由 是“ 型”数列,得na3J, , , , ,成等比数列,设公比为 ;147103a1, , , , ,成等比数列,设公比为 ;2a581a4 2, , , , ,成等比数列,设公比为 ;369125 3则 , , 4313at431725at43219at所以 ,不妨记 ,且 1212312343t分于是 ,(32)1132kk

17、kaa,2(31)223315111kkkkkta ,31323339111kkkkkaat所以 ,故 为等比数列1631nnn分20. 解:(1)因为 ,所以 ,2xbcFe2xbcFxe2 分又因为 图像在 处的切线方程为 ,Fx00y所以 ,即 ,解得 , 4 分11cbbc(2)因为 是 上的单调递减函数,所以 恒成立,Fx,0Fx即 对任意的 恒成立, 6 分0bcxR所以 ,所以 ,即 且242244cbbcb,1c令 ,由 ,知 是减函数,21gxfxcbxc20bcgx故 在 内取得最小值 ,又 ,0,0g所以 时, ,即 10 分xgx2fxc 由知, ,当 时, 或 ,0c

18、bcb因为 ,即 ,解得 , 或 ,所以24b2422b,fx而 ,2222fcbcbcbcb所以 或 ,8f0不等式 等价于 ,22fcMfb2fcbMc变为 或 恒成立, , 12 分80AR当 时, ,即 ,所以不等式 恒成立等价于bcb20c22fcfb恒成立,等价于 ,14 分2ffM2maxfcbM而 ,221fcfbcbcbc因为 , ,所以 ,所以 ,所以 ,cb1c0212bc所以 ,所以 16 分232ffcb32M21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答A选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)解:依题设有: 12

19、30nnabab令 230A,则 4MA2 12044MA2690110 分B选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)解:设直线为 ,代入曲线并整理得10cos()2inxtty为 参 数23(1sin)(10cos)02tt设 分别对应与 , ,则 , 4 分,MN1t2122cosint1223sint若点 恰为弦 的中点,则 , P1220sit此时,直线的方程为 7 分0x ,1223sinPMNt当 时,即 , 的最小值为 ,此时 10 分2sinPMN342C选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)解: (2)()abc(1)()(1)abc4分33abc

20、327(当且仅当 时等号成立) 101abc分【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22解:由 , 得 与面 所成角为 ,1ADB面 BD1A03DBA,23,B由 1AE(1 )以 为正交基底建立平面直角坐标,DA系,则 231(0,)B(2,0)F(1,(0,),(,0)2AE, ,设面 的一个法向量为3,ED()nxyz2(,0),(1,)3BBF(,3)0xynz3 分 EFD1C1B1A1DCBA1325cos,AEn答: 与面 所成角的正弦值为 5 分 BDF(2 )令 ,则11,0,CP 23(,1)P设设面 的一个法向量为

21、,BD1(,)nxyz23(,1)BP7 分 1230(,32)xyz1223cos, 554()51n化简得 9 分 2 3480或10答:存在点 ,为 的中点. 10 分 P1CD23解:(1) ,因为 ,即12a12()0a113()02a易解得 (3 分)19(2)i:当 时,显然 恒成立,所以 .(4 分)1=ana1max,=nii:当 时, ,112且 112 2+0aa所以 21假设当 时,有(,)nkN1ka则 112kka且 111 2+2+0k kk aa即 对 恒成立,所以 .(7 分)naN1mx,=niii:当 时, ,1012a且 112 +02aa所以 12假设当 时,有(,)nkN1ka则 112kka即 对 恒成立,所以nN1max,=n综上,对任意的 ,都有 (10 分)1,na